第11章

多體理論

§11.1多體理論概述

§11.1.1少體問題與多體問題

眾所周知，宏觀世界是由許多微觀客體構(gòu)成的，量子理

論是處理微觀客體的有效工具。在一定的層次之下，按著微

觀粒子數(shù)目的多少可以把體系分為少體體系和多體體系。一

般情況下，界定兩種體系的粒子數(shù)并無十清楚確的規(guī)定，通

常把粒子數(shù)少于5個(gè)的體系稱為為少體體系，否則為多體

體系或者多粒子體系。對(duì)少體問題的研究可以提供粒子之間

相互作用的信息，它是研究多體問題的根底和出發(fā)點(diǎn)。

在前面幾章中，所處理的根本上屬于單體問題，即使原

本是二體問題的氫原子也被化成了單體問題來處理，它們都

屬于少體問題的范疇。真實(shí)的物理世界是由許多相互作用著

的微觀粒子構(gòu)成的，多體理論就是研究如何處理這種多個(gè)相

互作用著的粒子體系的理論。多體理論在原子、分子、等離

子體及原子核物理學(xué)中都得到了廣泛的應(yīng)用。

按著所研究對(duì)象的屬性及能量大小分類：

非全同粒子

［相對(duì)論

玻色子?

［非相對(duì)論

全同粒

,相對(duì)論

費(fèi)米子

非相對(duì)論

正如前面提到的，本書只涉及非相對(duì)論的內(nèi)容。

§11.1.2多體理論的根本問題

1、多體體系的哈密頓算符

設(shè)體系由N個(gè)粒子組成，假設(shè)只顧及二體相互作用，那

么體系的哈密頓算符為

NN

方劭+

i=\i>j=\

Ul.1.1）

其中，巾）是第，個(gè)粒子的動(dòng)能算符，業(yè);/）是第i個(gè)粒子與第J

個(gè)粒子的相互作用能。第力個(gè)粒子的動(dòng)能算符可以具體寫出

為

3)=上

2m；

(11.1.2)

二體相互作用也可以寫成

N1N

i>j=l'Hj=\

(11.1.3)

二體相互作用應(yīng)該滿足如下條件：粒子無自身相互作用，即

不存在狐.丁)的項(xiàng)；當(dāng)?shù)趇個(gè)粒子與第j個(gè)粒子的相互作用被

計(jì)入后，不再顧及第/個(gè)粒子與第i個(gè)粒子的相互作用。N個(gè)

粒子體系的雙粒子相互作用有項(xiàng)。

2、多體薛定謗方程

設(shè)體系的狀態(tài)用波函數(shù)中來描述，即

%=%G，S1ZZ,S2Z',,,,",SNZ；，)

(11.1.4)

它滿足薛定謬方程

V人

訪6二p=公

dt

(11.1.5)

其定態(tài)薛定謂方程為

Hi//=Ei//

(11.1.6)

處理單體問題的根本原則可以推廣到多體問題中，其

正確性已被實(shí)踐所證實(shí)。這是單體問題與多體問題的共性，

而多體問題與單體問題的差異不僅表現(xiàn)在多體問題的復(fù)雜性

上，而且，下面將會(huì)看到，全同粒子體系還要遵循全同性原

理。具體地說，要求描述費(fèi)米子體系的波函數(shù)應(yīng)該是反對(duì)稱

的，描述玻色子體系的波函數(shù)應(yīng)該是對(duì)稱的。

§11.2全同性原理

§11.2.1全同粒子體系

在多粒子體系中，把質(zhì)量、電荷及自旋等一切固有性質(zhì)

都相同的粒子稱為全同粒子。例如，所有的電子是全同粒子,

所有的中子也是全同粒子等等。在相同的條件之下，全同粒

子的行為是完全相同的。由多個(gè)全同粒子構(gòu)成的體系稱為全

同粒子體系。

全同粒子具有不可區(qū)分的性質(zhì)，表現(xiàn)為其哈密頓算符的

對(duì)稱性，交換第，.個(gè)與第/個(gè)粒子的坐標(biāo)對(duì)哈密頓算符無影

響,即

%%…="（4,％，…闖）

（11.2.1）

引入交換算符逅,對(duì)任意波函數(shù)以…4,…，/，…）滿足

力W（…必…外…）=…必…）

（1122）

由于對(duì)兩個(gè)任意的狀態(tài)

力…，/，…，%，…）+。2夕（…，/，…，孫??,）］,

C"（…,%，…必…）+。2夕（…,/，…必…卜

（…必…，%，…）+0正9（…必…，%，…）

（11.2.3）

所以，交換算符是線性算符。

假設(shè)以…是一個(gè)任意的波函數(shù)，那么利用哈密

頓算符的交換對(duì)稱性可知

加力（…4,,??，分，???）-（…，%，?,,，/?，??,）二

力，為，…4,…）=

M…,％,,,?,外,??,)44…，q"…，…)

⑴24)

所以，交換算符與哈密頓算符是可交換（對(duì)易〕的，即

力用=麗

[11.2.5）

§11.2.2全同性原理

交換粒子的坐標(biāo)，會(huì)對(duì)全同粒子體系的波函數(shù)產(chǎn)生什么

樣的影響呢？

定理1在給定的物理?xiàng)l件之下，假設(shè)波函數(shù)

