第04講3.2.2奇偶性

學習目標

課程標準學習目標

①了解函數(shù)奇偶性的含義，掌握判斷函數(shù)奇

偶性的方法，了解奇偶性與函數(shù)圖象對稱性

之間的關系.

②利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，利用函通過本節(jié)課的學習，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，會求

與奇偶函數(shù)有關的函數(shù)解析式，能處理與函數(shù)單調(diào)性、

數(shù)的奇偶性解有關函數(shù)不等式，利用函數(shù)的

奇偶性求參數(shù)范圍.周期性相關的綜合問題.

③能解決與函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性有

關的綜合問題.

思維導圖

如果時于西數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任重一個X,

偶函教/、*<f（-x）=f（X）

-------€>

如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個X.

奇的數(shù)都有f（-X）=—f（X）

6

（1）定義域是否關于原點對稱（左右畿點同時（不）取到且成相反散）

定

義否：節(jié)奇非，品的敢

法

-f（*）奇曲帆"-、）=fd-r（、琲毒步曷

判

斷

（1）定義域關于原點對禰az*

方同時滿足o

法（2）寄函數(shù):BB像關于原點對1爾;偶函數(shù):SB像關于、軸對稱

篆果一個奇國數(shù)f(x)在原點處有定義.

即f(0)有意義，那么一定有f(0)=0

★的數(shù)在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性

工函數(shù)在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性

供曲斂4H出數(shù)=俱4數(shù)、*川做+號屬做==*晶帔

慎晶數(shù)xHA數(shù)一值/數(shù)、奇晶敏x奇?鍛二口鼻敕同性加減得同性，

號晶敷X優(yōu)晶效三號晶效、H晶數(shù)*ua4tq供晶敏F異姓京除為奇，

同性京除為H

多屬新*才得效一儀得救、才得敷*例南斂一才喝徽

知識清單

知識點01：函數(shù)的奇偶性

1、定義:

1.1偶函數(shù)：一般地，設函數(shù)〃工)的定義域為/,如果VxS,都有TW/,且/(r)=/(x)，那么函

數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

1.2奇函數(shù)：一般地，設函數(shù)/(工)的定義域為/,如果Vx",都有-x￡/,且/(r)=-/(x),那么

函數(shù)“X)就叫做奇函數(shù).

2、函數(shù)奇偶性的判斷

2.1定義法：

(1)先求函數(shù)/(幻的定義域/,判斷定義域是否關于原點對稱.

(2)求/(—X),根據(jù)/(—X)與/*)的關系，判斷了。)的奇偶性:

①若/(—幻+/(X)=0=/(-x)=-/(X)o/(X)是奇函數(shù)

②若/(-X)-/(X)=0=/(-X)=/(X)=/(X)是偶函數(shù)

/(—X)+fM=°o|/(一幻=一/(x)

/(-X)-/(X)=0O[/(-X)=/(X)=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

/(一X)*-/(X)

④若、:、O/。)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

\f(-X)吟f(X)

2.2圖象法：

(1)先求函數(shù)/(幻的定義域/,判斷定義域是否關于原點對稱.

(2)若/(幻的圖象關于y軸對稱O/(X)是偶函數(shù)

(3)若八X)的圖象關于原點對稱O/(X)是奇函數(shù)

2.3性質(zhì)法：

fM,以幻在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論:

/(■V)

/(X)g(x)/(x)+g(x)fW-g(x)

g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

【即學即練1】(2023春?青海西寧?高二校考開學考試)下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)，既是奇函數(shù)又是減函

數(shù)的是()

A./(x)=xB./(A)=-C./(x)=r|HD.f(x)=-x2

X

【答案】c

【詳解】對于A,x為增函數(shù)，不符合題意：對于B,〃"二1為奇函數(shù)，但是該函數(shù)在定義域內(nèi)不

符合單調(diào)遞減的定義，錯誤；對于C,/(-X)=MM=-/(X),故為奇函數(shù)，當XN0時，/*)=-2在［0,+8)

上單調(diào)遞減，當x<0時，/0)=/在(-8,0)單調(diào)遞減，故C符合題意；對于D,/(x)=-Y為偶函數(shù)，且

在定義域內(nèi)不單調(diào).

