高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)數(shù)列的概念選擇題專項(xiàng)訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題及答案一、數(shù)列的概念選擇題1．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列的每一項(xiàng)被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（）A．1348 B．1358 C．1347 D．1357答案：C解析：C【分析】由題意可知，得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前3項(xiàng)和為，又，由此可得答案【詳解】解：由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各項(xiàng)除以2的余數(shù)，可得數(shù)列為，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前3項(xiàng)和為，因?yàn)?，所以?shù)列的前2020項(xiàng)的和為故選：C2．已知數(shù)列滿足，且，則該數(shù)列前2016項(xiàng)的和為（）A．2015 B．2016 C．1512 D．答案：C解析：C【分析】通過計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)確定數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】依題意，，，，從而數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，于是所求值為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到數(shù)列的周期性并找到數(shù)列的周期.3．正整數(shù)的排列規(guī)則如圖所示，其中排在第行第列的數(shù)記為，例如，則等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022答案：C解析：C【分析】根據(jù)題目中已知數(shù)據(jù)，進(jìn)行歸總結(jié)，得到一般性結(jié)論，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，第1行第1列的數(shù)為1，此時(shí)，第2行第1列的數(shù)為2，此時(shí)，第3行第1列的數(shù)為4,此時(shí)，據(jù)此分析可得:第64行第1列的數(shù)為，則，故選：C.4．?dāng)?shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．2答案：B解析：B【分析】由遞推關(guān)系，可求出的前5項(xiàng)，從而可得出該數(shù)列的周期性，進(jìn)而求出即可.【詳解】由，可得，由，可得，，，，由，可知數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，所以.故選：B.5．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用.比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多—斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即，當(dāng)n≥3時(shí)，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列的各項(xiàng)依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為（）A．24 B．26 C．28 D．30答案：B解析：B【分析】先寫出新數(shù)列的各項(xiàng)，找到數(shù)列的周期，即得解.【詳解】由題意可知“斐波那契數(shù)列”的各項(xiàng)依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，此數(shù)列的各項(xiàng)求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，則其周期為6，其中1+1+2+3+1+0=8，則，故選：B.6．若數(shù)列{an}滿足，則的值為（）A．2 B．－3 C． D．答案：D解析：D【分析】分別求出，得到數(shù)列是周期為4的數(shù)列，利用周期性即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，，，，，…，因此數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，∴.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是通過觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.7．已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，第2項(xiàng)為3，前項(xiàng)和為，當(dāng)整數(shù)時(shí)，恒成立，則等于（）A．210 B．211 C．224 D．225答案：D解析：D【分析】利用已知條件轉(zhuǎn)化推出，說明數(shù)列是等差數(shù)列，然后求解數(shù)列的和即可．【詳解】解：結(jié)合可知，，得到，故數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，所以，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查數(shù)列求和，是基本知識(shí)的考查．8．已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意的都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列是增數(shù)列，結(jié)合通項(xiàng)公式，列出不等式組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的都有，則數(shù)列單調(diào)遞增；又，所以只需，即，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查由數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則下列命題錯(cuò)誤的是A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】，則，兩式相減得到A正確；由A選項(xiàng)得到==進(jìn)而得到B正確；同理可得到C錯(cuò)誤；由得到進(jìn)而D正確.【詳解】已知，則，兩式相減得到，故A正確；根據(jù)A選項(xiàng)得到==，故B正確；===，故C不正確；根據(jù)故D正確.故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)題干中所給的條件進(jìn)行推廣，屬于中檔題，這類題目不是常規(guī)的等差或者等比數(shù)列，要善于發(fā)現(xiàn)題干中所給的條件，應(yīng)用選項(xiàng)中正確的結(jié)論進(jìn)行其它條件的推廣.10．在數(shù)列中，，對(duì)于任意自然數(shù)，都有，則（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】在數(shù)列的遞推公式中依次取，得個(gè)等式，累加后再利用錯(cuò)位相減法求.【詳解】，，，，，以上個(gè)等式，累加得①又②①②得，，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)，乘公比錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，由通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)，屬于中檔題.11．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前48項(xiàng)和為（）A．1006 B．1176 C．1228 D．2368答案：B解析：B【分析】根據(jù)題意，可知，分別列出各項(xiàng)，再整理得出，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項(xiàng)之和為2，相鄰的偶數(shù)項(xiàng)之和為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為16，利用分組求和法，即可求出的前48項(xiàng)和.【詳解】解：由題可知，，即：，則有：，，，，，，，，，，.所以，，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項(xiàng)之和為2，相鄰的偶數(shù)項(xiàng)之和為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為16，設(shè)數(shù)列的前48項(xiàng)和為，則，，所以數(shù)列的前48項(xiàng)和為：1176.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及利用分組求和法求和，考查歸納思想和計(jì)算能力.12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．35 B．40 C．45 D．50答案：A解析：A【分析】利用，根據(jù)題目已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，問題得解.【詳解】,時(shí)，時(shí)滿足，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項(xiàng).已知求的三個(gè)步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式．(3)對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．．13．在數(shù)列中，，，則（）A．0 B．1 C． D．答案：A解析：A【分析】寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找尋規(guī)律，求出數(shù)列的周期，問題即可解.【詳解】，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；數(shù)列的周期是3故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列.求解數(shù)列的周期問題時(shí)，周期數(shù)列的解題方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前項(xiàng)的和.14．在數(shù)列中，，，且都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有.B．存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有.C．對(duì)常數(shù)，一定存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有.D．對(duì)常數(shù)，一定存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有.答案：A解析：A【分析】運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性和不等式的知識(shí)可解決此問題.