五年真題(2021-2025)

專題19排列姐合鳥二項(xiàng)X定理

5種召見考派忸類

五年考情-探規(guī)律

知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢

考點(diǎn)01有限制條件的排列問題1.有限制條件的排列是高頻熱點(diǎn)

2025?上海2024?全國甲卷2024新課標(biāo)II卷近5年多次考查“有限制條件的

2024?上海2023?全國甲卷2022?新高考全國II卷排列問題”，題目常通過“相鄰/

知識(shí)1排列與2021.全國甲卷不相鄰”“特殊元素優(yōu)先”“位置限

組合考點(diǎn)02組合問題制，，等經(jīng)典模型設(shè)置，側(cè)重邏輯推

（5年5考）2024?天津2023?新課標(biāo)I卷2023?新課標(biāo)II卷理和分類討論思想的應(yīng)用。

2023?全國甲卷2023?全國乙卷2,.組合問題則多與實(shí)際場景結(jié)合

2022.新高考全國I卷2022?上海2022.全國甲卷（如分配問題、選組問題），強(qiáng)調(diào)

2022?全國乙卷2021?全國乙卷2021?上海對(duì)“無序性”本質(zhì)的理解。

考點(diǎn)03求二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)3.二項(xiàng)式定理特定項(xiàng)與系數(shù)計(jì)算是

2025?上海2025?天津2024?天津2024?北京絕對(duì)重點(diǎn)，近5年“求二項(xiàng)式展開

2023?天津2023?上海2022?新高考全國I卷式的特定項(xiàng)”（如常數(shù)項(xiàng)、指定次

2022?天津2022?上海2021?北京2021?天津數(shù)項(xiàng)）考查頻率最高，核心是利用

考點(diǎn)04二項(xiàng)式展開式項(xiàng)的系數(shù)和通項(xiàng)公式求解，需注意符號(hào)、系數(shù)

2025?北京2024?上海2022?北京2022?浙江與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別。

2021?浙江4.“系數(shù)和”問題（如賦值法求各項(xiàng)

知識(shí)2二項(xiàng)式系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)/偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和）

定理也頻繁出現(xiàn)，側(cè)重對(duì)賦值法的靈活

（5年5考）應(yīng)用。

5.系數(shù)最值問題偶有出現(xiàn)，注重邏

考點(diǎn)05項(xiàng)的系數(shù)最值問題輯分析，雖然考查次數(shù)較少，但系數(shù)

2024?全國甲卷2021?上海最值問題常涉及不等式求解或單

調(diào)性分析，需結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的增

減性規(guī)律（中間項(xiàng)最大），體現(xiàn)對(duì)

知識(shí)深度的要求。

分考點(diǎn)-精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01有限制條件的排列問題

1.（2024?全國甲卷?高考真題）某獨(dú)唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場一次，出場

次序由隨機(jī)抽簽確定，則丙不是第一個(gè)出場，且甲或乙最后出場的概率是（）

【答案】C

【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類討論甲乙的位置,結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.

【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖,

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙］甲丙甲

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀圖可得，出場次序共有24種,

其中符合題意的出場次序共有8種，

Q1

故所求概率2=五=1；

解法二：當(dāng)甲最后出場，乙第一個(gè)出場，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當(dāng)甲最后出場，乙排第二位或第三位出場，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲最后出場共4種方法，同理乙最后出場共4種方法，于是共8種出場順序符合題意;

基本事件總數(shù)顯然是A：=24,

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，所求概率為盤Q=彳1

故選：C

2.（2025?上海?高考真題）4個(gè)家長和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是

家長，則不同的排列個(gè)數(shù)有種.

【答案】288

【分析】先選家長作隊(duì)尾和隊(duì)首，再排中間四人即可.

【詳解】先選兩位家長排在首尾有P：=12種排法；再排對(duì)中的四人有P：=24種排法，

故有12x24=288種排法.

故答案為：288

3.（2022?新高考全國國卷?高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在

兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排歹?。莘绞?，

故選：B

4.（2021?全國甲卷?高考真題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10種排法，

其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法，

故2個(gè)。不相鄰的概率為2=0.6,

故選：C.

