2.3.1向量數(shù)量積的物理背景與定義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，理解其幾何意義.3.會用兩個向量的數(shù)量積求兩個向量的夾角以及判斷兩個向量是否垂直.知識點一向量的夾角思考1平面中的任意兩個向量都可以平移至同一起點，它們存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？思考2△ABC為正三角形，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量a與b的夾角是多少？梳理兩個向量夾角的定義(1)已知兩個非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則________稱作向量a和向量b的夾角，記作________，并規(guī)定它的范圍是______________.在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定了，并且有〈a，b〉＝________.(2)當(dāng)__________時，我們說向量a和向量b互相垂直，記作__________.知識點二向量在軸上的正射影思考向量在軸上的正射影是向量還是數(shù)量？其在軸上的坐標(biāo)的符號取決于誰？梳理向量在軸上的正射影已知向量a和軸l(如圖).作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，過點O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1，A1，則向量eq\o(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在軸l上的正射影(簡稱射影)，該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作a在________上的數(shù)量或在____________上的數(shù)量.eq\o(OA,\s\up6(→))＝a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作al，向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則由三角函數(shù)中的余弦定義有al＝|a|cosθ.知識點三向量的數(shù)量積(內(nèi)積)思考1如圖，一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，且力F與位移s的夾角為θ，那么力F所做的功W是多少？思考2對于兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ，那么a·b的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？特別地，零向量與任一向量的數(shù)量積是多少？梳理向量數(shù)量積的定義____________叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosa，b.知識點四向量數(shù)量積的性質(zhì)思考1設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？思考2當(dāng)a與b同向時，a·b等于什么？當(dāng)a與b反向時，a·b等于什么？特別地，a·a等于什么？思考3︱a·b︱與︱a||b︱的大小關(guān)系如何？為什么？對于向量a，b，如何求它們的夾角θ？梳理兩個向量內(nèi)積有如下重要性質(zhì)(1)如果e是單位向量，則a·e＝e·a＝__________(a≠0).(2)a⊥b?a·b＝____，且a·b＝________?a⊥b(a≠0，b≠0).(3)a·a＝______或|a|＝________.(4)cos〈a，b〉＝________________(|a||b|≠0).(5)|a·b|________|a||b|.類型一求兩向量的數(shù)量積例1已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時，分別求a與b的數(shù)量積.反思與感悟求平面向量數(shù)量積的步驟：(1)求a與b的夾角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分別求|a|和|b|；(3)求數(shù)量積，即a·b＝|a|·|b|cosθ，要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“·”連接，而不能用“×”連接，也不能省去.跟蹤訓(xùn)練1已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A.－eq\f(3,2)a2B.－eq\f(3,4)a2C.eq\f(3,4)a2D.eq\f(3,2)a2類型二求向量的模引申探究若本例中條件不變，求|2a＋b|，|a－2b|.例2已知|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.反思與感悟此類求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘記開方.跟蹤訓(xùn)練2已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.類型三求向量的夾角例3設(shè)n和m是兩個單位向量，其夾角是60°，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角.反思與感悟當(dāng)求向量夾角時，應(yīng)先根據(jù)公式把涉及到的量先計算出來再代入公式求角，注意向量夾角的范圍是[0，π].跟蹤訓(xùn)練3已知a·b＝－9，a在b方向上的正射影的數(shù)量為－3，b在a方向上的正射影的數(shù)量為－eq\f(3,2)，求a與b的夾角θ.1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，則向量b在a方向上的正射影的數(shù)量為()A.4B.－4C.2D.－22.設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b等于()A.1B.2C.3D.53.若a⊥b，c與a及與b的夾角均為60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，則(a＋2b－c)2＝________.4.在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝13，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝12，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值是________.5.已知正三角形ABC的邊長為1，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).1.兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向量，其值可以為正(當(dāng)a≠0，b≠0,0°≤θ<90°時)，也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0，b≠0,90°<θ≤180°時)，還可以為0(當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝90°時).2.兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種運(yùn)算，與實數(shù)乘實數(shù)、實數(shù)乘向量的乘法運(yùn)算是有區(qū)別的，在書寫時一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開來，絕不可混淆.3.在a·b＝|a||b|cosθ中，|b|cosθ和|a|cosθ分別叫做b在a方向上的正射影的數(shù)量和a在b方向上的正射影的數(shù)量，要結(jié)合圖形嚴(yán)格區(qū)分.4.求射影有兩種方法(1)b在a方向上的正射影的數(shù)量為|b|cosθ(θ為a，b的夾角)，a在b方向上的正射影的數(shù)量為|a|cosθ.(2)b在a方向上的正射影的數(shù)量為eq\f(a·b,|a|)，a在b方向上的正射影的數(shù)量為eq\f(a·b,|b|).5.兩非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模時要靈活運(yùn)用公式|a|＝eq\r(a2).