故選：C

知識點02：奇函數(shù)，偶函數(shù)的性質(zhì)

1、奇函數(shù)，偶函數(shù)的圖象特征

設函數(shù)/(X)的定義域為/

(1)/(X)是偶函數(shù)。/(力的圖象關于了軸對稱；

⑵/("是奇函數(shù)。/(力的圖象關于原點對稱；

⑶若/(X)是奇函數(shù)且05,則"0)=0

2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關系

(1)/(x)是偶函數(shù)07(%)在關于原點對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性;

(2)/(x)是奇函數(shù)O/(x)在關于原點對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;

3、函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值及最值的關系

設函數(shù)/(x)的定義域為[F—o]U[。向(其中

(1)/(力是偶函數(shù),且/⑴在向上單調(diào)，則“力在[也一網(wǎng)上有相反的單調(diào)性,

此時函數(shù)的最大(小)值相同：

(2)/(X)是奇函數(shù)，且/(X)在[〃向上單調(diào)，則“X)在上有相同的單調(diào)性,

此時函數(shù)的最值互為相反數(shù)；

【即學即練2](2023?全國?高三對口高考)設奇函數(shù)/*)在(0,xo)上為單調(diào)遞增函數(shù)，且"2)=0,則

不等式八一")一八")之0,的解集為(

)

x

A.[-2,0JU[2,-K?)B.(YO,-2]50,2]

C.(-oo,-2]」2*)D.[-2,0)(0,2]

【答案】D

【詳解】由題意可得，奇函數(shù)/⑴在(0，y)和(-8,0)上都為單調(diào)遞增函數(shù),

且f(-2)=/(2)=0,函數(shù)圖像示意圖如圖所示：

故不等式NO,即包立20,即

"f1X”"XX

結(jié)合“幻的示意圖可得它的解集為“1-2Wx<0或0<式工2}

故選：D.

知識點03：對稱性

1、軸對稱:

設函數(shù)/(x)的定義域為/,且是/(力的對稱軸，則有:

①/(a+x)=/(a-x)；

@f{x)=f(2a-x)

@f(-x)=f(2a+x)

2、點對稱

設函數(shù)/(力的定義域為/,且(〃,0)是/(力的對稱中心，則有：

①/(4+力=-/(々-幻；

②R-X)

③f(-x)=-/(2a+x)

3、拓展：

①若/(々+X)=f(b-x),則/(x)關于x=與且對稱；

②若〃。+x)=-f(b-x),則f(x)關于(2|色,0)對稱：

【即學即練3】(2023?廣西南寧?南寧三中?？家荒?已知函數(shù)/(同，雇工)的定義域均為R,且

/(燈+/(2-司=4,g(x)=/(x—l)+l,若g(x+l)為偶函數(shù)，且/(2)=0,則g(2022)+g(2023)=()

A.5B.4C.3I).0

【答案】B

【詳解】?一/(耳+〃2-力=4,/(x)以(1,2)為對稱中心，且〃1)=2；

g(x+l)=g(r+l)即/(x)+l=/(f)+l，

??.”x)為偶函數(shù)，以)'軸為對稱軸；

/./(-(2-x))=/(2-x),lip/(x-2)=/(2-x),

由f(x)+/(2-x)=4知，/(A-+2)+/(X)=4,

/(x+2)=/(2-x),/(x+2)=/(x-2),

分、而/(X+2+2)=/(X+2—2),即/(%+4)=/(X),

??.f(x)的周期為4,g(x)的周期為4；

故g(2022)+g(2023)=g(2)+g(-l)=/(l)+l+/(-2)+l=2+l+0+l=4.

故選:B.

題型精講

題型01函數(shù)奇偶性定義與判斷

【典例1】(2023?高一課時練習)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是()

A./(x)=x3B./(x)=|x-l|C./(x)=lD./\x)=^—

x+1

【答案】C

【詳解】對于A,函數(shù)/(x)=M的定義域為R,/(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),〃勸不是偶函數(shù),A不是;

對于B,函數(shù)f(x)=|xT|的定義域為R,/(r)=|r-l|=|x+l隹f(x),不是偶函數(shù)，B不是；

對于C函數(shù)/(幻=1的定義域為R,f(-x)=l=/(x),〃*)是偶函數(shù),C是;

V-X

對于D,函數(shù)/*)="的定義域為R,/(-A)=—T—-=-/U)t不是偶函數(shù)，D不是.

X-+1(-X)+1

故選：C

【典例2】(2023?高一課時練習)函數(shù)/")=x|x|(x?O)的奇偶性是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

【答案】D

【詳解】函數(shù)/(x)=*lx|(x4O)的定義域為(YO,O],不關于數(shù)0對稱，

所以函數(shù)/*)是非奇非偶函數(shù).