5.（2021?全國甲卷?高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

1224

A.—B.—C.-D.一

3535

【答案】C

【詳解】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，

若2個(gè)0相鄰，貝U有C；=5種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有或=10種排法，

in2

所以2個(gè)0不相鄰的概率為^^=§.

故選：c.

6.（2024?上海?高考真題）設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素之

積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值_____.

【答案】329

【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位不是0討論即可.

【詳解】由題意知集合中且至多只有一個(gè)奇數(shù)，其余均是偶數(shù).

首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，

①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有以=72個(gè)；

②當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，則個(gè)位有C；個(gè)數(shù)字可選，百位有C；=256個(gè)數(shù)字可選，十位有C；個(gè)數(shù)字可選，

根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有C：C；C；=256,

最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為72+256+1=329個(gè).

故答案為：329.

7.（2023?全國甲卷?高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每

天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動(dòng)的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為a,6,c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有A；=12

種方法，

同理：仇c,4e連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

8.（2024?全國甲卷?高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中無放回地隨機(jī)取3

次，每次取1個(gè)球.記m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，"為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則加與“之

差的絕對(duì)值不大于g的概率為.

7

【答案】A

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為。力，第三個(gè)球的號(hào)碼為C,則

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.

【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120種，

設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為。涉，第三個(gè)球的號(hào)碼為。，則竺產(chǎn)一小V；，

故|2c-(。+小3,故-3V2c-(“+6)V3,

故。+6-3W2cVa+b+3,

若c=l,則°+后5,則(納)為:(2,3),(3,2),故有2種，

若c=2,則l?a+6V7,則(。⑼為:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10種，

當(dāng)c=3,則34a+H9,則(a,b)為：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16種，

當(dāng)c=4,貝!]5Wa+b<ll,同理有16種，

當(dāng)c=5,貝U7Wa+bW13,同理有10種，

當(dāng)c=6,貝!|9Va+8V15,同理有2種，

共加與〃的差的絕對(duì)值不超過;時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為2(2+10+16)=56,

故所求概率為需=(.

7

故答案為：—

9.(2024?新課標(biāo)回卷?高考真題)在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被

選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果,

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(“，6,c,d),。力,Gd分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11.22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為:24；112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列

舉法寫出所有的可能結(jié)果.

考點(diǎn)02組合問題

10.(2023?新課標(biāo)回卷?高考真題)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法

作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，己知該校初中部和高中部分別有400名和200名

學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有().

A.CQC短種B.種

C.北種D.C%c乳種

【答案】D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x縹=40人，高中部共抽取60x1^=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有c：3c墨種.

故選：D.

11.(2022?新高考全國回卷?高考真題)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率

為()

1112

A.—B.—C.-D.一

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種，

21-72

故所求概率

213

故選：D.

12.(2023?全國甲卷?高考真題)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨

機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為()

【答案】D

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C：=6件，

其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有C；C；=4,

42

所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為Z=不

63

故選：D.

13.（2021?全國乙卷?高考真題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)

目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘

法原理求得.

【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者

中任選2人，組成一個(gè)小組，有C；種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的

位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4!種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有

C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排

思想求解.

14.（2023?全國乙卷?高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物

中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有或種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有C2A；=120種，

故選：C.

15.（2024?天津，高考真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，

分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加

每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加"整地做畦”項(xiàng)目的概率為;已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有"整

地做畦"，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為.

31

【答案】T7

5乙

【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.

【詳解】解法一：列舉法

給這5個(gè)項(xiàng)目分別編號(hào)為AB,C,D,E,F，從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的情況有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，

其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

則甲參加“整地做畦”的概率為：尸=得=?

乙選A活動(dòng)有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再選擇。有3種可能性：ABD,ACD,ADE,

故乙參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦〃，則他還參加"田間灌溉〃項(xiàng)目的概率為^3==1

62

解法二：

設(shè)甲、乙選到A為事件乙選到。為事件N,

則甲選到A的概率為尸例）=!|=|；

P(MN)c[1

乙選了A活動(dòng)，他再選擇?；顒?dòng)的概率為尸（N|M:；=登

P（M）一晨一2

c（

3i

故答案為：—;y

16.（2022?上海?高考真題）為了檢測學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)

項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢則，則每一類都被抽到的概率為;

3

【答案】-

【分析】

由題意，利用古典概型的計(jì)算公式，計(jì)算求得結(jié)果.

