第一章

特殊平行四邊形第7課

正方形的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)

正方形的性質(zhì)

(1)如圖，觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么

樣的共同特征？

共同點(diǎn)：①鄰邊

；②有一個(gè)角是

?角．相等直

有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正

方形．

(2)由定義，知正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形、菱形的所有

性質(zhì)．正方形的性質(zhì)見下表：圖形正方形的性質(zhì)幾何語言

正方形的四個(gè)

角都是

?

?，四條

邊

?；

正方形的對角

線

?且

互相

?

?如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴(邊)AB＝

＝CD＝

?，

AB∥

，AD∥

?；(角)∠ABC＝

＝

?

＝

＝90°；(對角線)AC＝

?，

AC⊥

，OA＝

＝OB

＝

?直

角相等相等垂直平

分BCADCDBC∠BCD∠CDA∠DABBDBDOCOD

1．

【例1】如圖，已知正方形ABCD.

(1)若邊長為2，則對角線長為

，周長為

?，面積

為

?；

(2)若對角線為2，則邊長為

，面積為

?；

(3)正方形ABCD有

?條對稱軸．

84

24

2．

如圖，已知正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.

(1)若周長為4，則對角線長為

，面積為

?；

(2)若面積為4，則邊長為

，對角線為

?；

(3)圖中共有

?個(gè)等腰直角三角形．

12

8

3．

【例2】(人教八下P68復(fù)習(xí)題T8)如圖，ABCD是一個(gè)正方形花

園，E，F(xiàn)是它的兩個(gè)門，且DE＝CF.要修建兩條路BE和AF，這兩條

路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？請說明理由．

解：BE＝AF，BE⊥AF.

理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD.

∵DE＝CF，

∴AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF.

又∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF(SAS)．

∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF.∵∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠FAD＋∠AEB＝90°.∴∠AOE＝90°.∴BE⊥AF.

4．

如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，點(diǎn)F在邊BC的延長線

上，∠1＝∠2，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．

解：△DEF是等腰直角三角形．

理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∴∠DCF＝90°＝∠A．

∴△ADE≌△CDF(ASA)．∴DE＝DF.

又∠EDF＝∠2＋∠CDE＝∠1＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形．

5．

【例3】(北師九上P21隨堂練習(xí)T2改編)如圖，在正方形ABCD

中，點(diǎn)E為對角線BD上一點(diǎn)，連接AE，CE.

(1)求證：AE＝CE；

(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB.

∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)．

∴AE＝CE.

(2)若∠BCE＝70°，求∠EAD的度數(shù)．

(2)解：由(1)，得△ABE≌△CBE.∴∠BAE＝∠BCE＝70°.∴∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝20°.

6．

(北師九上P25習(xí)題T2改編)如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角

線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF.

(1)求證：四邊形BEDF是菱形；

證明：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.

∵AE＝CF，

∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴四邊形BEDF是平行四邊形．

又BD⊥EF，∴四邊形BEDF是菱形．

8

1．

正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(

B

)A．

四個(gè)角相等B．

四條邊相等C.對角線相等D．

對角線互相平分B

2．

正方形的一條對角線長為4，則這個(gè)正方形的面積是(

A

)A．

8B．

4

C．

8

D．

16A

3．

如圖，在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，且AB＝

AE，則∠EBC的度數(shù)是(

B

)A．

20°B．

22.5°C．

30°D．

45°B

4．

(2024蘭州)如圖，四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角

形，EF⊥AB于點(diǎn)F，若AD＝4，則EF＝

?．2

5．

如圖，在正方形ACDF中，∠CEA和∠ABF都是直角且點(diǎn)E，

A，B三點(diǎn)共線，AB＝4.

(1)求證：△ECA≌△BAF；

(1)證明：∵∠CEA，∠ABF都是直角，∴∠CEA＝∠ABF＝90°.∴∠ECA＋∠EAC＝90°.∵四邊形ACDF是正方形，

∴AC＝FA，∠CAF＝90°.