高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設向量，，且，則的值為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由，可得：，即，所以，.故選：A2.下列函數(shù)中，以2為最小正周期且是偶函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A不符題意；對于B，函數(shù)的最小正周期，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故B符合題意；對于C，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C不符題意；對于D，函數(shù)的最小正周期，故D不符題意.故選：B.3.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得，即.故選：D.4.的三個頂點的坐標分別為，，，則（）A.角為直角 B.角為銳角C.角為鈍角 D.角為鈍角【答案】C【解析】由三點坐標易得：，所以，又為三角形內角，所以角為鈍角，所以ABD錯，C對，故選：C5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以.故選：C.6.某同學坐旋轉摩天輪時距地面的高度與時間的部分數(shù)據(jù)如下表：03691215182124695.93696.136用函數(shù)模型近似刻畫與之間的對應關系，則該同學在第25秒時距地面的高度約為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知最大高度為9m，最小高度為3m，不妨取，因此可得，解得；數(shù)據(jù)完成一個周期用時為12秒，因此周期，可得；因此函數(shù)模型為，代入，可得.故選：A7.在中，，，且，，則的值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】由，得，即，即，所以，又為公共點，所以三點共線，且為的中點，由，得，所以，又為公共點，所以三點共線，且，由，，得，，則.故選：D.8.已知函數(shù)，對任意都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對任意都有恒成立，只需要即可，只需要即可，，因為，所以，所以，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列計算結果正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.當時，函數(shù)的圖象的一個對稱中心為B.當時，函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個零點，則的取值范圍為D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位所得圖象關于軸對稱且在區(qū)間上為單調函數(shù)，則的值為4【答案】BCD【解析】對于A，當時，，因為，所以不是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，故A錯誤；對于B，當時，，因為，所以是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C，由，得，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個零點，所以，解得，故C正確；對于D，由，得，因為在區(qū)間上為單調函數(shù)，所以，解得，將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得，因為函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以，解得，綜上所述，，故D正確.故選：BCD.11.下列命題為假命題的是（）A.若函數(shù)的定義域為，且滿足，當時，，則B.在銳角中，角的對邊分別為，，，若，，則的面積的取值范圍為C.在中，若，則角的最大值為D.在中，若，，直線與交于點，則【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，則，故A錯誤；對于B，因為，所以，則，因為，所以，所以，所以，所以，所以，故B正確；對于C，因為，由正弦定理得，則，所以，所以，則，則，又因為函數(shù)在上單調遞減，所以角的最大值為，故C錯誤；對于D，設，由，，得，所以，因為三點共線，所以，解得，所以，故D錯誤.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，，且，則實數(shù)________.【答案】【解析】由，得，所以.故答案為：.13.已知海上島在島的北偏東方向距離島5海里處，島在島的北偏西方向，島與島相距7海里，則島與島的距離為________海里.【答案】【解析】如圖，由題意得，由余弦定理得，即，解得（舍去），所以島與島的距離為海里.故答案為：.14.函數(shù)的值域為________.【答案】【解析】，令，則，故，，當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知向量，，若，求實數(shù)的值；（2）已知向量，滿足，求與的夾角的大小.解：（1），由，可得：，解得：，（2）由，可得：，可得：，所以，即，，設與的夾角為，則，所以，即與的夾角為.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）在中，角的對邊分別為，，，且，，，求的面積.解：（1）易知；令，解得；所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（2）由可得，即；又因為，可得；所以，解得；又，;由余弦定理，可得,解得，因此的面積為.17.已知矩形.（1）如圖1，若，，點為線段的中點，記，，請用，表示，，并求向量與的夾角的余弦值；（2）如圖2，矩形是半徑為1，圓心角為的扇形的內接矩形，點，在半徑上，設，求當矩形的面積最大時的值.解：（1），，因為，所以，則，，，所以，即向量與的夾角的余弦值為；（2）由題意，，則，所以矩形的面積，由題意知，則，所以當，即時，矩形的面積取得最大值，為.18.在中，角的對邊分別為，，，且.（1）若，求角；（2）若，，求邊的中線的長；（3）若角的內角平分線的長為2，求的最小值.解：（1）由利用正弦定理可得；又，因此可得，又，可得；由利用正弦定理可得；即，因此，即，可得；所以.（2）設的外接圓半徑為，由可得；即，又，因此可得；由利用正弦定理可得，可得，如下圖：易知，且；因此，因此邊的中線的長為（3）若角的內角平分線的長為2，由等面積法可得，即，可得，即，又，所以；當且僅當，即時，等號成立，即的最小值為18.19.已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（3）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），