【詳解】

解：從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測，則每一類都被抽到的方

法共有c；.c；.cj+c：.c；.c；種,

而所有的抽取方法共有C；種,

故每一類都被抽到的概率為。4c.e=12=1,

3

故答案為：—■

17.（2023?新課標(biāo)回卷?高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課

中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對(duì)選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

（2）當(dāng)從8門課中選修3門，

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

18.（2022?全國甲卷?高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

【答案】

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有，=C；=70個(gè)結(jié)果，這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有機(jī)=6+6=12個(gè)，

m196

故所求概率尸='=4=弓.

n7035

故答案為：—.

19.（2022?全國乙卷?高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的

概率為.

3

【答案】力03

【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙,2,3）,（1,2,3）,共10種選法；

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率P=5.

3

故答案為：—.

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率p=

,3

故答案為：—

20.（2021?上海?高考真題）某人某天需要運(yùn)動(dòng)總時(shí)長大于等于60分鐘，現(xiàn)有五項(xiàng)運(yùn)動(dòng)可以選擇，如下表所

示，問有幾種運(yùn)動(dòng)方式組合

A運(yùn)動(dòng)8運(yùn)動(dòng)C運(yùn)動(dòng)D運(yùn)動(dòng)E運(yùn)動(dòng)

7點(diǎn)一8點(diǎn)8點(diǎn)一9點(diǎn)9點(diǎn)一10點(diǎn)10點(diǎn)點(diǎn)11點(diǎn)—12點(diǎn)

30分鐘20分鐘40分鐘30分鐘30分鐘

【答案】23

【分析】根據(jù)題意，可以判定選擇任意3種及其以上否是符合要求的，只是在選擇兩種的情況下，有些是

達(dá)不到要求的，利用組合求得總數(shù)，減去不合要求的種數(shù)即可.

【詳解】由題意，至少要選2種運(yùn)動(dòng)，并且選2種運(yùn)動(dòng)的情況中，AB、DB、的組

合是不符題意的，國C；+C；+C；+C；-3=23,

故答案為：23.

考點(diǎn)03求二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)

21.（2024?北京?高考真題）在卜-?了的展開式中，d的系數(shù)為（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】A

【分析】寫出二項(xiàng)展開式，令4-鼻=3,解出「然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.

【詳解】卜-石『的二項(xiàng)展開式為4+1=C：尤j卜五『=c；（-l）r，（廠=0,1,2,3,4），

令4-：=3,解得廠=2,

故所求即為Cj（-1）2=6.

故選：A.

22.（2025?上海?高考真題）在二項(xiàng)式（2x-l）5的展開式中，d的系數(shù)為.

【答案】80

【分析】利用通項(xiàng)公式求解可得.

【詳解1由通項(xiàng)公式=C；-25T.產(chǎn)，,（_1）,=c；,（-iy.25T產(chǎn)行

令5—r=3,得廠=2,

可得丁項(xiàng)的系數(shù)為C；.（-1）2.25-2=80.

故答案為：80.

23.（2025,天津?高考真題）在（尤-1），的展開式中，d項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-20

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理相關(guān)知識(shí)直接計(jì)算即可.

【詳解】（尤-1）6展開式的通項(xiàng)公式為&=C"6T?（-1）’,

當(dāng)r=3時(shí)，7；=C*3.（_1）3=-20*3,

即（尤-1）6展開式中X3的系數(shù)為-20.

故答案為：-20

24.（2024?天津?高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】20

【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.

【詳解】因?yàn)閇[+]]的展開式的通項(xiàng)為小=32r-6C；x12-4r,r=0,l,---,6,

令12-4r=0,可得r=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為3℃：=20.

故答案為：20.

25.（2023?天津?高考真題）在"三-￡|6的展開式中，工?的系數(shù)為.

【答案】60

【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式&=（-球*26-隈廢xd』，令18-必=2確定左的值,

然后計(jì)算V項(xiàng)的系數(shù)即可.

【詳解】展開式的通項(xiàng)公式小=晨（2巧6]+：=（T"x26YxCx產(chǎn)皿，

令18-4人=2可得，k=4,

則無2項(xiàng)的系數(shù)為（-1）4x26-4xC；=4x15=60.

