第二章：數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)

一、數(shù)列的概念

1、數(shù)列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列數(shù)叫0M2/<44,4”，人

做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的一般形式可以寫成，簡(jiǎn)記為數(shù)列，其中第i項(xiàng)也

成為首項(xiàng)：是數(shù)列的第項(xiàng)，也叫做數(shù)列的通項(xiàng).

數(shù)列可看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的子N*集)的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)，該函數(shù)*j

應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列.

2、數(shù)列的分類：

按數(shù)列中項(xiàng)的多數(shù)分為：

C)有窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為有限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)有限；

(2)無(wú)窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為無(wú)限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)無(wú)限.

3、通項(xiàng)公式：

如果數(shù)列的第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系可?！?shù)優(yōu)〃)

以用一個(gè)式子表示成，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析

式.

4、數(shù)列的函數(shù)特征：

一般地，一個(gè)數(shù)列，{〃〃}

如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)?！?]>an

即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞增數(shù)列；

如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)凡

即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞減數(shù)列；

如果數(shù)列的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫做常數(shù){%}列.

5、遞推公式：

某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示，叫做遞推公式.

二、等差數(shù)列

1、等差數(shù)列的概念：

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列久叫做等差數(shù)列，這個(gè)常

數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.

即(常數(shù))，這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是a,^-a=d

否為等差數(shù)列的依據(jù).

2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為,則通項(xiàng)公式為：｛4｝

?l)d=am+(/?-m)d,(〃、mGN

3、等差中項(xiàng)：

(1)若成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，a^b

且口：

(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，氏，機(jī)*見(jiàn)心2

即是與的等差中項(xiàng)，且；反之若數(shù)列滿足，2

則數(shù)列是等差數(shù)列.

4、等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)等差數(shù)列中，若則，若則；m+幾=慳#常財(cái)府冷中aqwN),

nPq+

(2)若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則數(shù)列也為等｛.恁上｝

差數(shù)列；

(3)等差數(shù)列的公差為，則｛ad｝

為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，為常數(shù)列.d其0。｛%｝

5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：S.

(I)數(shù)列的前n項(xiàng)和=；q+/+〃3+八樞+〃“，(〃￡N+)

(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系：J次扣=1

(3)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，離,「〃嶺

“na\+d.

則前n項(xiàng)和22

6、等差數(shù)列前n和的性質(zhì)：

(1)等差數(shù)列中，連續(xù)m項(xiàng)的/+的+八+?”，(以川｝+am+2+A+a』”,

和仍組成等差數(shù)列，即

，仍為等差數(shù)列(即成等差數(shù)列)：S6扁,3條4

(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和當(dāng)+咚噂必可

時(shí)，可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，(/

且不含常數(shù)項(xiàng)；

小學(xué)初中高中全科輔導(dǎo)

數(shù)）項(xiàng)，則若等差數(shù)列共有2n（偶數(shù)）項(xiàng)，則

7、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題：S”

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，則{可,}

（1）（即首正遞減）時(shí)，有最大值且的最卬>0卸

大值為所枸非負(fù)數(shù)項(xiàng)之和；

（2）（即首負(fù)遞增）時(shí)，有最小值且的最6<0$[c/>0

小值為所有非正數(shù)項(xiàng)之和.

三、等比數(shù)列

1、等比數(shù)列的概念：

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)99。的比是同一個(gè)不為零的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫

做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示（）.

即，這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是否為為非零常數(shù)）

等比數(shù)列的依據(jù).凡

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公〃=。=a/悒伽>機(jī),〃、機(jī)GN）

n1m+

比為，則通項(xiàng)公式為：.

3、等比中項(xiàng):

（1）若成等比數(shù)列，則叫做與的等比中項(xiàng)，（火&欣

且：

（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，加，軌號(hào)

3〃中時(shí)0

即是與的等比中項(xiàng)，且；反之若數(shù)列滿足，則數(shù)列是等比數(shù)列.

4、等比數(shù)列的性質(zhì)：

（I）等比數(shù)列中，若則，若則；〃?+〃=〃堿僻捋/、qwN）,

ntfftpq

（2）若數(shù)列和均為等比數(shù)列，則數(shù)列也為等比{《由4}數(shù)列；

（3）等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為,貝I{acf}

為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，2色設(shè)股％小}

為常數(shù)列.

5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和:

（I）數(shù)列的前n項(xiàng)和=；a1+生+%+八樞4-1+〃",（"￡

（2）數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系；\{8^1=1

“kkS”-

簪嗡獺酸a18.2W8mg<窗%WWW-蛔豳獺冊(cè)微修灸念條鰥btdu

鬻嚅寓融^必川姍嬲跚跚姍酬的腋?■跚腋醐小學(xué)初中高中全科輔導(dǎo)

(3)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，S濘

〃JI

7------，"]

1-q

則

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可知

已知中任意三個(gè)，便可建方程組求出另外兩個(gè).