故選:D

【典例3】(2022秋?河北保定?高河北省唐縣第中學校考階段練習)若函數(shù)/(%)滿足

/(x+l)=x2+2x+l

⑴求函數(shù)/("的解析式；

⑵若函數(shù)8(1)=/(力-/(5,試判斷g")的奇偶性，并證明.

【答案】⑴/(x)=f

⑵偶函數(shù)，證明見解析

【詳解】(1)由于〃1+1)=/+2、+1=(工+1)2,

所以=V

(2)^(x)=/(x)-/f-l=x2--^(xwO),

x-

g(x)為偶函數(shù)，證明如下：

g(x)的定義域為｛x|xw。｝，

且&(一"=(_刈2_7^="一卜且(力，

(f)A

所以g(x)是偶函數(shù).

【變式1](2023?高一課時練習)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是[)

A./(x)=xB./U)=Jx|C./(x)=x2D.f(x)=x2-\

【答案】A

【講解】對于A,f(x)=x的定義域為R,f(-x)=-x=-f(x)r函數(shù)是奇函數(shù)，A是；

對于B,/(x)=UI的定義域為R,f(-x)=\-x\=f(x),函數(shù)/(")不是奇函數(shù),B不是；

對于C,/(%)=/的定義域為R,f(-x)=(-x)2=f(x),函數(shù)/(x)不是奇函數(shù)，C不是;

對于D,/(%)=/-1的定義域為，八7：)=(-幻2-1=/(幻，函數(shù)/(X)不是奇函數(shù)，D不是.

故選：A

2

【變式2](2022秋?北京?高一北京師大附中?？计谥?已知函數(shù)/(1)=--。，g(%)=x-a(awR).

x

(1)當a=l時，解關于x的不等式f(x)2O;

⑵判斷函數(shù)y=/。)-g。)的奇偶性，并證明；

【答案】(1)0<工<2

⑵奇函數(shù)，證明見解析

22-v

【詳解】⑴當。=1時，/(x)=—1=-->0,

XX

|x(2-x)>0

即八，解得0<x?2.

|x=O

2

(2)依題意，y=f(x)-g(x)=—x判斷函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：

Xt

令人(x)=；-X,定義域為(-8,0)u(0,+8),

22

因為h(-x)=一一+x="(--x)=-h(x),

XX

所以函數(shù)為奇函數(shù).

題型02由奇偶性求解析式

【典例1】(2023?全國?高三專題練習)已知“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，/(-r)=x+2,

則當xvO時，〃x)=()

A.—x—2B.—x+2C?A--2D.x+2

【答案】c

【詳解】x<0時，-x>0,f(-x)=-x+2,f(x)=-f(-x)=x-2.

故選：C.

【典例2］（2023?云南曲靖?宣威市第七中學校考模擬預測）函數(shù)/。）是定義在R上的偶函數(shù)，當心0時，

/（x）=x2-2x.

<1）求函數(shù)/㈤在xe（?，。）的解析式；

（2）當〃?0時，若1/（⑼1=1,求實數(shù)〃？的值.

【答案】（1）/（X）=X2+2X；（2）1或1+VL

【詳解】（1）令.r￡（-cn,0）,|JllJ-XW（0,+co）,

由f（x）=由-x）,此時f（x）=x2+2.v；

（2）由〃7〉0,|/（//?）|=|/M2-2/?z|=1,

所以m2—2m=±1>

解得〃?=1或〃7=1+虛或加=1-&（舍）.

【典例3】（2023春?云南文山?高一?？茧A段練習）設函數(shù)〃“=鬻是定義在（-1/）上的奇函數(shù)，且

也卜之

（1）確定函數(shù)/（X）的解析式；

（2）試判斷函數(shù)/（%）的單調(diào)性，并用定義法證明.

【答案】（1）““=高；（2）/（可在（T1）上單調(diào)遞增，證明見解析

【洋解】（1）二.函數(shù)〃"二鬻是定義在（—1/）上的奇函數(shù)，

由/（0）=0,得〃=0.

1

a

142-4

/---2

I2515-

+

4-

所以函數(shù)/（X）的解析式為：/3=肅；

⑵設-――，則/儲）-/&）=禹-高疣—?