以…，為，…）是描述全同粒子體系的一個(gè)可能的狀態(tài)，那

么，交換其坐標(biāo)之后，將得到一個(gè)新的狀態(tài)

力用（…必分,…4,…）

（1126）

它也是該體系的一個(gè)可能的狀態(tài)。

證明：設(shè)“…必，…，/，…）滿足薛定謗方程

訪《”（…，分=自"（…4,…,％，…）

(11.2.7)

用片作用上式兩端，有

i礙力嚴(yán)（…4,…，分，…）=4加（…必…,％，…）

V/C

（1128）

利用交換算符與哈密頓算符可交換的性質(zhì)，得到

謂:力淵（…必…必…）=麗”（…必…，％，…）

（11.2.9）

上式說明，A,〃（…，見，…，/，…）也滿足薛定謬方程，也是體系

一個(gè)可能的狀態(tài)。

因?yàn)槿Ｗ邮遣豢蓞^(qū)分的，任何兩個(gè)粒子坐標(biāo)的交換

不能引起體系狀態(tài)的改變，此即全同性原理，它是量子力學(xué)

的第五個(gè)根本原理。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

（11.2.10）

實(shí)際上，上式就是交換算符所滿足的本征方程。

最后，考慮到全同性原理，全同粒子體系狀態(tài)應(yīng)滿足的

方程為

〔11.2.11)

§11.2.3對(duì)稱波函數(shù)與反對(duì)稱波函數(shù)

略去波函數(shù)中的坐標(biāo)變量，交換算符滿足的本征方程為

Pijw=如

(11212)

再用交換算符九作用上式兩端，得到

試=

〔11213)

上式左端經(jīng)過兩次交換后又變回〃，故有

2二±1

[11.2.14)

此即交換算符的本征值。

當(dāng)2=1時(shí)，有

力憶二k

〔11215)

當(dāng);l=T時(shí),有

兒九二一九

〔11216)

其中，匕,匕分別稱為對(duì)稱波函數(shù)和反對(duì)稱波函數(shù)。

前面的討論是針對(duì)交換第i個(gè)與第j個(gè)粒子進(jìn)行的，實(shí)際

上，只要交換兩對(duì)粒子是反對(duì)稱的，那么，交換第三對(duì)粒子

也一定是反對(duì)稱的。

定理2假設(shè)對(duì)給定的滿足

力w=±"

Ul.2.17)

那么對(duì)任意的N/亦有

力〃=士〃

(11.2.18)

證明：將N個(gè)全同粒子體系的波函數(shù)簡(jiǎn)記為

…,i,…,j,…,三―

U1.2.19)

其中，左為體系中任意三個(gè)粒子的坐標(biāo)。為了說話方便，

規(guī)定狄拉克符號(hào)中三個(gè)粒子所處的位置依次為1、2、3o假

設(shè)交換位于1和2位置的粒子是對(duì)稱的，交換位于2和3位

置的粒子也是對(duì)稱的，而交換位于1和3位置的粒子是反對(duì)

稱的，那么有

|闕=T蝌=T助=T期=~\闕

〔11.2.20)

于是，

詞=0

[11.2.21)

同理可知，假設(shè)交換1和2位置與交換1和3位置是對(duì)稱的,

而交換2和3位置是反對(duì)稱的，或者交換1和3位置與和交

換2和3位置是對(duì)稱的，而交換1和2位置是反對(duì)稱的，都

會(huì)使波函數(shù)為零。所以，只要交換兩對(duì)粒子是對(duì)稱的，那么,

交換第三對(duì)粒子也一定是對(duì)稱的。使用類似的方法還可以證

明，只耍交換兩對(duì)粒子是反對(duì)稱的，那么，交換第三對(duì)粒子

也一定是反對(duì)稱的?？偠灾?，全同粒子體系的波函數(shù)只能

是對(duì)稱的或者反對(duì)稱的，不可能關(guān)于一局部粒子是對(duì)稱的，

而關(guān)于另一局部粒子是反對(duì)稱的情況。

§11.2.4費(fèi)米子與玻色子

如前所述，全同粒子體系的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或者反

對(duì)稱的，對(duì)于一個(gè)確定的全同粒子體系而言，到底是取對(duì)稱

的波函數(shù)還是取反對(duì)稱的波函數(shù)，這是由所研究的全同粒子

的屬性所決定的。

135

但凡自旋量子數(shù)5=5,5，子…等半奇數(shù)的粒子稱為費(fèi)米

子。例如，電子、正電子、質(zhì)子、中子等都是費(fèi)米子。實(shí)驗(yàn)

說明，全同費(fèi)米子體系的狀態(tài)應(yīng)該用反對(duì)稱波函數(shù)來描述。

但凡自旋量子數(shù)S=0,1,2,3,…等整數(shù)的粒子稱為玻色

子。例如，光子、萬介子、上介子及某些復(fù)合粒子等。實(shí)驗(yàn)

