三年真題（2023—2025）

11支體幾何S空間向量

■三年考情-探規(guī)律?

考點(diǎn)三年考情（2023-2025）命題趨勢

題型分值穩(wěn)定：通常有2個(gè)左右

的選擇或填空題，1道解答題，分

值在18-27分左右。重點(diǎn)考查立

體幾何的基本概念、定理、公式，

空間幾何體的度量：?？疾楸砻娣e、體

如空間幾何體的表面積與體積公

積的計(jì)算。如2023年新課標(biāo)I卷

式，線面平行、垂直的判定與性質(zhì)

14題考查了四棱臺的體積。

定理等。著重考查空間想象能力、

點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系：包括平行、垂

邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。要

直關(guān)系的判定與性質(zhì)。如2023年新高

求考生能根據(jù)文字描述想象空間

考I卷18題（1）、2024年新高考

圖形，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗蜏?zhǔn)確

I卷17題（1）考查了平行關(guān)系的證

考點(diǎn)1立體的運(yùn)算。以實(shí)際問題為背景，如

明；2023年新高考II卷20題（1）、

幾何與空間2023年新課標(biāo)I卷以四棱臺為

2024年新高考II卷17題（1）考查

向量背景考查體積計(jì)算，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實(shí)

了垂直關(guān)系的證明。

際生活中的應(yīng)用。文化融合：可能

空間角與距離：空間角如異面直線所成

結(jié)合數(shù)學(xué)文化，如以古代數(shù)學(xué)著作

角、線面角、二面角是考查重點(diǎn)，距離

中的幾何問題為素材，考查學(xué)生對

問題如點(diǎn)到面的距離也有所涉及。例如

現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力。解答題

2024年新高考I卷17題（2）考查

中，傳統(tǒng)幾何法和向量法都可解決

已知二面角求長度問題，II卷17題

問題，有時(shí)更偏向考查幾何法，如

（2）考查了二面角正弦值的求解。

利用定義法、三垂線法求二面角

等。強(qiáng)調(diào)方法選擇：考生需根據(jù)題

目條件和自身優(yōu)勢，靈活選擇解題

方法，以提高解題效率和準(zhǔn)確性。

■考點(diǎn)分練?精準(zhǔn)達(dá)標(biāo).

考點(diǎn)01立體幾何與空間向量

一、單選題

1.（2024.上海.高考真題）定義一個(gè)集合。，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取P1，P2，P3e。，存在不全

為0的實(shí)數(shù)43,使得友酮+%理+%西=0.已知（1,0,0）eQ,貝I］（0,0,1）在。的充分條件是（）

A.（0,0,0）eQB.（—1,0,0）6Q

c.（0,1,0）enD.（o,o,-1）en

2.（2023?全國甲卷?高考真題）已知四棱錐P—4BCD的底面是邊長為4的正方形,PC=PD=3,Z.PCA=45°,

則APBC的面積為（）

A.2V2B.3V2C.4V2D.6魚

3.（2025?天津?高考真題）若根為直線，a,0為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若m//a,nua,則m//nB.若m_La,m_L0,則a_L0

C.若m〃a,zn_L0,則a_L0D.若mua,a_L0,則7n10

4.（2024?廣東江蘇?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為仃，則圓

錐的體積為（）

A.2V37TB.3V3TIC.6V3TTD.9V3n

5.（2024.北京.高考真題）如圖，在四棱錐P—中，底面4BCD是邊長為4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2V2,該棱錐的高為（）.

