2．2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣第1課時分層抽樣[學(xué)習(xí)目標]1.理解分層抽樣的概念.2.會用分層抽樣從總體中抽取樣本.3.能用分層抽樣解決實際問題．知識點一分層抽樣的概念將總體按其屬性特征分成若干類型(有時稱作層)，然后在每個類型中按照所占比例隨機抽取一定的樣本．這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時也稱為類型抽樣．分層抽樣具有如下特點：(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；(2)按比例確定每層抽取個體的個數(shù)；(3)在每一層進行抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法；(4)分層抽樣能充分利用已掌握的信息，使樣本具有良好的代表性；(5)分層抽樣也是等機會抽樣，每個個體被抽到的可能性都是eq\f(樣本容量n,總體容量N)，而且在每層抽樣時，可以根據(jù)個體情況采用不同的抽樣方法．知識點二分層抽樣的步驟思考分層抽樣的總體具有什么特性？答分層抽樣的總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成，也就是說當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣．題型一對分層抽樣概念的理解例1有40件產(chǎn)品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．現(xiàn)從中抽出8件進行質(zhì)量分析，則應(yīng)采取的抽樣方法是()A．抽簽法 B．隨機數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣 D．分層抽樣答案D解析總體是由差異明顯的幾部分組成，符合分層抽樣的特點，故采用分層抽樣．反思與感悟判斷抽樣方法是分層抽樣，主要是依據(jù)分層抽樣的特點：(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況．(2)樣本能更充分地反映總體的情況．(3)等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都相等．跟蹤訓(xùn)練1在100個零件中，有一級品20個，二級品30個，三級品50個，從中抽取20個作為樣本．方法1：采用簡單隨機抽樣的方法，將零件編號00,01,02，…，99，用抽簽法抽取20個．方法2：采用分層抽樣的方法，從一級品中隨機抽取4個，從二級品中隨機抽取6個，從三級品中隨機抽取10個．對于上述問題，下列說法正確的是()①不論采用哪種抽樣方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性都是eq\f(1,5)；②采用不同的方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性各不相同；③在上述兩種抽樣方法中，方法2抽到的樣本比方法1抽到的樣本更能反映總體特征；④在上述抽樣方法中，方法1抽到的樣本比方法2抽到的樣本更能反映總體的特征．A．①② B．①③C．①④ D．②③答案B解析根據(jù)兩種抽樣的特點知，不論哪種抽樣，總體中每個個體入樣的可能性都相等，都是eq\f(n,N)，故①正確，②錯誤．由于總體中有差異較明顯的三個層(一級品、二級品和三級品)，故方法③抽到的樣本更有代表性，③正確，④錯誤．故①③正確．題型二分層抽樣的應(yīng)用例2一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人．為了了解這個單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽取？解用分層抽樣來抽取樣本，步驟如下：(1)分層．按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個體的個數(shù)．抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各層分別按系統(tǒng)抽樣或隨機數(shù)法抽取樣本．(4)匯總每層抽樣，組成樣本．反思與感悟利用分層抽樣抽取樣本的操作步驟：(1)將總體按一定屬性特征進行分層；(2)計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；(3)按各層的個體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣)；(5)最后將每一層抽取的樣本匯總合成樣本．跟蹤訓(xùn)練2一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的有160人，具有中級職稱的有320人，具有初級職稱的有200人，其余人員120人．為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是________．答案8,16,10,6解析抽樣比為eq\f(40,800)＝eq\f(1,20)，故各層抽取的人數(shù)依次為160×eq\f(1,20)＝8,320×eq\f(1,20)＝16,200×eq\f(1,20)＝10,120×eq\f(1,20)＝6.抽樣方法例3某單位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況，從中抽取一個容量為36的樣本，則最適合抽取樣本的辦法是()A．簡單隨機抽樣B．抽簽法C．分層抽樣D．先從老年人中剔除1人，再用分層抽樣分析根據(jù)題意結(jié)合各種抽樣方法的特點進行選擇．解析因為總體由差異明顯的三部分組成，所以考慮用分層抽樣．因為總?cè)藬?shù)為28＋54＋81＝163，樣本容量為36，由于按eq\f(36,163)抽樣，無法得到整數(shù)解，因此考慮先剔除1人，將抽樣比變?yōu)閑q\f(36,162)＝eq\f(2,9).若從老年人中隨機地剔除1人，則老年人應(yīng)抽取27×eq\f(2,9)＝6(人)，中年人應(yīng)抽取54×eq\f(2,9)＝12(人)，青年人應(yīng)抽取81×eq\f(2,9)＝18(人)，從而組成容量為36的樣本．答案D解后反思本題易錯選C.已知總體是由差異明顯的三部分組成，因而盲目選了C，卻忽略了分層抽樣過程中的取整要求．1．某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康狀況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查．這種抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣 B．抽簽法C．隨機數(shù)表法 D．分層抽樣答案D解析從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層抽樣．2．為了保證分層抽樣時，每個個體等可能地被抽取，必須要求()A．每層的個體數(shù)必須一樣多B．每層抽取的個體數(shù)相等C．每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個個體，其中k是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層所包含的個體數(shù)，N是總體容量D．只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個體數(shù)沒有限制答案C解析選項正誤理由A×每層的個體數(shù)不一定都一樣多B×由于每層的容量不一定相等，每層抽同樣多的個體，從整個總體來看，各層之間的個體被抽取的可能性顯然就不一樣了C√對于第i層的每個個體，它被抽到的可能性與層數(shù)i無關(guān)，即對于每個個體來說，被抽入樣本的可能性是相同的D×每層抽取的個體數(shù)是有限制的3.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生()A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人答案B解析先求抽樣比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各層按抽樣比分別抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)，故選B.4．某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個班抽出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是()A．8,8 B．10,6C．9,7 D．12,4答案C解析抽樣比為eq\f(16,54＋42)＝eq\f(1,6)，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是54×eq\f(1,6)＝9,42×eq\f(1,6)＝7.5．某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取________名學(xué)生．答案60解析根據(jù)題意，應(yīng)從一年級本科生中抽取的人數(shù)為eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.1.對于分層抽樣中的比值問題，