故答案為：60.

26.（2022?天津?高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.

【答案】15

【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征，即可求解.

【詳解】由題意3G+的展開式的通項(xiàng)為小=G=G3-x=,r=0,l,2,3,4,5,

令U=0即7=1，則C>3、c；?3=15,所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15.

故答案為：15.

27.（2021?北京?高考真題）在（尤3一工）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】T

【分析】利用二項(xiàng)展開通項(xiàng)公式即可得解.

43rl24r

［詳解】（丁-1）的展開式的通項(xiàng)Tr+t=C；（x（-l）Q-x-,

令12—4r=0,解得r=3,故常數(shù)項(xiàng)為4=（一爐C：=-4.

故答案為：—4.

28.（2021?天津?高考真題）在+g：的展開式中，f的系數(shù)是.

【答案】160

【分析】求出二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為6即可求出.

【詳解】&+1J的展開式的通項(xiàng)為小=屋（2巧6［21=26y.產(chǎn)田，

令18-4廠=6,解得r=3,

所以F的系數(shù)是23C；=16O.

故答案為：160.

29.（2022?新高考全國回卷?高考真題）（1-5］口+、）8的展開式中//1的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】-28

【分析】11-￡［"+丫）8可化為（了+m8-扣+9，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)椋輑-9J（x+y）8=（x+y）8-9（x+y）8,

所以11-（X+y）8的展開式中含的項(xiàng)為屋_2=_28/y6,

11-力（x+y）8的展開式中的系數(shù)為一28

故答案為：-28

30.（2022?上海?高考真題）二項(xiàng)式（3+x）”的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則"=；

【答案】10

【分析】先寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令r=2得/的系數(shù)，令r=0得常數(shù)項(xiàng)，再由已知列出等式，解

出〃即可.

【詳解】由題知(+i=C；3-y,當(dāng)r=2時(shí)，/的系數(shù)為C；3-2；當(dāng)r=o時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為C：3”；

又尤2的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，所以C；3"-2=5C，3"，解得”=10.

故答案為：10

100

31.(2023,上海?高考真題)已知(1+2023x)1°"+(2023—=%+%了+。2彳2H-----Fa^x"+a100x,若存在上e

{0,1,2,…，100}使得4<0,則%的最大值為.

【答案】49

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得/=C：oo[2023上+2023**?(-!)"],然后由0可得％為奇數(shù)，然后

可得2023*-2023100-<;<0,即可求出答案.

r

【詳解】二項(xiàng)式(1+2023x)1°°的通項(xiàng)為Tr+l=C；0G(2023尤)’=C；0G?2023,-x,re(0,1,2,...,100},

Mo

二項(xiàng)式(2023-x)儂的通項(xiàng)為&=G002023?=，屋20233?(-1)'?//€{(),1,2,…,100},

100100

ak=Cf0c-2023"+Cf0G-2O23^.(-1)^=C：0G[2023&+2O23^-(-1)*],

左e{0,1,2,…,100},若以<0,則左為奇數(shù)，

此時(shí)以=(40(2023*-2023100^),/.2023A-2023100^<0,

.?*<100-太.,"<50,又；％為奇數(shù)，.：左的最大值為49.

故答案為：49.

考點(diǎn)04二項(xiàng)式展開式項(xiàng)的系數(shù)和

32.(2022?北京?高考真題)若(2%—1)4=〃4/+〃3/+。/+〃()，則4+2+%=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用賦值法可求%+的+“4的值.

【詳解】令X=1,則%+4+。2++%=1,

令x——],貝(J-%+a2—4+%—(—3)=8],

工心1+81/

flX。4+%+"o=~=41,

故選：B.

33.(2025,北樂考真題)已知(1—2x)4=4—2〃]X+4%%2—8〃3%3+lb%一,貝lj%=;

+%+/+。4=.

【答案】115

【分析】利用賦值法可求〃0，利用換元法結(jié)合賦值法可求％+。2+。3+。4的值.

【詳解】令%=。，則％=1,

又(1—2x)4=4—2qx+4%尤2-+16%/,

故(1-2x)4=%+(—21)+a2(—2%)+々3(—2尤)+夕