說明，全同玻色子體系的狀態(tài)必須用對(duì)稱波函數(shù)來描述。

§11.3泡利不相容原理

§11.3.1費(fèi)米子體系波函數(shù)的反對(duì)稱化

為了簡(jiǎn)單起見,考慮無相互作用的兩個(gè)費(fèi)米子的體系,

其哈密頓算符為

力(名，［2)=〃(/)+"(42)

(11.3.1)

它滿足的本征方程和波函數(shù)反對(duì)稱化條件為

方〃(4心)=

(11.3.2)

立2〃(%，%)=一〃(〃，%)

(11.3.3)

由于無相互作用存在，故可別離變量求解，令

雨心2)=血加(％)

(11.3.4)

E=￡+S

(11.3.5)

那么有

砌1-(%)=￡9。J

(11.3.6)

百包)。包)=￡。(夕2)

U1.3.7)

由于R的形式是相同的，故可將上面兩式統(tǒng)一寫成

府“切(9)=刎4)

(11.3.8)

不考慮本征值￡，￡的簡(jiǎn)并情況時(shí)，體系的能量本征值

(11.3.9)

對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)有兩個(gè)

%（4，%）=%（4M（%）

（11.3.10）

%（%，%）=9〃（機(jī)（%）

〔11311）

這時(shí)，能量本征值是二度簡(jiǎn)并的。正象其它的簡(jiǎn)并是由哈密

頓算符的對(duì)稱性所引起的一樣，這種簡(jiǎn)并是由哈密頓算符的

交換對(duì)稱性引起的，稱之為交換簡(jiǎn)并。如果兩個(gè)粒子之間存

在相互作用，這種交換簡(jiǎn)并仍然存在。假設(shè)〃伉,見）是滿足

定態(tài)薛定譚方程的一個(gè)解，那么由

瓦。"（/'%）=ME"（劣必）

（11.3.12）

可知

加12—（/，夕2）=即12-（91，42）

（11313）

說明“2"（外，％）也是該方程的一個(gè)解。

由于兩個(gè)費(fèi)米子是全同的，它們構(gòu)成的體系的波函數(shù)應(yīng)

該滿足反對(duì)稱化的要求，即

%力12匕（分出）

[11.3.14）

%（/國(guó)2）和〃2（/國(guó)2）雖然是定態(tài)薛定謬方程方程的解，但

是，它們都不滿足反對(duì)稱化的要求，所以，都不是體系的解。

為了得到滿足反對(duì)稱化要求的解，可以將它們重新線性組合

Wa（劣必）二。必（%必）+%（劣，%）

〔11315）

用加作用上式兩端，得到

瓦匕（劣，%）=—（%/2）+CM5,%）=

-Wa（%，%）=-C必（％必）一。2%（彷，夕2）

[11.3.16）

比擬系數(shù)可知

C\=~C2

[11.3.17）

將上式代入（11.3.15）,得到

匕（%均2）=d%（%%）一02（%,%）]二

-2）]

〔11318）

其中，常數(shù)C可由歸一化條件定出為

1

°F

（11.3.19）

歸一化的反對(duì)稱波函數(shù)可以用行列式表示

（1%（%）%（%[

J2（PM）—

[11320）

通常把由乙，匕求出反對(duì)稱化波函數(shù)的過程稱為反對(duì)稱化，

并把上述行列式稱為斯萊特〔Slert〕行列式。

上面的結(jié)果可以推廣到N個(gè)全同費(fèi)米子體系，其反對(duì)稱

化波函數(shù)為

(/)(P〃、(%)???"ON)

7\1夕〃,(4)OX%)-，%,(見M)

%J%)%/(%).??

(11.3.21)

N個(gè)全同費(fèi)米子體系的斯萊特行列式也可以寫成為如下

形式

I

匕LM，…必)二而2(T)"(%))1.(%)),帆.)).

(11.3.22)

式中，p表示對(duì)方括號(hào)內(nèi)的波函數(shù)的任意一個(gè)置換，Sp表示

置換的次數(shù)。

斯萊特行列式有如下兩條性質(zhì)：假設(shè)交換任意兩列，那

么行列式改變一個(gè)負(fù)號(hào)；假設(shè)任意兩行相等，那么行列式為

零。前者正是反對(duì)稱化所要求的，而后者意味著不能有兩個(gè)

粒子處于同一個(gè)狀態(tài)。由此得出泡利不相容原理：對(duì)于全同

費(fèi)米子體系來說，在同一個(gè)單粒子狀態(tài)上只能存在一個(gè)粒子。

§11.3.2玻色子體系波函數(shù)的對(duì)稱化

對(duì)于全同玻色子體系而言，要求其波函數(shù)是對(duì)稱的，用

類似費(fèi)米子體系波函數(shù)的反對(duì)稱化的方法，可以得到N=2個(gè)

玻色子體系的對(duì)稱化波函數(shù)

匕（%，%）=喪［%伉％（%）+%（%M〃（%）】

U1.3.23）

對(duì)于N個(gè)全同玻色子體系，對(duì)稱波函數(shù)為

??