A.1B.2C.V2D.V3

6.（2024?全國甲卷.高考真題）設(shè)a、/?為兩個(gè)平面，m、n為兩條直線，且an￡=M.下述四個(gè)命題：

①）若m〃n,貝!Jn〃a或九〃/?②若m1n，則n_La或n_L0

③若?i〃a且n〃0,則加〃ri④若n與a,S所成的角相等，則61n

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

7.（2024?天津?高考真題）在如圖五面體4BC-DEF中，棱4D,BE,CF互相平行，且兩兩之間距離均為1.若

AD=1,BE=2,CF=3.則該五面體的體積為（）

8.（2024.天津.高考真題）已知他,幾是兩條直線，a是一個(gè)平面，下列命題正確的是（）

A.若m〃a,mln,則711aB.1n,則？11a

C.^m//a,n1a,則m_L九D.若m_La,九la,貝Um1九

9.（2024?新課標(biāo)II卷?高考真題）已知正三棱臺ABC-ABiCi的體積為拳AB=6,4祖=2,則與平

面ABC所成角的正切值為（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

10.（2023?北京.高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒

出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面

是全等的等腰三角形.若48=25m,8c=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與

平面ABC。的夾角的正切值均為口，則該五面體的所有棱長之和為（）

A.102mB.112m

C.117mD.125m

11.（2023?全國甲卷?高考真題）在三棱錐P—ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形,PA=PB=2,PC=傷,

則該棱錐的體積為（）

A.1B.V3C.2D.3

12.（2023?全國乙卷?高考真題）已知△ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，AABD為等邊三角形,若二面

角C-AB—O為150。，則直線CZ）與平面A3C所成角的正切值為（）

A.-B.—C.—D.-

5555

13.（2023?全國乙卷?高考真題）已知圓錐尸。的底面半徑為百，O為底面圓心，PA,尸8為圓錐的母線，

AAOB=120°,若APAB的面積等于竽，則該圓錐的體積為（）

4

A.兀B.V6TTC.3兀D.3傷兀

14.（2023?全國乙卷?高考真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則

該零件的表面積為（）

A.24B.26C.28D.30

15.（2023?天津?高考真題）在三棱錐P—ABC中，點(diǎn)MN分別在棱PC,尸B上，且PM=：PC,PN=|PB,

則三棱錐P-4MN和三棱錐P-ABC的體積之比為（）

二、多選題

16.（2025?全國一卷?高考真題）在正三棱柱ABC—a/iG中，。為BC中點(diǎn)，則（）

A.AD1ArCB.BC_L平面

C.AD11A\B\D.CC1〃平面A41。

17.（2023?新課標(biāo)I卷.高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容

器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

18.（2023?新課標(biāo)H卷?高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,為底面直徑，乙4PB=120。,

PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P—AC—O為45。，貝!J（）.

A.該圓錐的體積為無B.該圓錐的側(cè)面積為4百兀

C.AC=2V2D.APaC的面積為日

三、填空題_

19.（2025?上海?高考真題）如圖，在正四棱柱4BCD-4/1的￡>1中，BD=4?DB、=9,則該正四棱柱

的體積為

20.（2025?全國二卷?高考真題）一個(gè)底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）

內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

21.（2025?北京?高考真題）某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，

其中是一個(gè)平面多邊形，平面AFR1?平面ABC,平面CDT平面1BC,AB//EF//RS//CD,

BC//DE//ST//AF.^AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=j,則該多面體的體積為

22.（2024?北京?高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是畬、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升

量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依

次為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為mm,升量器的高為mm.

23.（2024?全國甲卷?高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為q,下底面半徑均為上，圓臺的母線長分

別為2。2—巳）,302—巳），則圓臺甲與乙的體積之比為.

24.（2023?上海?高考真題）空間內(nèi)存在三點(diǎn)A、B、C,滿足4B=AC=BC=1,在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不

計(jì)順序），使得這兩點(diǎn)與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為.

25.（2023?全國乙卷?高考真題）已知點(diǎn)S,4B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，

S41平面ABC,則S4=.

26.（2023?全國甲卷?高考真題）在正方體力BCD—4/1前久中，4B=4,。為的中點(diǎn)，若該正方體的棱

與球。的球面有公共點(diǎn)，則球。的半徑的取值范圍是.

27.（2023?全國甲卷?高考真題）在正方體ABC?！狝/GA中，E,尸分別為AB,Cmi的中點(diǎn)，以EF為

直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn).

28.（2023?新課標(biāo)I卷?高考真題）在正四棱臺4BCD中，4B=2,4/1=1,44]=&，則該棱

臺的體積為.

29.（2023?新課標(biāo)II卷?高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊

長為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

四、解答題

30.(2025?全國一卷?高考真題)如圖所示的四棱錐P—4BCD中，PA1平面4BCD,BC//AD,AB1AD.

(1)證明：平面P2B_L平面PAD；

(2)PA=AB=42,AD=1+V3,BC=2,P,B,C,D在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為0.

