高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省浙東北縣域名校發(fā)展聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）1.在中，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.2.下列命題中，正確的是（）A.若直線與平面平行，則平行于內(nèi)的任何直線B.若兩直線都與平面平行，則C.若直線平行于平面，直線在平面內(nèi)，則D.若直線與平面平行，則平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行【答案】D【解析】對(duì)于A，若直線與平面平行，則也可能與平面內(nèi)某直線異面，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩直線都與平面平行，則兩直線可以平行、相交，也可以異面，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線平行于平面，直線在平面內(nèi)，則或兩直線異面，錯(cuò)誤；對(duì)于D，如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么平面內(nèi)必有一條直線與給定直線平行，而平面內(nèi)與一條直線平行的直線有無(wú)數(shù)條，根據(jù)平行的傳遞性，這些直線都與給定直線平行，所以有無(wú)數(shù)條，正確.故選：D3.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，所以向量在上的投影向量?故選：A4.底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面積為的正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，正四棱錐，，為底面正方形中心，為中點(diǎn)，由已知可得，所以，又，所以，所以正四棱錐的體積為.故選：C5.用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截一個(gè)底面積為4的棱錐，截得的棱臺(tái)的上底面積為1，已知截去的棱錐的頂點(diǎn)到其底面的距離為3，則棱臺(tái)的體積為（）A.12 B.9 C.7 D.6【答案】C【解析】由題意截去小棱錐的高為3，設(shè)大棱錐的高為，根據(jù)截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，則，所以，所以棱臺(tái)的高是，所以棱臺(tái)的體積為.故選：C．6.在正方體中，分別是、的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：取中點(diǎn)，連接，，，，由正方體可知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，則異面直線與所成角即為直線與所成角，即或其補(bǔ)角即為所求，設(shè)，則，，由正方體可知，平面，平面，即，則，在中，由余弦定理，即直線與所成角的余弦值為.故選：C.7.如圖五邊形由一個(gè)長(zhǎng)方形和等腰三角形構(gòu)成，其中，，是的中點(diǎn)，將，，折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知形成三棱錐，如圖：取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，又平面平面，，平面，所以平面，故為與平面所成角，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，且，因?yàn)?，所以，又，所以，在直角三角形中，，所以與平面所成角的正弦值為.故選：D8.如圖是小明家閣樓的一處墻角示意圖，其中，在的角平分線上有一定點(diǎn)，在處有一盞燈，燈的光線能照亮覆蓋的區(qū)域范圍（圖中，），若A距離地面高度為，則這盞燈可照亮的四邊形區(qū)域的最大面積是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，.由題意：，，，，所以，.因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e：.因?yàn)?設(shè)，則，.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”）.此時(shí).所以四邊形區(qū)域的最大面積是.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9.若是一組基底，則下列各組向量中，可以作為基底的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由已知是一組基底，則與不共線，設(shè)，則，無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)使得，即與不共線，所以可以作為一組基底，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)使得，即與不共線，所以可以作為一組基底，故B正確；對(duì)于C，，即與共線，所以不可以作為基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)使得，即與不共線，所以可以作為一組基底，故D正確；故選：ABD.10.根據(jù)下列條件解三角形，其中恰有一解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BC【解析】對(duì)于A，由正弦定理得：，解得，根據(jù)，可得：，顯然不滿足內(nèi)角和為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正弦定理得：，解得，根據(jù)，且，僅存在一個(gè)銳角滿足，故B正確；對(duì)于C，由正弦定理得：，解得，根據(jù)，可得：，顯然滿足唯一解，故C正確；對(duì)于D，由正弦定理得：，解得，根據(jù)，且，可得一個(gè)銳角和鈍角都滿足題意，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.