匕-，%，…必）=痂2Pl.3）帆（%》…|化N向）｝

U1.3.24)

例如,當(dāng)N=3時(shí)，有

匕（R應(yīng)2闖3）=而夕1（%州2（%州3（%）+而。1（%州2（。能3（%）+

而9|(%辰(%M(/)+忑供伍場(chǎng)（%?。?）+

再91(%加2(%M(%)+房

(11.3.25)

§11.4原子中電子的殼層結(jié)

構(gòu)

§11.4.1原子中的電子的殼層結(jié)構(gòu)

1869年，門捷列夫（Mendeleev）根據(jù)化學(xué)元素的性質(zhì)所

呈現(xiàn)出的周期性變化，給出了元素周期表，它的出現(xiàn)對(duì)化學(xué)

及原子物理領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)工作起到了指導(dǎo)的作用，同時(shí)，也激

發(fā)了物理學(xué)家從理論上解釋這種周期性質(zhì)的興趣。

具有Z個(gè)電子的原子的哈密頓算符為

i=\2miri_i>j=\rij

[11.4.1)

ze?e1

式中，一丁為第2個(gè)電子在原子核庫侖場(chǎng)中的勢(shì)能；廠為

。rij

第，個(gè)電子與第j個(gè)電子的庫侖相互作用能。由于，原子核的

質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子的質(zhì)量，作為初級(jí)近似，忽略了原子核的運(yùn)

動(dòng)。同時(shí)，也沒有顧及磁相互作用。

假設(shè)假設(shè)原子中的每個(gè)電子都處于原子核與其它電子所

產(chǎn)生的一個(gè)平均場(chǎng)1/卜)中，那么體系的哈密頓算符可以近似

寫為

z力2z

屋￡，寸i-ug=￡4

/=1[_2g.Jj=\

[11.11.5)

式中的u(〃)可視為第，個(gè)電子在被其余的(z-l)個(gè)電子屏蔽了

的原子核庫侖場(chǎng)中的勢(shì)能，它是一個(gè)中心場(chǎng)，并且，其形式

對(duì)每個(gè)電子都是相同的。稱這種近似為中心場(chǎng)近似。

體系滿足的定態(tài)薛定謂方程為

為嚴(yán)=N

i=\

(11.4.3)

其中，"是處于中心場(chǎng)中的第i個(gè)電子的哈密頓算符，它的

本征解為

，〃%，4)

(11.4.4)

其中，量子數(shù)的取值范圍是

"i=1,2,3,???

/,=0,1,2,…1

=—，/'—，+1，…,//—1，4

m.=±-

s/2

⑴.4.5)

假設(shè)Zj為具有能量為兒的電子的個(gè)數(shù)，那么

j

[11.4.6)

(11.4.7)

上式說明，體系的能量取決于每個(gè)單電子能級(jí)上的電子的個(gè)

數(shù)，通常把這種電子按單電子能級(jí)的分布稱為原子的組態(tài)。

下面來討論電子的殼層結(jié)構(gòu)是如何形成的。

原子中的電子是全同費(fèi)米子體系，它應(yīng)該服從泡利不相容

原理，即一個(gè)單電子狀態(tài)只能被一個(gè)電子占據(jù)。

具有相同〃，/，%，加,量子數(shù)的電子最多只能有一個(gè)；具有

相同八」,的量子數(shù)的電子最多只能有兩個(gè)；具有相同〃，/量子

數(shù)的電子最多只能有2/(/+1)個(gè)。把具有相同/量子數(shù)的單電

子態(tài)稱為一個(gè)支殼層。當(dāng)/=0,1,2,3,4,5,…時(shí)，分別稱其為

s,p,d,f,g,h,…支亮層,每個(gè)支殼層最多能容納的電子個(gè)數(shù)

分別為2,6,10,14,18,22,???o具有相同〃量子數(shù)的電子最多只

能有21個(gè)。把具有相同“量子數(shù)的單電子態(tài)稱為一個(gè)〔主〕

殼層。當(dāng)〃=1,2,3,4,5,…時(shí)，分別稱其為K,L,M,N,O,…(主〕

殼層，每個(gè)殼層最多能容納的電子個(gè)數(shù)分別為2,8,18,32,50,…。

每個(gè)主殼層〃中含有〃個(gè)支殼層，例如

K:1s

L:2s2P

M:3s3P3d

N:4sApAdA.f

??????

(11.4.8)

原子的基態(tài)是其能量最低的狀態(tài)。處于基態(tài)的原子，在

服從泡利不相容原理的前提下，電子應(yīng)該盡量占據(jù)能量低的

狀態(tài)。而單電子能級(jí)耳〃的大小只要由量子數(shù)n來決定，n越

大時(shí)凡”越大，對(duì)于同樣的，2,量子數(shù)/越大時(shí)%/越大。一

般情況下，基態(tài)原子中的電子應(yīng)該按（1148）式的順序逐個(gè)

殼層填充，即

ls;2s,2〃;3s,3p,3d;4s,4〃,4d,4/;?…

當(dāng)電子的個(gè)數(shù)較多時(shí)，也可能出現(xiàn)…,3d,4s,…的情況，而不

是…,4s,34…的順序。

§11.11.5元素周期表

當(dāng)原子處于基態(tài)時(shí)，周期表中各原子的電子的填充情況

如下：

第一周期，K殼層，n=1.Z=0

'H（h）'