(i)證明：。在平面48C0上；

(ii)求直線4C與直線P。所成角的余弦值.

31.(2025?天津?高考真題)正方體48CD—4B1GD1的棱長為4,E、F分別為4名,如殳中點(diǎn)，CG=3GC「

(1)求證：GF1平面FBE；

(2)求平面FBE與平面EBG夾角的余弦值；

(3)求三棱錐D-FBE的體積.

32.(2025?全國二卷?高考真題)如圖，在四邊形4BGD中，AB//CD,^DAB=90°,尸為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在4B上，EF//AD,AB=3AD,CD=2AD,將四邊形EFD4沿EF翻折至四邊形使得面與

面EFC3所成的二面角為60。.

⑴證明:4B〃平面CD'F

(2)求面BC。與面所成的二面角的正弦值.

33.(2025?北京?高考真題)如圖，在四棱錐P—ABC。中，△ADC與△84C均為等腰直角三角形，^ADC=

90°,^BAC=90°,E為BC的中點(diǎn).

R

(1)若尸,G分別為PD,PE的中點(diǎn)，求證：FG〃平面B4&

⑵若24，平面A3CD,PA=AC,求直線A3與平面PC。所成角的正弦值.

34.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P—48C0中，BC//AD,AB=BC=1,=3,點(diǎn)E在2。上,

且PE1AD,PE=DE=2.

(1)若F為線段PE中點(diǎn)，求證：BF//平面PCD.

(2)若AB，平面PAD,求平面P4B與平面PCD夾角的余弦值.

35.(2024?全國甲卷?高考真題)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABC。與四邊

形AOEF均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=V10,FF=2A/3,M為AD的

中點(diǎn).

(1)證明：8M〃平面CDE；

(2)求二面角F—BM—E的正弦值.

36.(2024?天津?高考真題)如圖，在四棱柱ABCD-4送1的。1中，&41平面ABCD,AB1AD,AB//DC,

AB=44i=2,AD=DC=1.弧都分別為。。1，/。1的中點(diǎn)，

(1)求證：AN〃平面C/M；

(2)求平面CBiM與平面BBiGC夾角余弦值；

⑶求點(diǎn)B到平面CBi”的距離.

37.(2024?新課標(biāo)II卷.高考真題)如圖，平面四邊形ABCD中，4B=8,CD=3,AD=5百，^ADC=90°,

/.BAD=30°,點(diǎn)、E,歹滿足族=|而，AF=^AB,將AAEF沿斯翻折至△PEF,使得PC=4百.

P

⑴證明：EF1PD；

(2)求平面PCD與平面尸8尸所成的二面角的正弦值.

38.(2023?北京?高考真題)如圖，在三棱錐P—48C中，PA_L平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=V3.

(1)求證：BC1平面PAB-,

(2)求二面角4-PC-B的大小.

39.(2023?全國乙卷?高考真題)如圖，在三棱錐P—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2vLPB=PC=展,

BP,2P,8C的中點(diǎn)分別為D,E,O,點(diǎn)尸在2C上，BF1AO.

A

⑴求證：EF〃平面an。；

(2)若NPOF=120°,求三棱錐P—ABC的體積.

40.(2023,新課標(biāo)I卷?高考真題)如圖，在正四棱柱4BCD中,AB=2,44=4.點(diǎn)4.?，%

分另U在棱A4i，BBi，CCi，DDi上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2||A2D2-,

(2)點(diǎn)P在棱BBI上，當(dāng)二面角P—42c2一2為150。時(shí)，求B2P.

41.(2023?新課標(biāo)II卷?高考真題)如圖,三棱錐4—BCD中，=DB=DC,BD1CD,/LADB=乙ADC=60°,

E為BC的中點(diǎn).

(1)證明：BC1DA；

(2)點(diǎn)e滿足麗=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.

42.(2023?上海?高考真題)在直四棱柱4BCD—4/1。也中，AB//CD,AB1AD,AB=2,AD=3,DC=4

⑴求證：平面DCC/i；

(2)若四棱柱4BCD-&B1GD1體積為36,求二面角4-BD-4大小.

43.(2024.廣東江蘇.高考真題)如圖，四棱錐P—4BCD中，PAABCD,PA