課時(shí)規(guī)范練A組基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()B.eqπ B.eq\f(32,3)πC．8π D．4π解析：由正方體的體積為8可知，正方體的棱長(zhǎng)a＝2.又正方體的體對(duì)角線是其外接球的一條直徑，即2R＝eq\r(3)a(R為正方體外接球的半徑)，所以R＝eq\r(3)，故所求球的表面積S＝4πR2＝12π.答案：A2．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)π B．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)π D．6eq\r(3)π解析：設(shè)球的半徑為R，由球的截面性質(zhì)得R＝eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3)，所以球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.答案：B3．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(32,3)B.eqB.\f(16,3)C.eq\f(8,3)D.eqD.\f(4,3)解析：該幾何體由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱組合而成，直觀圖如圖所示，V＝V柱＋V錐＝eq\f(1,2)×(1＋1)×1×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋1)×1×2＝eq\f(8,3)，故選C.答案：C4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(實(shí)線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為()A．24π B．29πC．48π D．58π解析：如圖，在3×2×4的長(zhǎng)方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三棱錐ABCD)，其外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，表面積為4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π.答案：B5．(2018·西安質(zhì)量檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(4,3)B.eqB.\f(5,2)C.eq\f(7,3) D．3解析：根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示，則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝eq\f(1,2)×2×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(4,3).故選A.答案：A6．(2018·山西四校聯(lián)考)若三棱錐PABC的最長(zhǎng)的棱PA＝2，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是________．解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則該三棱錐的外接球即該長(zhǎng)方體的外接球，易得外接球的半徑R＝eq\f(1,2)PA＝1，所以該三棱錐的外接球的體積V＝eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4,3)π.答案：eq\f(4,3)π7．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝eq\r(3)，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，則棱錐EABCD的體積為_(kāi)_______．解析：如圖所示，BE過(guò)球心O，∴DE＝eq\r(42－32－\r(3)2)＝2，∴VE－ABCD＝eq\f(1,3)×3×eq\r(3)×2＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為_(kāi)_______．解析：如圖，設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因?yàn)锳H∶HB＝1∶2，所以O(shè)H＝eq\f(1,3)R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由題意得πr2＝π，則r＝1，故R2＝1＋(eq\f(1,3)R)2，即R2＝eq\f(9,8).由球的表面積公式，得S＝4πR2＝eq\f(9π,2).答案：eq\f(9π,2)9．(2016·高考全國(guó)卷Ⅱ)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)證明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝eq\f(5,4)，OD′＝2eq\r(2)，求五棱錐D′-ABCFE的體積．解析：(1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF.由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4.所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.于是OD′2＋OH2＝(2eq\r(2))2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC.又由eq\f(EF,AC)＝eq\f(DH,DO)得EF＝eq\f(9,2).五邊形ABCFE的面積S＝eq\f(1,2)×6×8－eq\f(1,2)×eq\f(9,2)×3＝eq\f(69,4).所以五棱錐D′-ABCFE的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(69,4)×2eq\r(2)＝eq\f(23\r(2),2).B組能力提升練1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為()B.eqπ B.eq\f(112,3)πC．32π D．28π解析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，其底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，高是2eq\r(3).將該四棱錐補(bǔ)形成一個(gè)三棱柱，如圖所示，則其底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，高是4，該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球．∵三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，∴底面三角形的中心到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離為eq\f(2,3)×2eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3)，∴外接球的半徑R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2＋22)＝eq\r(\f(28,3))，外接球的表面積S＝4πR2＝4π×eq\f(28,3)＝eq\f(112π,3)，故選B.答案：B2．(2018·廣州模擬)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若三棱錐PABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為()A．8π B．12πC．20π D．24π解析：如圖，因?yàn)樗膫€(gè)面都是直角三角形，所以PC的中點(diǎn)到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，即PC的中點(diǎn)為球心O，易得2R＝PC＝eq\r(20)，所以R＝eq\f(\r(20),2)，球O的表面積為4πR2＝20π，選C.答案：C3．在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則VB.eq B.eq\f(9π,2)D.eq D.eq\f(32π,3)解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過(guò)直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R＝eq\f(3,2)，該球的體積最大，Vmax＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).答案：B4．四棱錐SABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于8＋8eq\r(3)，則球O的體積等于()A.eq\f(32π,3)B.eqB.\f(32\r(2)π,3)D.eqπ D.eq\f(16\r(2)π,3)解析：依題意，設(shè)球O的半徑為R，四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為a、高為h，則有h≤R，即h的最大值是R，又AC＝2R，則四棱錐SABCD的體積VSABCD＝eq\f(1,3)×2R2h≤eq\f(2R3,3).因此，當(dāng)四棱錐SABCD的體積最大，即h＝R時(shí)，其表面積等于(eq\r(2)R)2＋4×eq\f(1,2)×eq\r(2)R×eq\r(\f(\r(2)R,2)2＋R2)＝8＋8eq\r(3)，解得R＝2，因此球O的體積等于eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32π,3)，選A.答案：A5．多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為_(kāi)_______cm3.解析：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示，在三棱錐DABC中，底面ABC是等腰三角形，設(shè)底邊AB的中點(diǎn)為E，則底邊AB及底邊上的高CE均為4，側(cè)棱AD⊥平面ABC，且AD＝4，所以三棱錐DABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×4×4＝eq\f(32,3)(cm3)．答案：eq\f(32,3)6．已知正四棱錐OABCD的體積為eq\f(3\r(2),2)，底面邊長(zhǎng)為eq\r(3)，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_______．解析：過(guò)O作底面ABCD的垂線段OE(圖略)，則E為正方形ABCD的中心．由題意可知eq\f(1,3)×(eq\r(3))2×OE＝eq\f(3\r(2),2)，所以O(shè)E＝eq\f(3\r(2),2)，故球的半徑R＝OA＝eq\r(OE2＋EA2)＝eq\r(6)，則球的表面積S＝4πR2＝24π.答案：24π7．如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA＝6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.(1)證明：G是AB的中點(diǎn)；(2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積．解析：(1)證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB⊥PD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以AB⊥DE.因?yàn)镻D∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知，可得PA＝PB，所以G是AB的中點(diǎn)．(2)在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．連接CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形