1+Xj1+x2（1+A,,1（1+x2I

2

K一“2<0,1一>0,1+xj>0,1+x2>0,

??⑸<0,即/&）</（』），

所以〃x）在（Tl）上單調(diào)遞增.

【變式1】（2023春?河北石家莊?高二正定中學校考階段練習）已知函數(shù)“X）是定義在［-3,3］上的奇函數(shù),

當0<xK3時，f（x）=-x2+x.

⑴求當一34x<0時，函數(shù)/（x）的解析式；

（2）若/'（。+1）+/（加一1）>0,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴/（"=一

⑵。2］

【詳解】（1）設一3<*<0,則0<-1工3,

目7以/（_x）=g（_x）2_x=gw_x,

因為“X）是定義在卜3,3］上的奇函數(shù)，

所以

所以-/（"二；/7,

所以“X）=—；/+x

即當-3Wx<0時，函數(shù)/（1）的解析式為〃x）=—；V+x,

（2）由/（a+l）+/（2a-l）>0,得/（。+1）>-/（2〃-1）,

因為“力為奇函數(shù),所以

/(x)=#+x=g(x+])T，

當0vxW3時,

所以〃x）在（03上單調(diào)遞增,

因為函數(shù)/⑴是定義在［-3,3］上的奇函數(shù),

所以〃工）在［-3,3］上單調(diào)遞增，

-3<^+1<3

所以一3K2〃-1工3,解得OvaM2,

a+\>\-2a

即實數(shù)。的取值范圍為（0,2］

【變式2】（2023秋?山東濟寧?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/"）是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時,

2

/（<v）=x---+2.

⑴求“X）在R上的解析式；

⑵當x?—2,—l］時，求/（”的值域.

2

x--F2,x>0

x

【答案】⑴f(x)=0,x=。

2

x----2.x<0

x

(2)[-3,-1]

【詳解】(1)?.,函數(shù)/(力為奇函數(shù)，則有:

「212

當工<0時，則—x>(),故/(%)=-/(-工)=一(-x)----+2=A----2；

-XJX

當工=0時，則/(0)=0；

2c八

X——+2,x>0

X

所以/(A)在R上的解析式為“X)=?0,x=0

2

x----2,x<0

X

(2)當xe[_2,—l]時?，則/(力=4_2_2,

X

|]22

對e[-且內(nèi)〈工2，則—>一,故---<----，

LJ耳％X勺

29

.2<s—2,即/(%)</(毛)，

人I人2

故f(x)=x—：-2在上為增函數(shù)，

H./(-2)=-3,/(-l)=-l,則-347(力4—1,

所以當2,—1]時，〃力的值域為

題型03由奇偶性求參數(shù)

【典例1】(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預測)已知/(x)=(x-2)(x+a)是偶函數(shù)，貝心=()

A.-IB.1C.-2D.2

【答案】D

【詳解】方法一：因為f(x)=d+(a-2)x_2a,

所以/(一6=/-(。一2"一2%

Ehy(-x)=/(.r),^x2-(a-2)x-2a=x2+(a-2)x-2a,

解得〃=2；

方法二:f(x)=^+(a-2)x-2af

因為/(X)是偶函數(shù)，

所以/“)圖像關于直線x=。對稱，

所以--二。，解得。=2,

故選：D.

【典例2】(2023秋?高一單元測試)設/(x)=6+/u+2是定義在［1+。［］上的偶函數(shù)，則〃+%=

A.0B.2C.-2D.g

【答案】C

【詳解】由于/(幻在I1+a1］上的周函數(shù)，故定義域口+4,1］關于原點對稱，即：1+。+1=0,得。=一2.

又由于/(幻為偶函數(shù)，即：fix}=f(-x)=>ax2+bx^2=?(-x)2+/7(-x)+2,化簡得：b=O.

則〃+%=-2+0=-2.

故選：C.

【典例3】(2023?高一課時練習)已知函數(shù)/(幻=/+5+［是偶函數(shù)，其中。為常數(shù)

(1)求。的值；

⑵若〃葉〃=2時，均有/?！?-/(〃)>/⑴，求〃7的取值范圍.

【答案】⑴c=O；

3

(2)^>-

【詳解】(1)函數(shù)/(幻=爐+5+1是偶函數(shù)，則VxwR,/(-%)-/(%)=0,

W［(-Jt)2+c(-x)+l］-(x2+cr4-l)=0o-2CX=0,而*不恒為0,則c二。，

所以C的值是0.