2He（1s丫

第二周期，入殼層，n=2

3Li（ISM

4Be（1S）2（2S）2

5B（Ls）2（2s）2（2p）i

6CQs）2（2s）2（2p）2

7NQ昭）2Q4

8O時(shí)（對(duì)加

9F（ls）2（2s）2（2p）5

10Ne（Is）2（2s）2（2p）6

第三周期，M殼層，n=3

"Na（Is》⑵y（2p）6（3“

12Mg（Is）2（2s）2（2p）6（3s）2

13Al（Is）2（2s）2（2p）6（3s）2（3p，

14Si（Is）2（2sy（2p）6（3s）2（3p）2

15P卜y（2s）2（2p）6（3s）2（3p）3

16s（Is）2（2s）2（2p）6（3s）2（3p）4

17Cl（Is）2（2s）2（2p）6（3s）2（3p）5

18Ar（Is）2（2s）2（2p）6（3s）2（3p）6

關(guān)于第四、五周期的填充情況比擬復(fù)雜，需要滿足一些特殊

的條件，就不在這里詳細(xì)討論了。

剛好填滿一個(gè)主殼層時(shí)，原子是最穩(wěn)定的，例如，

He,Ne,Ar,…等原子，而一個(gè)滿主殼層之外有一個(gè)電子的原子

是相對(duì)最不穩(wěn)定的，例如，Li,Na,K,…等原子，并且，這

些原子表現(xiàn)出相似的物理和化學(xué)性質(zhì)。以次類推，一個(gè)滿主

殼層之外有同樣個(gè)數(shù)電子的原子，將具有類似的性質(zhì)，它們

在周期表中處于同一列的位置上。

§11.5二次量子化

在量子力學(xué)中，體系的狀態(tài)是用波函數(shù)來描述的。通常

情況下，波函數(shù)是在坐標(biāo)表象或者坐標(biāo)與自旋的聯(lián)合表象中

寫出的。對(duì)于多體問題來說，在上述表象中求解本征方程實(shí)

在是太困難了，僅把多體波函數(shù)在組態(tài)空間中寫出來就是一

件十分繁雜的事情。

量子化概念的產(chǎn)生源于力學(xué)量用算符表示，而該算符的

本征值可能是取斷續(xù)值的，此即所謂力學(xué)量取值的量子化。

借助量子場(chǎng)論中引入的粒子產(chǎn)生與消滅算符的概念，不僅可

以方便地表示物理上感興趣的力學(xué)量算符，而且，也可以簡(jiǎn)

潔地把滿足全同性原理的多體波函數(shù)表示出來。把這種產(chǎn)生

與消滅算符在坐標(biāo)空間中的表示稱為場(chǎng)算符。用場(chǎng)算符來表

示力學(xué)量算符和波函數(shù)，稱之為二次量子化。

§11.5.1多體波函數(shù)的二次量子化表示

對(duì)于N個(gè)全同粒子的體系而言，N個(gè)粒子構(gòu)成的N體態(tài)

可以用如下三種不同的方式來表示：

久.一（石用，…，4）=|%，&，…，斯）=|?1，孫…兒）

（11.5.1）

其中，巧表示第z?個(gè)粒子的全部坐標(biāo)和自旋變量，%表示粒

子的第/個(gè)單粒子狀態(tài)相應(yīng)的全部量子數(shù)，%表示第A個(gè)單粒

子態(tài)上的粒子數(shù)。

1、組杰空間中的多體波函數(shù)

①-（西，電，…,心）表示坐標(biāo)表象中N體波函數(shù),它是由

N個(gè)單粒子態(tài)構(gòu)成的，對(duì)費(fèi)米子而言它是反對(duì)稱的波函數(shù)

（11.3.22）式，對(duì)玻色子來說它是對(duì)稱波函數(shù)U1.3.24）式。

2、福克空間中的多體波函數(shù)

樂〉表示N個(gè)粒子占據(jù)了用量子數(shù)%,%,…,小

標(biāo)志的N個(gè)單粒子態(tài)，它并不考慮哪一個(gè)單粒子態(tài)被哪一個(gè)

粒子占據(jù)，顯然，這與全同粒子的不可區(qū)分性是一致的，稱

v）是下面將詳細(xì)介紹的福克（Fock）空間中的一

個(gè)態(tài)矢。對(duì)費(fèi)米子體系而言，泡利不相容原理要求所有的單

粒子態(tài)均不相同，而對(duì)玻色子體系來說，單粒子態(tài)可以有兩

個(gè)甚至多個(gè)是相同的。

3、粒子數(shù)表象中的多體波函數(shù)