6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)：

設(shè)等比數(shù)列中，首項(xiàng)為，公比為，則，(陶0)

(1)連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等比m+生即飆匕"%晶欣顯選△+。2,〃，

數(shù)列，即,仍為等比數(shù)列(即成等差數(shù)列)；

(2)當(dāng)時(shí)，，彳(]_力a4手、aa

設(shè),則.q—T

四、遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法總結(jié)q一1

1、遞推數(shù)列的概念：

一般地，把數(shù)列的若干連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系叫做遞推關(guān)系，把表達(dá)遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式，而

把由遞推公式和初始條件給出的數(shù)列叫做遞推數(shù)列.

2、兩個(gè)恒等式：

對(duì)于任意的數(shù)列恒有：{〃“}

⑴%=4+(%-q)+3-%)+(%-%)+八+(%-)

⑵a=aX2X&AAX"”,(〃/0,〃金N)

3、遞推數(shù)列的類型以"'4%生J

及求通項(xiàng)方法總結(jié):

類型一(公式法)：已知(即)求%七緇QSM,)=/(")

""=fs,「Sz，(〃22)

用作差法：

類型二(累加法)：已知：數(shù)列“善啾)”(〃￡凡)

的首項(xiàng)，且，求.

給遞推公式中的n依次取1,2,3,%at=/(?),(/?eV+)

……，n-1,可得到下面n-1個(gè)式子：

%一卬=/(1)，的一生=/(2),。4一%=/(3),A,4一*=f(n-1).

利用公式可得:I"=6+3-"1)+(%一生)+(4一。3)+A+〃-an-\)

4="+"l)+”2)+“3)+A+/G-l).

45嫌需榔燃祭而制嬲姍姍姍姍酬嬲姍姍姍跚酬酬小學(xué)初中高中全科輔導(dǎo)

^-=丹那麻wN）

類型三（累乘法）：已知：數(shù)列的冊(cè)

首項(xiàng)，且,求.

給遞推公式中的n一次取1,2,3,〃“+1

~a/(〃)，(〃￡N、)

……，n-1,可得到下面n-1個(gè)式子：，

且=/⑴,3=*2),3=/(3),A,g/(?-1).

ci\a2%a,r

2

利用公式可得:a=ax"x"3x/xAx"",(aw()、〃￡N)

4=0dx/(2)x/你xAx/(n-l).

類型四（構(gòu)造法）：形如、（為常數(shù)）的4K擊枷?用第

/H-1nn

遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。

①解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再a田=即+q

利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解,

②解法：該類型較要復(fù)雜一些。一般地，蟲(chóng)L郴和

時(shí)?￥q

要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入“qqq

輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用的方法解決。

類型五（倒數(shù)法）：已知：數(shù)列〃=P。碑諫心

川，（〃HO，〃wN+）

的首項(xiàng)，且，求.qci,,+r

設(shè)‘八1-J_

〃項(xiàng);出膿;.

若則，即數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.占_〃凡印呼叫q

“+1”+一己%"?"二

若則（轉(zhuǎn)換成類型四①）.P聿P，qP

%=-b”+—

五、數(shù)列常用求和方法〃P

L公式法

直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式，立方和公式等公式求解.

2.分組求和法

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求

和而后相加減.

3.裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和就變成了首尾少數(shù)項(xiàng)之和.

4.錯(cuò)位相減法

HE鬻嚅需鼎曙任姍姍姍刪新姍姍姍姍姍姍制姍刪姍刪小學(xué)初中高中全科輔導(dǎo)

夕S忌叼4蜘匈和和闋入回妣即夕

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的，此時(shí)可把式子的兩邊同

乘以公比，得到，兩式錯(cuò)位相減整理即可求出.

5、常用公式:

12+22+八（〃-1）2+〃2=〃（〃十IP"1）I、平方和公式：

6「〃（刀+1）T

13+23+A（!I-1）3+H3=[1+2+A+（H-1）+/7]II

L2J

2、立方和公式:

3、裂項(xiàng)公式：

「分式裂項(xiàng):111

11（\1、

〃（〃+「）n/?+1〃（〃+4）上〃+Z

六、數(shù)列根式裂項(xiàng):1㈤

的應(yīng)用

1、零存整取模型:

銀行有一種叫作零存整取的儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)，即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,

可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利.

注：?jiǎn)卫挠?jì)算是僅在原本金上計(jì)算利息,對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息.其公式為:利息=本金X利率X

存期.以符號(hào)P代表本金,n代表存期,1?代表利率,s代表本金和利息和（即本利和）廁有s=p〃+〃”.

零存整取是等差數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用.

2、定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型：

銀行有一種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存.例如，儲(chǔ)戶某日存入一筆1年期定期存款,