(2)由(1)知，/(A)=x2+1,/⑴=2,由〃?+〃=2,得〃=2-"2,

顯然+1-［(2-6)2+1］=4m-4,由/(6)一/(〃)>/(1),

得4〃?一4>2,解得機

3

所以〃?的取值范圍是〃>7

【變式1】(2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預測)已知/(x)=(x+D*+a)為偶函數(shù)，則〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【詳解】因為函數(shù)/*)=*+1)*+。)為偶函數(shù)，

則VxeR,f(x)-f(-x)=0o(x+l)(x+a)-(—工+l)(-x+a)=0,

即女eR,2(a+l)x=0,因此a+l=0,解得〃二一1,

所以〃=-L

故選：B

【變式2](2023秋?江蘇鹽城?高一鹽城市第一中學校聯(lián)考期末)設/("=-丁+(。-2)/+犬是定義在

[2〃/+3]上的奇函數(shù)，則/(〃+“|=()

A.-1B.0C.1D.-2

【答案】B

【詳解】因為〃司=-/+(〃-2*+1是定義在[純〃+3]上的奇函數(shù)，

所以2/7+8+3=0,即〃=-1,且/(-K)=f+(。-2)/—x=―/(力，故a—2=0,所以a=2,

所以/(x)=_/+x,則/.+〃)=/⑴=_13+[=o.

故選：B.

【變式3](2023,全國?高三專題練習)若函數(shù)/(6=渥+法+3a+"a-lW2a)是偶函數(shù)，則。、〃的

值是()

A.a=0,b=0B.”不能確定，b=0

C.a=0,力不能確定D.〃=：,/?=()

【答案】D

【詳解】因為函數(shù)/(x)=ax'+法+3a+-1?x?2a)是偶函數(shù)，

可得〃-1+加=0,解得“=:，即/(x)=；/+法+1+0，

又由/(一力=:/一班+1+A,

因為函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，則〃—r)=/(x),即;Wr+l+〃=+2—〃ii+b,

解得b=O

故選:D.

題型04由奇偶性解不等式

【典例0(2023春?四川自貢?高一?？茧A段練習)已知g("為定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)標〃，

有包“二膽<0,若g(〃z)+g(〃-2)>。，則實數(shù)，"的取值范圍是()

a-n

A.(3,+oo)B.(f,3)C.(L-H?)D.("/)

【答案】D

【詳解】對任意實數(shù)標b,有蛔<0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，

a-b

又因為函數(shù)g(x)為定義在R上的奇函數(shù),且g(m)+g(〃-2)>0,則g(〃?)>g(2-m)，所以〃7<2-6,2陽<2,

得m<\.

故選：D

【典例2】(2023秋?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末)若偶函數(shù)/(力在［0,+⑹上單調(diào)遞增，且/(5卜-/(-5),

則不等式1)>。解集是()

A.(-4,0)U(6,-KO)B.(-4,6)

C.ST)乂6,同D.(^o,-4)u(0,6)

【答案】A

【詳解】因為/(力是偶函數(shù),所以由〃5)=-<(-5)=>/(5)=-/(5)=>/(5)=0,

當工>0時，由4(工一1)>。=>/&-1)>()=,“5)=/(卜一1|)>/(5),

因為““在［。，?)上單調(diào)遞增，

所以/(卜一1|)>/⑸=k一">5nx>6,或x<-4.

而工>0,所以x>6：

當.rv0時，由由x—l)>0n/(.M—l)v0=/(5)n/(|x-l|)v〃5),

因為/W在［。，3)上單調(diào)遞增，

所以/(|4-1|)</,(5)=>人一1|<5=-4<%<6或］〈一4,

而hvO,所以T<x<0,

故選:A

【典例3】(2023秋?廣東深圳,高一統(tǒng)考期末)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：在［0,+8)上單調(diào)遞減,

則滿足了(21-1)>/(1)的解集.

【答案】(0,1)

【詳解】因為/("為定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞減，

所以〃2X-1)>〃1)。〃|2八1|)>八1),

所以|2x-l|vlo-lv2x-lvl,

即0<x<1,

故答案為：(。,1)

【典例4】(2023?廣東深圳?深圳中學校聯(lián)考模擬預測)己知/(“為R上的偶函數(shù)，函數(shù)/仆)=「f(x)在

［0,+少)上單調(diào)遞增，則不等式(1r『/(I-x)-(3+A)2/(3+外>0的解集為.