…,〃8〉也可以表示N個(gè)粒子占據(jù)了N個(gè)單粒子態(tài)，

具體地說，就是在第依左=123,…）個(gè)單粒子態(tài)上有4個(gè)粒

子，稱其為粒子數(shù)表象中的態(tài)矢。

對(duì)N個(gè)粒子的體系而言，物理上要求

8

=N

k=\

（11.5.2）

對(duì)于費(fèi)米子體系，由泡利不相容原理可知，知=0,1,對(duì)玻色

子體系，4可以取零和任意整數(shù)。

顯然，對(duì)描述多體體系的狀態(tài)來說，上述三種表示方法

是等價(jià)的。

§11.5.2產(chǎn)生算符與消滅算符

1、?？丝臻g

描述全同粒子狀態(tài)的波函數(shù)必須正確反映全同粒子的屬

性。在坐標(biāo)表象中，為反映費(fèi)米子體系的屬性引入了斯萊特

行列式，它既滿足泡利不相容原理又滿足多體波函數(shù)反對(duì)稱

化的要求，但是，當(dāng)體系的粒子數(shù)較多時(shí)，使用起來十分不

便。

福克空間中的態(tài)矢與粒子數(shù)表象中的態(tài)矢同樣也可以表

示全同粒子的狀態(tài)。下面將引入?？丝臻g的概念。

假設(shè)I。〉表示沒有粒子的狀態(tài)，也稱之為真空態(tài)，|《〉表

示一個(gè)粒子處于%的狀態(tài)，|%,里）表示兩個(gè)粒子分別處于處

于4,%的狀態(tài)；1%，%，％）表示三個(gè)粒子分別處于處于4,

。2，%的狀態(tài)表示N個(gè)粒子分別處于處

于名,夕2,…,即的狀態(tài)。把由零和上述態(tài)矢張成的空間稱為

?？丝臻g。

應(yīng)該指出的是：為了正確反映費(fèi)米子和玻色子對(duì)波函數(shù)

對(duì)稱性的要求，福克空間的態(tài)矢必須滿足

名,…,6,…,％，…aj=（-1戶］%,…,％…,弓,…aj對(duì)費(fèi)米子

名,…,弓,……a）=何,6,…a）對(duì)玻色子

其中，為交換，與）時(shí)所移動(dòng)的次數(shù)。

2、產(chǎn)生算符與消滅算符

在?？丝臻g中，上述態(tài)矢所對(duì)應(yīng)的粒子數(shù)是不同的，如

何將不同粒子數(shù)的狀態(tài)聯(lián)系起來呢？下面引入的產(chǎn)生與消滅

算符能起到一個(gè)橋梁的作用。

產(chǎn)生算符的作用是在口單粒子態(tài)上產(chǎn)生一個(gè)粒子，

或者說，它使真空態(tài)變成14單粒子態(tài)

(11.5.3)

對(duì)費(fèi)米子體系而言，泡利原理要求

羽耳=。

（11.5.4）

消滅算符口的作用是消滅。單粒子態(tài)上的一個(gè)粒子，或

者說，它使|&〉態(tài)變成真空態(tài)

蜀。=博

(11.5.5)

由定義可知

蜀。)=0

（11.5.6）

對(duì)費(fèi)米子體系來說，產(chǎn)生育消滅算符的更一般的定義為

當(dāng)月任⑻時(shí),

芍|%,%,???,斯”忸必，。2廣?，斯）二（一1「|因，。2，4，?'即）

(11.5.7)

(11.5.8)

當(dāng)月亡（。）時(shí),

弱％%,,?,0N)=0

(11.5.9)

蜀囚,火，…，許)=(_1)]%，％，/_1，4+1，???，%)

(11.5.10)

式中，。為月前面單粒子態(tài)的個(gè)數(shù)。之所以出現(xiàn)(-1)”的因子,

是因?yàn)橘M(fèi)米子體系的波函數(shù)應(yīng)該為反對(duì)稱的，即

%,必???必,???,%,???%)

(11.5.11)

其中，s.?表示四，%之間單粒子態(tài)的個(gè)數(shù)加1,而(。)表示量

子數(shù)%,%，…,°N的集合。

總之，一個(gè)產(chǎn)生算符的作用是將N體態(tài)變成N+1體的

狀態(tài)或者?？丝臻g的零矢量，一個(gè)消滅算符的作用是將N體

態(tài)變成N-1體的狀態(tài)或者零矢量。推而廣之，〃個(gè)產(chǎn)生算

符之積的作用是將N體態(tài)變成N+片體的狀態(tài)或者福克空間

的零矢量，〃個(gè)消滅算符之積的作用是將N體態(tài)變成N-〃體

的狀態(tài)或者零矢量。概括起來說，產(chǎn)生和消滅算符可以把福

克空間中不同粒子數(shù)的狀態(tài)聯(lián)系起來。

3、產(chǎn)生算符與消滅算符的對(duì)易關(guān)系

產(chǎn)生算符的對(duì)易關(guān)系為

(11.5.12)

證明：對(duì)福克空間中任意一個(gè)態(tài)矢|%，％，??,，%v)，計(jì)算

gy，41，。2，…，％)

(11.5.13)

當(dāng)九6中有任何一個(gè)屬于集合(a),那么根據(jù)產(chǎn)生算符的定義

可知

￡,以｝。1,%,一?必)=。

(11.5.14)

由于|%%，??,，%)是任意的，故(11512)式成立。

當(dāng)/,5中皆不屬于集合(a)時(shí)，假設(shè)/=5,那么根據(jù)泡

利不相容原理可知，(11512)式成立。假設(shè)7工5,那么有

上；,或卜1，%/一,即)=(§瑟+患；)|%，12=必)=

7，夕%,%，???，斯)+|①八%,。2，?,,%)二

71,%,電，,??，斯)力/%，。2，???，。＞0

(11.5.15)

