第頁湘教版九年級數(shù)學上冊《2.3一元二次方程根的判別式》同步練習題及答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．沒有實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根2．若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．4 D．163．關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且4．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．B．C．且 D．且5．若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．6．對于實數(shù)，定義新運算：，若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且7．已知關(guān)于x的方程，則①無論k取何值，方程一定無實數(shù)根；②時，方程只有一個實數(shù)根；③且時，方程有兩個實數(shù)根；④無論k取何值，方程一定有兩個實數(shù)根．上述說法正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．已知一元二次方程（a≠0）的兩根分別為-3，1，則方程（a≠0）的兩根分別為（

）A．1,5 B．-1,3 C．-3,1 D．-1,5二、填空題9．若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．10．如果關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么“”內(nèi)的數(shù)可以為寫出一個數(shù)即可．11．已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是．12．一次函數(shù)與反比例函數(shù)有且僅有一個交點，則的值為．13．對于實數(shù)定義新運算：※．例如：3※，若關(guān)于的方程※有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．14．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．15．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為．16．命題“若，則關(guān)于x的一元二次方程必有實數(shù)根”是命題（填“真”或“假”）．三、解答題17．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)已知2是此方程的一個根，求的值和這個方程的另一個根．18．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設此方程的兩個根分別為，，且．若，求m的值．19．如圖，利用一面墻（墻的長度不限），用長的籬笆圍成一個矩形場地．(1)若矩形場地的面積為，求的長；(2)該矩形場地的面積能否為？若能，求出的長；若不能，請說明理由．20．閱讀材料：如果，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，，若其中一個根是另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”；例如：1，2是方程的兩根，2是1的2倍，則這是一個“倍根方程”．(1)解方程：，并判斷該方程是否屬于“倍根方程”．(2)已知關(guān)于的一元二次方程．①求證：該方程必有兩個不相等的實數(shù)根；②若該方程是“倍根方程”，求的值．參考答案題號12345678答案BCDCCABB1．B【分析】算一元二次方程根的判別式進而即可求解．【詳解】解：，∴一元二次方程的根的情況是沒有實數(shù)根，故選：B．【點睛】題考查了一元二次方程(，a，b，c為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．2．C【分析】根據(jù)方程的根的判別式即可．本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵方程有兩個相等的實數(shù)根，，∴，∴，解得．故選C．3．D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到且，即，然后解不等式組即可得到的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且，即，解得：，的取值范圍是且．故選：D．4．C【分析】由一元二次方程定義得出二次項系數(shù)k≠0；由方程有兩個不相等的實數(shù)根，得出“△>0”，解這兩個不等式即可得到k的取值范圍．【詳解】解：由題可得：,解得：且；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式（組）的解集等，本題對學生的計算能力有一定的要求．5．C【分析】本題考查根的判別式，分和，兩種情況，利用根的判別式進行求解即可．【詳解】解：當時，方程為，解得：，滿足題意；當時，為一元二次方程，∵方程有實數(shù)根，∴，解得：，∴且；綜上：；故選C．6．A【分析】根據(jù)新定義運算法則列方程，然后根據(jù)一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式組求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：，故A正確．故選：A．【點睛】本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0方程沒有實數(shù)根．7．B【分析】利用根的判別式，可得出，進而根據(jù)各選項的情況得出結(jié)論．【詳解】解：關(guān)于x的方程，，當時，關(guān)于x的方程為，則，方程只有一個實數(shù)根，故②說法正確；當，解得，則且時，方程有兩個實數(shù)根，故③說法正確，①④說法錯誤；綜上，上述說法正確的是②③，共2個，故選：B．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“當時，方程有兩個實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】利用換元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的兩根.【詳解】記，則即的兩根為3，1故1，3.故選B.【點睛】本題主要考查換元法和解一元二次方程.9．且【分析】本題考查一元二次方程的定義，根的判別式，根據(jù)根的判別式即可解答．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，∴且．故答案為：且10．（答案不唯一）【分析】本題主要考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．利用一元二次方程根的判別式即可解決問題．【詳解】解：令“”內(nèi)的數(shù)為，則原方程為，因為此方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得，所以的值可以是：．故答案為：．（答案不唯一）11．【分析】本題考查根的判別式，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式求出的取值范圍，即可．【詳解】解：當，即時，方程轉(zhuǎn)化為，解得：，符合題意；當，即：時，方程為一元二次方程，∵方程有實數(shù)根，∴，解得：，綜上：，∴整數(shù)a的最大值是；故答案為：．12．12【分析】該題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根判別式等知識點，解題的關(guān)鍵是理解題意．聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，根據(jù)題意得出，即可求解；【詳解】解：將代入得，整理得，∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象有且只有一個交點，，或0（舍去），故答案是：12．13．【分析】本題考查了新定義的運算，要根的判別式，理解新定義的運算是解答關(guān)鍵．根據(jù)新定義的運算表示出一元二次方程，再利用判別式來求解．【詳解】解：※，，即．關(guān)于的方程※有兩個不相等的實數(shù)根，，解得．故答案為：．14．10【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式得出，即，然后代入計算即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴．故答案為：10．15．1或【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，根據(jù)方程的特點得當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得，或，故答案為：1或．16．真【分析】本題考查了真假命題，一元二次方程根的判別式，利用完全平方公式變形求值，以及平方的非負性，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴關(guān)于x的一元二次方程必有實數(shù)根，∴該命題是真命題，故答案為：真．17．(1)見解析(2)，方程的另一個根為【分析】本題圍繞一元二次方程展開，（1）通過根的判別式證明方程根的情況；（2）利用根的定義和方程求解（或韋達定理）得出和另一根，核心是對一元二次方程根的相關(guān)知識（判別式、根的定義、韋達定理）．（1）根的判別式應用：通過計算得：，利用平方數(shù)非負性，證明無論取何值，，以此判定方程總有兩個不相等實數(shù)根，重點考查對根的判別式概念及作用的理解．（2）方程根的定義與求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或結(jié)合韋達定理，利用根與系數(shù)關(guān)系求另一根，考查對“方程的根滿足方程”這一基本定義，以及韋達定理（根與系數(shù)關(guān)系）的運用，體現(xiàn)“代入求值”“方程求解”的解題思路．【詳解】（1）證明：由題意得：，則：，無論取何值，，則，不論取何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：將代入方程可得，解得，當時，原方程為，解得：，即方程的另一個根為．18．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，求出出，即可證明結(jié)論成立；（2）首先求出，，然后根據(jù)得到，然后求解即可．本題考查了根的判別式，以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個根．【詳解】（1）證明：依題意，得，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：，，解得，∵，，，，，．19．(1)的長為或(2)不能，見解析【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用，正確理解題意建立方程是解題的關(guān)鍵．（1）設，則，由矩形面積公式建立一元二次方程求解即可；（2）設，則，假設矩形場地的面積為，由矩形面積公式建立一元二次方程，根據(jù)根的判別式進行判斷即可．【詳解】（1）解：設，則，由題意得：，整理得：，解得：，，答：的長為或；（2）解：矩形場地的面積不能為，理由如下：假設矩形場地的面積為，設，則，由題意得：，整理得：，，∴該方程無實數(shù)根，∴假設不成立，∴矩形場地的面積不能為．20．(1)是，理由見解析(2)①證明見解析②或【分析】本題主要考查了因式分解法一元二次方程，一