【詳解】數(shù)列中，，，且都有，，設(shè)，則，數(shù)列是遞減數(shù)列.對(duì)于A，由，，則，所以，又，所以，故，時(shí)，，，時(shí)，即存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，故A正確；結(jié)合A，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)，且時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，則無最大值，故C不正確；對(duì)于D，由數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)存在時(shí)，則無最小值，故D不正確；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的單調(diào)性以及不等式，屬于基礎(chǔ)題.15．已知數(shù)列，3，，，…，，…，則是它的（）A．第8項(xiàng) B．第9項(xiàng) C．第10項(xiàng) D．第11項(xiàng)答案：D解析：D【解析】【分析】根據(jù)根號(hào)下的數(shù)字規(guī)律,可知為等差數(shù)列.利用等差數(shù)列性質(zhì)求得通項(xiàng)公式,即可判斷為第幾項(xiàng).【詳解】根據(jù)數(shù)列中的項(xiàng),都改成根式形式為,,,,…,,由前幾項(xiàng)可知,根式下的數(shù)列是以5為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列則根式下的數(shù)字組成的等差數(shù)列通項(xiàng)公式為而所以解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、數(shù)列多選題16．意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：….即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和.后人為了紀(jì)念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A． B．是偶數(shù) C． D．…答案：AC【分析】由該數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，，，，故A正確；對(duì)于B，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項(xiàng)是偶數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，，，，各式相加解析：AC【分析】由該數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，，，，故A正確；對(duì)于B，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項(xiàng)是偶數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，，，，各式相加得，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是合理利用該數(shù)列的性質(zhì)去證明選項(xiàng).17．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項(xiàng)的值可能為（）A． B． C． D．答案：ABC【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計(jì)算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項(xiàng)的所有可能值，判斷選項(xiàng)即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計(jì)算得，，，，，因此繼續(xù)下去會(huì)循環(huán)解析：ABC【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計(jì)算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項(xiàng)的所有可能值，判斷選項(xiàng)即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計(jì)算得，，，，，因此繼續(xù)下去會(huì)循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用和周期數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.18．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．且C．D．答案：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列解析：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以所以，令，則，所以，所以以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；故選：BC【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，本題運(yùn)算量較大，難度較大，要求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題．19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列答案：ABC【分析】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，時(shí)，，進(jìn)而求出．【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，∴，化為：，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，∴，可得解析：ABC【分析】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，時(shí)，，進(jìn)而求出．【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，∴，化為：，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，∴，可得，∴時(shí)，，，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析可得，A，B，C三個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，解題關(guān)鍵是將已知遞推式變形為，進(jìn)而求得其它性質(zhì)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于常考題20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列答案：AD【分析】先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系化簡條件，再構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式求，最后根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；解析：AD【分析】先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系化簡條件，再構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式求，最后根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；所以，即A正確；當(dāng)時(shí)所以，即B，C不正確；故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查由和項(xiàng)求通項(xiàng)、等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式以及數(shù)列單調(diào)性，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.21．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．4 B．5 C．7 D．8答案：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差解析：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差為，設(shè)一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因?yàn)?，所以?00的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗(yàn)證可知滿足題意.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.22．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A．（d為常數(shù)） B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．是與的等差中項(xiàng)答案：ABD【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)直接判斷AD選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項(xiàng).【詳解】A.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)解析：ABD【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)直接判斷AD選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項(xiàng).【詳解】A.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；C.，不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；D.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以是與的等差中項(xiàng)，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題型.23．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B． C． D．答案：AC【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，求出，，由此能求出與．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．，，，解得，，．故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公解析：AC【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，求出，，由此能求出與．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．，