同樣證得(11.5.12)式成立。

同理可證，消滅算符之間的對(duì)易關(guān)系為

爆備―，務(wù)人或另+務(wù)以=0

(11.5.16)

而產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對(duì)易關(guān)系為

(11.5.17)

下面給出的幾個(gè)算符的關(guān)系式是經(jīng)常會(huì)用至U的:

(11.5.18)

12=久殳

(11.5.19)

自常常茜°=與務(wù),曷

(11.5.20)

在粒子數(shù)表象中，全同粒子體系的波函數(shù)為

(11.5.21)

對(duì)玻色子體系而言，以可以取任意整數(shù)，而對(duì)費(fèi)米子體系來

說，*只能取0或者1。

4、粒子數(shù)算符

引入產(chǎn)生與消滅算符后，可以把不同粒子數(shù)的狀態(tài)利用

產(chǎn)生與消滅算符聯(lián)系起來。在遇到的許多實(shí)際問題中，體系

的粒子數(shù)并不改變，即所謂粒子數(shù)是守恒的，非相對(duì)論的量

子理論就是如此。換句話說，在非相對(duì)論量子力學(xué)中關(guān)心的

是N體態(tài)之間是通過什么樣的算符來聯(lián)系的。

(1)粒子數(shù)守恒算符

算符或另作用到?？丝臻g中任意一個(gè)態(tài)矢&，%，???，斯)

上，只有當(dāng)SGQ)且/史(a)時(shí),

J；蜀巧,%,…,即)=(-1)"憶囚,%，…，6Tb+l,…,即)

(11.5.22)

否那么，皆變成?？丝臻g的零矢量。說明算符服的作用是

將一個(gè)N體態(tài)變成了另一個(gè)N體態(tài)或者零矢量。具體地說，

當(dāng)beQ)且/任(a)時(shí)，是使原來處于8單粒子態(tài)的粒子躍遷

到/單粒子態(tài)，而總粒子數(shù)并無改變。由于，算符號(hào)么的

作用并不改變體系的粒子數(shù)，故稱其為粒子數(shù)守恒算符。推

而廣之，由相等數(shù)目的產(chǎn)生算符和消滅算符之積構(gòu)成的算符

皆可稱為粒子數(shù)守恒算符。例如，

??????

(11.5.23)

都是粒子數(shù)守恒算符。下面將會(huì)看到，在非相對(duì)論理論框架

之下，用到的力學(xué)量算符都是粒子數(shù)守恒算符。

(2)單粒子態(tài)粒子數(shù)算符

有一類特殊的粒子數(shù)守恒算符，即

na=蔻

(11.5.24)

稱之為a單粒子態(tài)的粒子數(shù)算符。在粒子數(shù)表象中，設(shè)有一

個(gè)單粒子態(tài)|%學(xué)0),當(dāng)a=7時(shí),

段|止|止%㈤,%T

(11.5.25)

當(dāng)2W7時(shí)，

九1"，=。=〃」%}七二0

(11.5.26)

將上面兩式綜合寫為

川)=〃/%)，幾a=3皿

(11.5.27)

算符恿的本征值為。和1,這正是費(fèi)米子體系單粒子態(tài)上可能

的粒子數(shù)，故稱其為單粒子態(tài)上的粒子數(shù)算符。由(11.5.21)

式可知

瓦，”=°

(11.5.28)

上式說明，任意兩個(gè)單粒子態(tài)的粒子數(shù)算符相互對(duì)易，因此,

它們有共同完備本征函數(shù)系…,〃J},且滿足

九卜2|,〃2，???，〃00)二〃1|〃1，九2，3，〃8)

02|勺，〃2，???，〃00)="2卜2|，〃2，.??，〃8)

??????

??????

(11.5.29)

上式說明任意的N體態(tài)都是吃的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)當(dāng)本征值皆為

勺，或者說，％的作用不改變?cè)瓉淼臓顟B(tài)。

(3)總粒子數(shù)算符

再定義一個(gè)算符

00

而=?a

a=\

(11.5.30)

設(shè)I%,%,…,心)為任意一個(gè)N體態(tài)，那么有

00

刈々，%，???，.8)=2弱々，.2「??，九)=

a=l

8

士叫勺人，…，〃J=NE，%,…，〃/

a=\

(11.5.31)

顯然，任意一個(gè)N體態(tài)都是算符冷的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值

為N,而N恰恰是所有單粒子態(tài)上粒子數(shù)之和，因此，將市

稱之為總粒子數(shù)算符。利用產(chǎn)生與消滅算符的對(duì)易關(guān)系，容

易導(dǎo)出如下幾個(gè)常用的對(duì)易關(guān)系：

(11.5.32)

6M=￡

(11.5.33)

篇林。

(11.5.34)

.募…融通…壇用=0

(11.5.35)

上面最后一式說明，粒子數(shù)守恒算符與總粒子數(shù)算符是對(duì)易

的。

5、粒子算符與洞眼算符

如前所述，多體態(tài)在二次量子化中的表示比起在組態(tài)空

間中的表示要簡(jiǎn)單多了，但是，對(duì)于粒子數(shù)很多的體系來說,

仍然是很繁瑣的，因此，需要尋求更簡(jiǎn)潔的表述方式。

例如，的0原子核由8個(gè)中子和8個(gè)質(zhì)子構(gòu)成，它是一個(gè)