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1存在夾角，不一樣．思考2如圖，延長AB至點D，使AB＝BD，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝a，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，則∠CBD＝120°，故向量a與b的夾角為120°.梳理(1)∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π〈b，a〉(2)〈a，b〉＝eq\f(π,2)a⊥b知識點二思考向量b在軸上的射影是一個向量，其在軸上的坐標(biāo)為數(shù)量，其符號取決于夾角θ的范圍：當(dāng)θ為銳角時，該數(shù)量為正值；當(dāng)θ為鈍角時，該數(shù)量為負(fù)值；當(dāng)θ為直角時，該數(shù)量為0；當(dāng)θ＝0°時，該數(shù)量為|b|；當(dāng)θ＝180°時，該數(shù)量為－|b|.梳理軸l軸l的方向知識點三思考1W＝|F||s|cosθ.思考2a·b的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量．0·a＝0.梳理|a||b|cosa，b知識點四思考1a⊥b?a·b＝0.思考2a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).思考3︱a·b︱≤︱a||b︱，設(shè)a與b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ.兩邊取絕對值得|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.當(dāng)且僅當(dāng)|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0或π時，取“＝”.所以|a·b|≤|a||b|.cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).梳理(1)|a|cos〈a，e〉(2)00(3)|a|2eq\r(a·a).(4eq\f(a·b,|a||b|)(5)≤題型探究例1解(1)當(dāng)a∥b時，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°＝4×5＝20；若a與b反向，則θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)當(dāng)a⊥b時，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為30°時，a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3).跟蹤訓(xùn)練1D例2解a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×eq\f(1,2)＝eq\f(25,2).|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq\r(3).|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq\r(25－2×\f(25,2)＋25)＝5.引申探究解a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×eq\f(1,2)＝eq\f(25,2)，|2a＋b|＝eq\r(2a＋b2)＝eq\r(4|a|2＋4a·b＋|b|2)＝eq\r(4×25＋4×\f(25,2)＋25)＝5eq\r(7).|a－2b|＝eq\r(a－2b2)＝eq\r(|a|2－4a·b＋4|b|2)＝eq\r(25－4×\f(25,2)＋4×25)＝5eq\r(3).跟蹤訓(xùn)練2|3a＋b|＝20.例3解∵|n|＝|m|＝1且m與n的夾角是60°，∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).|a|＝|2m＋n|＝eq\r(2m＋n2)＝eq\r(4×1＋1＋4m·n)＝eq\r(4×1＋1＋4×\f(1,2))＝eq\r(7)，|b|＝|2n－3m|＝eq\r(2n－3m2)＝eq\r(4×1＋9×1－12m·n)＝eq\r(4×1＋9×1－12×\f(1,2))＝eq\r(7)，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝eq\f(1,2)－6×1＋2×1＝－eq\f(7,2).設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq\f(1,2).又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3)，故a與b的夾角為eq\f(2π,3).跟蹤訓(xùn)練3θ＝120°當(dāng)堂訓(xùn)練1．D2.A3.114.－255．解(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為60°，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為120°，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up