2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷

（北京專(zhuān)用）

（考試時(shí)間：120分鐘,分值：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版2019必修第二冊(cè)全部。

5.難度系數(shù)：0.75o

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.單位向量都相等

B.若］/區(qū)，bile＞則方/小

c.若同=忖，則1=3

D.長(zhǎng)度不相等而方向相反的兩個(gè)向量是平行向量

2.名〃為不同的平面，見(jiàn)"為不同的直線(xiàn)，則下列判斷正確的是（）

A.若加//a,〃//a,則加〃〃B.若加〃〃，〃ua,則冽//a

C.若加_La,nLa,則加〃〃D.若加_La,nVm,則〃//a

3.一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱441=18,底面△45。邊45上的高為人當(dāng)?shù)酌婺獭Ｋ椒胖脮r(shí)水

面高度為16（如圖①）.當(dāng)側(cè)面44s①水平放置時(shí)（如圖②），水面高度為（）

G

2

B.D.-h7

3

r\?

4-已知復(fù)數(shù)Z=T^'則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第二象限D(zhuǎn).第四象限

5.“后＜3”是“向量2=的1）與向量5=（2,-6）的夾角為鈍角”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.甲、乙兩人獨(dú)立破譯一個(gè)密碼，甲獨(dú)立破譯密碼的概率為0.4,乙獨(dú)立破譯密碼的概率為0.6,則恰有一

人破譯密碼的概率為（）

A.0.4B.0.6C.0.52D.0.76

7.在“BC中，若嗎=￡,則“8C的形狀是（）

cosCa

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等邊三角形

8.文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有鎮(zhèn)洪水和象征人文鼎盛的寓意，現(xiàn)為重慶市文物保護(hù)單位，

并成為廣益中學(xué)的標(biāo)志性景觀(guān)之，該塔為七級(jí)樓閣式磚石結(jié)構(gòu)，底層以條石筑成，塔身呈六邊形，逐層向

上收窄，頂部為六角攢尖葫蘆寶頂.其建筑特色和地理位置（南山之巔）使其成為俯瞰山城的重要觀(guān)景點(diǎn).

我?！拔姆鍞?shù)智社”為了測(cè)量其高度，設(shè)文峰塔高為45,在與點(diǎn)8同一水平面且共線(xiàn)的三點(diǎn)C,D,E處分

別測(cè)得頂點(diǎn)/的仰角為30。,45。,60。，且CO=OE=22m,則文峰塔的高42約為（）

（參考數(shù)據(jù)：V6?2.449,73?1.732）

A.24mB.27mC.30mD.33m

9.某地自2018年起實(shí)行湖長(zhǎng)制后，境內(nèi)湖泊水質(zhì)不斷提升.為了解治理成效，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)每年在該地

所有湖泊中隨機(jī)選取80個(gè)進(jìn)行水質(zhì)調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下，并且五年來(lái)，該地通過(guò)退耕還湖，湖泊總量由160

個(gè)增加至200個(gè).下列說(shuō)法正確的是（）

一湖泊總量

一水質(zhì)好的湖泊數(shù)量

個(gè)湖泊數(shù)量/個(gè)一水質(zhì)差的湖泊數(shù)量

190____1?3200

200-172

160

120-

75

804,58__

4042____

40-?—

0

2018年2019年2020年2021年2022年軍份

A.估計(jì)該地水質(zhì)差的湖泊數(shù)量逐年遞增

B.估計(jì)該地水質(zhì)好的湖泊數(shù)量逐年遞增

C.該地平均每年新增8個(gè)湖泊

D.估計(jì)該地平均每年新增45個(gè)水質(zhì)好的湖泊

10.窗花是貼在窗戶(hù)上的煎紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗

花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形/5CDEFG8的邊長(zhǎng)為4,P是正八邊形邊上任意

一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

B麗在f向上的投影向量為e

C.0B+0D=y/30C

D.若函數(shù)/（x）=|赤-x前I，則函數(shù)〃x）的最小值為6+2逝

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知向量同=2,忖=4,5,3的夾角為g,則悔_可=.

12.在復(fù)平面內(nèi)，向量方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)4=1+2i,次繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2,則々.

13.某區(qū)從11000名小學(xué)生、10000名初中生和4000名高中生中采用分層抽樣方法抽取〃名學(xué)生進(jìn)行視力

測(cè)試，若初中生比高中生多抽取60人，貝1]力=.

14.在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCZ）中，￡為線(xiàn)段CZ）的三等分點(diǎn)，=而=2瓦?+〃瑟，貝1]4+〃=；

尸為線(xiàn)段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為4尸中點(diǎn)，則赤.麗的最小值為.

15.如圖，在單位正方體中，點(diǎn)尸在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，下列命題中正確的

①.在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線(xiàn)4尸與BG始終為異面直線(xiàn)

②.三棱錐。-3PG的體積為定值

③.異面直線(xiàn)4尸與直線(xiàn)CA所成的角為定值

④.在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不存在某個(gè)位置，使得面/用尸//平面

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

16.(13分)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體/BCD中，￡為。A中點(diǎn),

(1)證明：平面JEC；

(2)求三棱錐E-3c的體積.

17.(13分)已知平面向量2,兀滿(mǎn)足口=3,忖=2,且之與5的夾角為g.

⑴求73的值；

⑵求收-@的值；

⑶求2與夾角的余弦值.

18.（14分）在△48C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,S,c2+ab=（a+bf.

⑴求C;

⑵若b=2a,且zUBC的面積為875，求ZUBC的周長(zhǎng).

19.（15分）第十五屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)將于2024年11月在珠海國(guó)際航展中心組織，某城市為了了

解居民對(duì)航空航天知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)不同社區(qū)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“航空航天”知識(shí)競(jìng)賽,

滿(mǎn)分100分（90分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有加入，按年齡分成5組，其中第一組：

［20,25）,第二組：［25,30）,第三組：［30,35）,第四組：［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分

布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這加人年齡的第85百分位數(shù)；

（2）現(xiàn)從以上各組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“航空航天”的宣傳使者.若有甲（年齡

31）,乙（年齡34）,丙（年齡42）三人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第三組和第五組被抽到的使者中,

再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙、丙三人中至少有一人被選上的概率.

20.(15分)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，PN1平面/BCD,E為尸口的中點(diǎn)，AD/1BC,ABAD=90°,

PA=AB=BC=1,AD=2.

⑴求證：CE7/平面尸/2；

(2)求證：DC_L平面P/C

(3)求直線(xiàn)EC與平面P/C所成角的正弦值.

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