雙滿殼層核。在核物理中，通常把質(zhì)子與中子通稱為核子，

用不同的類似于自旋的同位旋來區(qū)別它們。16個(gè)核子中有4

個(gè)核子添在殼層，8個(gè)核子添在°"。殼層，另外4個(gè)核

22

子添在°P［殼層，或者說，在二次量子化表示中，壓。的基態(tài)

2

波函數(shù)的零級(jí)近似為

I①。)=c,,C/-C,10)=。需-<|0)

222222222

(11.5.36)

在核物理中，雙滿殼層核的結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定，把它們的基

態(tài)用||。)來表示，稱之為物理真空態(tài)。通常將物理真空態(tài)稱之

為費(fèi)米海，而把費(fèi)米海中最高的單粒子能量稱為費(fèi)米能量

￡.fO實(shí)際上，物理真空態(tài)是費(fèi)米能量力以下添滿粒子，而知

以上無粒子添充的狀態(tài)。

前面定義的產(chǎn)生與消滅算符統(tǒng)稱為粒子算符，因?yàn)樗鼈?/p>

操作的對(duì)象是粒子。顧名思義，洞眼算符的操作對(duì)象是洞眼,

它是根據(jù)%與%的關(guān)系由粒子算符定義的

當(dāng)分＞?時(shí)，仍然保存“與具的意義。

當(dāng)分43時(shí)，琥=；"a=打

喇|0〉=切0〉；喇圜0)=0

(11.5.37)

由上式可知，的作用相當(dāng)于在填滿粒子的費(fèi)米海中產(chǎn)生一

個(gè)a態(tài)的洞眼，故稱之為洞眼產(chǎn)生算符，同樣可知，%為洞

眼消滅算符，將兩者統(tǒng)稱為洞眼算符。容易證明洞眼算符滿

足的對(duì)易關(guān)系與粒子算符是相同的。

§11.5.3力學(xué)量算符的二次量子化表示

前面已經(jīng)給出了多體態(tài)的二次量子化表示，而薛定謗方

程是由力學(xué)量算符與態(tài)矢量構(gòu)成的，因此，必須將力學(xué)量算

符以二次量子化的形式寫出來，這樣才能使得量子力學(xué)的公

式是協(xié)調(diào)的。

在多體問題中，經(jīng)常遇到的主要是多體單粒子算符和多

體雙粒子算符，下面將分別導(dǎo)出它們?cè)诙瘟孔踊械木唧w

表達(dá)式。

1、多體單粒子算符

在組態(tài)空間中，動(dòng)量、動(dòng)能和哈密頓算符分別為

人N

P=z前

i=\

(11.5.38)

N1N

(11.5.39)

N

氏=Z旗)

i=\

(11.5.40)

其中，多體算符戶、/1與方。的形式是相同的，都是對(duì)某一

個(gè)單體算符的求和，只不過求和號(hào)中的單體函數(shù)不同而已，

通常將戶、下與方。稱之為多體單粒子算符。在坐標(biāo)空間中，

一般的多體單粒子算符可以表示為

人N

0(』，??,F)=2*(為)

/=1

(11.5.41)

定理1設(shè)他｝｝或(叫為任一組正交歸一完備單粒子基

底，假設(shè)多體單粒子算符滿足(11.5.41)式，那么其二次量子

化表示為

。=￡(帖|用?

鄧

(11.5.42)

證明：設(shè)|中〉為N個(gè)全同費(fèi)米子體系的任意一個(gè)N體態(tài),

在組態(tài)空間中，它可以用斯萊特行列式表示為

*=21(-1)"H"值))1限值》?TM(/)).

(11.5.43)

其中，|%&》為第Z個(gè)粒子的第八個(gè)單粒子態(tài)，尸是對(duì)

九，七，…IN的任意一個(gè)置換算符，”為置換的次數(shù)。用算符。

作用在|中〉上，有

。(匹，九2，…，/)|二)

=Z沁J鼻2(t廠H%(斗)〉|%,民》…|加(知)).

/=i7N!p

=.女1產(chǎn)嗎%(嘲M-》…知%值》…|狐(%N》.

(11.5.44)

而

=ZMa(七))依日咐GJ。G))

a

=2(咽力陋&》

a

(11.5.45)

于是有

v^V!P\_i=\a_

irN-

-2(T)"P小翻卜帆的…上卬))

NN!papi=\

(11.

N

=2例4啦%”也…。…7N)

郎i=\

5.46)

因?yàn)閨5〉也可以在?？丝臻g中表示，所以，上面最后一步成

立。習(xí)題選講中將證明

N

2%|“2…。…&)=藍(lán)與憶/2…&)=4務(wù)W

:=1

(11.5.47)

于是，得到多體單粒子算符的二次量子化表示為

邱

(11.5.48)

2、多體雙粒子算符

在組態(tài)空間中，假設(shè)第Z-個(gè)粒子與第/個(gè)粒子的相互作

用用/卜，勺)來表示，那么N個(gè)全同費(fèi)米子體系的雙粒子算符

為

aN

/＜；=1