我們稱底面直徑與高相等的圓柱為等邊圓柱，如圖，在等邊圓柱內(nèi)有一個(gè)正三棱錐，正三棱錐的底面在圓柱底面圓周上，頂點(diǎn)是圓柱的上底面中心，是底面三角形邊的中點(diǎn)，連接，是上底面的一條直徑且不平行于，若圓柱的高為4，則下列說(shuō)法中，正確的是（）A.中的長(zhǎng)為B.圓柱的外接球的體積與圓柱的體積之比為C.四面體的體積最大值為8D.半平面與半平面所成二面角的余弦值的取值范圍是【答案】BCD【解析】因?yàn)閳A柱的高為4，所以底面直徑為4，設(shè)下底面圓的圓心為，因?yàn)榈酌鎴A為等邊的外接圓，所以點(diǎn)為等邊的中心，所以，又，所以，故不正確；設(shè)底面圓的半徑為，則，設(shè)圓柱的外接球的半徑為，所以，所以，，所以，即圓柱的外接球的體積與圓柱的體積之比為，故正確；四面體的體積可看作三棱錐和三棱錐的體積之和，且，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐和三棱錐的體積最大，即四面體的體積最大，所以最大值為，故正確；連接，當(dāng)平面時(shí)，因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，此時(shí)為半平面與半平面所成二面角，又，所以，當(dāng)趨于與平行時(shí)，此時(shí)半平面與半平面所成二面角趨于，所以二面角的余弦值趨于，所以當(dāng)在上底面運(yùn)動(dòng)且不平行于時(shí)，半平面與半平面所成二面角的余弦值的取值范圍是，故正確.故選：.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.如圖，是水平放置的的直觀圖，若，軸，軸，則的面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】根據(jù)題意，將直觀圖還原為原圖，如圖所示，可得為直角三角形，其中，所以的面積為．故答案為：13.已知高為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，則該正四棱柱的表面積為_(kāi)_______．【答案】16【解析】由已知得球的半徑，則正四棱柱的體對(duì)角線為3，設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則，解得，所以該正四棱柱的表面積為，故答案為：16．14.已知向量，，滿足，，，若時(shí)，的最小值為1，則______．【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，化?jiǎn)得，即，而，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為，則.故答案為：2四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知向量和滿足以下條件：（1）求和；（2）若且，求實(shí)數(shù)的值；（3）若且，，求．解：（1）由，則，即，所以；（2）由（1）得，，則，又且，則，解得；（3）由，，所以，又，所以，即，由，則，解得或，即或.16.四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，是的中點(diǎn)，（1）證明：平面；（2）若在底面上的投影為底面中心，求直線到平面的距離．（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接因?yàn)樗倪呅问钦叫危允堑闹悬c(diǎn)因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）解：因?yàn)樵诘酌嫔系耐队盀榈酌嬷行模云矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以，由?）知，平面，所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離因?yàn)闉檎叫?，所以因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即線段的長(zhǎng)度在正方形中，，所以，所以直線到平面的距離為17.如圖，在等腰梯形中，，是的中點(diǎn)，在線段上（含邊界），和相交于點(diǎn)，令、，（1）若是的中點(diǎn)，用和表示；（2）若，求并求的取值范圍．解：（1）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，在等腰梯形中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以；（2）因?yàn)?，所以又，，設(shè)，由，，共線，則，即，所以，所以，所以易得，，所以因?yàn)?，所以令，所?18.在學(xué)習(xí)了解三角形后，小萬(wàn)和小千嘗試探究下面的問(wèn)題：如圖，在中，，，，，，在邊上，且，連接，請(qǐng)完成下述兩個(gè)問(wèn)題，并且寫(xiě)出解答過(guò)程．（1）小萬(wàn)說(shuō)：我能求出邊的最短長(zhǎng)度；（2）小千說(shuō)：我能求出邊的最短長(zhǎng)度；解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，在中，由余弦定理得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即邊的最短長(zhǎng)度為；（2）因?yàn)樵谶吷希?，所以，，所以在中，由余弦定理得，同理在中，由余弦定理得，因?yàn)椋?，即，即，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.19.如圖，等腰直角三角形所在平面與半圓弧所在平面垂直，且，是上異于的點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若三棱錐體積最大為，設(shè)，（ⅰ）求體積最大時(shí)的值及此時(shí)二面角的余弦值；（ⅱ）當(dāng)在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與重合），證明：點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：因?yàn)镸是半圓弧上一點(diǎn)，所以，即，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，，所以平面．?）（?。┰O(shè)的半徑為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖，