2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的聯(lián)系，借助二次函數(shù)求解一元二次不等式.三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議本節(jié)引入了一元二次不等式，研究它的解法和應(yīng)用.在探索一元二次不等式的解法時(shí)，教科書首先從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程、不等式，然后從一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系中推導(dǎo)出求解一元二次不等式的一般性方法，進(jìn)一步發(fā)展了用函數(shù)理解方程、不等式的思想方法.1.一元二次不等式的定義本節(jié)從一元二次不等式的定義講起，為了體現(xiàn)一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義，教科書設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)際問題——求花圃的矩形柵欄的邊長，為了解決這個(gè)問題，需要把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)模型表示出來，再解數(shù)學(xué)模型.學(xué)生在初中學(xué)過了用一元一次不等式表示不等關(guān)系，在本章的第一節(jié)又練習(xí)了用不等式或不等式組表示不等關(guān)系，因此教科書在這里直接利用不等關(guān)系“圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20”建立了一個(gè)不等式“”.這就是一個(gè)一元二次不等式，教科書接下來給出了一般的一元二次不等式的定義和一般形式.要回答上述問題，就需解這個(gè)不等式，這就引出了對(duì)一元二次不等式解法的研究.2.借助二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的聯(lián)系，獲得求解一元二次不等式的一般性方法求解一元二次不等式通常有兩種基本方法，一種是代數(shù)方法，即先對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，把一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，再通過求解一元一次不等式組得到一元二次不等式的解集.但這種方法不適用于判別式的情況.另一種是函數(shù)方法，即借助二次函數(shù)圖象，得到求解一元二次不等式的通性通法.教科書介紹的是后一種方法.在初中，學(xué)生學(xué)過了從一元一次函數(shù)觀點(diǎn)看解一元一次方程、不等式，知道了解一元一次方程可以歸結(jié)為在一次函數(shù)的函數(shù)值為0時(shí)，求自變量的值，解一元一次不等式或相當(dāng)于在一次函數(shù)的值大于0或小于0時(shí)，求自變量的取值范圍，這種解法利用的三者的關(guān)系是：一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)就是一元一次方程對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在軸上方或下方的點(diǎn)的集合就組成了一元一次不等式或的圖象.為了將這種思想方法遷移到“二次”，在探索求解一元二次不等式的方法之前，教科書設(shè)計(jì)了一個(gè)思考欄目，先讓學(xué)生回顧初中學(xué)過的從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，再從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次不等式，進(jìn)而得到一元二次不等式的求解方法.在解答這個(gè)思考欄目時(shí)，教科書借助具體的一元二次不等式，闡述了二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的聯(lián)系：二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，這兩個(gè)點(diǎn)滿足解析式，且，所以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程的兩個(gè)根，而圖象位于軸下方的點(diǎn)都滿足解析式，且，所以這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍就是不等式的解集.這樣，教科書不僅借助具體的一元二次不等式回答了如何從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、不等式，而且獲得了這個(gè)不等式的解集.接下來，教科書對(duì)上述方法進(jìn)行了歸納、概括，獲得了求解一般一元二次不等式的解法.教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，上述解法的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的圖象與軸的相關(guān)位置確定不等式的圖象對(duì)應(yīng)的的取值范圍，而確定的取值范圍需要先求出相應(yīng)一元二次方程的根.于是，借助二次函數(shù)圖象求解一元二次不等式的方法是：先求出一元二次方程的根，再根據(jù)二次函數(shù)圖象與軸的相關(guān)位置確定一元二次不等式的解集.教科書接下來分，和三種情況，總結(jié)了二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系就可以求解任意一元二次不等式了.需要說明的是，由于一般函數(shù)的零點(diǎn)的概念和性質(zhì)在本書的“4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）”中才會(huì)有比較深入的介紹，所以教科書在這里只介紹了什么是二次函數(shù)的零點(diǎn)，而且沒有推廣這個(gè)概念.3.歸納用二次函數(shù)求解一元二次不等式的程序接下來，教科書安排了三道例題，示范如何用二次函數(shù)解一元二次不等式.這三道例題分別對(duì)應(yīng)了與所求解的不等式相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)和沒有交點(diǎn)的情況，例3還代表了不等式的二次項(xiàng)系數(shù)的情況.通過解例1～例3中的不等式，教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用二次函數(shù)解一元二次不等式或的一般步驟：（1）檢查二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，對(duì)于的一元二次不等式，把它的二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù).（2）計(jì)算判別式的值，如果，求方程的根；如果，說明方程無實(shí)數(shù)根.（3）畫出二次函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象得出不等式的解集.教師在教學(xué)中還需要注意，不要讓學(xué)生通過記憶不同情況下不等式的解集的方式來解不等式，而是讓學(xué)生畫出相應(yīng)二次函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合地解不等式.在三道例題之后，教科書設(shè)計(jì)了一個(gè)框圖，目的是更清晰地描繪出用二次函數(shù)求解一元二次不等式的程序.教學(xué)時(shí)可以讓學(xué)生嘗試在總結(jié)上述步驟的基礎(chǔ)上，自己畫出這個(gè)框圖.4.應(yīng)用一元二次不等式解決實(shí)際問題在本節(jié)的最后，教科書安排了兩道例題來示范如何用一元二次不等式解決實(shí)際問題.實(shí)際上，用一元二次不等式解決實(shí)際問題時(shí)，難點(diǎn)在于建立一元二次不等式表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，但學(xué)生在本章的開始階段已經(jīng)重點(diǎn)學(xué)習(xí)了這個(gè)內(nèi)容，而本節(jié)的重點(diǎn)是一元二次不等式的解法.因此，教科書在例4，例5中都直接給出了描述實(shí)際問題的二次函數(shù)，為建立不等式提供了方便.例如，在例4中，某條摩托車流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量與創(chuàng)造的價(jià)值之間的關(guān)系表示為二次函數(shù)，那么要求這條流水線創(chuàng)收60000元以上需要生產(chǎn)的摩托車的數(shù)量，實(shí)際上就是求一元二次不等式的解集.接下來，教科書按照前面介紹的求解一元二次不等式的步驟求出了不等式的解集