【答案】

【詳解】因為/(x)為R上的偶函數(shù)，函數(shù)心)=<Ax),

所以h(-x)=(T)2f(-x)=x2f(x)=h(x),即函數(shù)h(x)為偶函數(shù),

由(1一幻2/(1—X)-(3+X)2/(3+X)>0,RT^(1-X)2/(I-x)>(3+x)2/(3+x),

BPh(\-x)>h(3+x),又函數(shù)"x)=Y/(x)為偶函數(shù)且在[0,+a)上單調(diào)遞增，

所以"才鄧+不解得XV-1,即原不等式的解集為(f-1).

故答案為：(-

【變式1】(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)“X)為定義在R上的偶函數(shù)，對任意的々>%之0,都有

/㈤―且/(2)=4,則不等式/(6>2B的解集為()

A.(7,-2)=(2,+8)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(9,2)

【答案】A

[詳解】對任意的丹〉芭N0,都有/(一)[".)2,則-2=卜⑸-悶-卜㈤一詞>o,

*2—XX?-XI%2—*1

令g(x)=/(x)-2|x|,則g(x)=/(x)-2|x|在[0,+8)上單調(diào)遞增，

因為/(X)為定義在R上的偶函數(shù),

所以g(-X)=/(-X)-2|-A|=/(A-)-2兇=g(x),即g(x)=/(X)-2國為偶函數(shù),

又g(2)=f(2)-2x|2|=0,

由f(x)>2k],可得g(x)=/(x)—2W>。，即g(兇)>g⑵，

所以區(qū)>2,

所以〃力>2兇的解集為(一8,-2)52,+8),

故選：A.

【變式2](2023?湖北?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/(力是定義在R上的偶函數(shù)，對任意與々日°，也)，且工產(chǎn)與，

有"'J一/仇)>0,若/(])=(),則不等式(x7)/(x)>。的解集是()

王一吃

A.(―1,1)J(l,+°°)B.(—1,1)C.<.>(!,+℃?)D.(-co,—

【答案】A

【詳解】已知/(力是定義在R上的偶函數(shù)，則/(x)■(一),

又對任意和立日。，20)，且工尸匹，都有

王一赴

所以函數(shù)f(x)在位的)上單調(diào)遞增，則函數(shù)在(9,0)上單調(diào)遞減,又/⑴=0,所以〃T)"(l)=0,

x-l>0,x-l<0

根據(jù)函數(shù)/("的單調(diào)性可知：(1)小)>。等價為叫/（x）<（r

/W>0

x>1x<

即解得JV〉1或一1vxvl,

X>1曲〈一1

即不等式的解集為(1,+00)

故選：A.

【變式3］(2023春?福建福州?高二福建省福州延安中學?？紝W業(yè)考試)已知函數(shù)/。)是定義在R上的偶函

數(shù)，/*)在［。,+8)上單調(diào)遞減，且八3)=0,則不等式(2x-5)/(1-1)<0的解集為()

f5-2,|)U(4,y)D.(-oo,-2)

A.(-oo,-2)U-,4B.(4,+QO)C.

乙

【答案】C

【詳解】依題意，函數(shù)的大致圖像如下圖:

因為是定義在R上的偶函數(shù)，在。+8)上單調(diào)遞減，H./(3)=0,

所以/*)在(-8,。］上單調(diào)遞增，且/(-3)=0,

則當x>3或工<一3時，/(x)<0：當—3<xv3時，/(刈>0,

2A-5>02x-5<0

不等式(2%一5)/(1)<。化為/")<0或

./(x-l)>0,

2x-5>02x-5>0、2r—5<0

所以或，成《

x-1>3x-\<-3[-3<x-l<3

解得，r>4或,rw0或一2Vx,即一2<x<1或x>4.

22

(5、

即原不等式的解集為-2,-(4,+8)；

故選：C.

題型05抽象函數(shù)的奇偶性

【典例1】(2023?高一課時練習)若函數(shù)y=/。)對任意恒有/(x+y)=/a)+/(y)成立，且

/(1)=-1.

(1)求證：y=/(用是奇函數(shù)；

⑵求八-2),/(6)的值；

⑶若木>0時，/U)<0,試求在1-2,6］上的最大值和最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)/(-2)=2,/(6)=-6

⑶最大值為2,最小值為-6

【詳解】(1)定義域為R,令x=y=0,得/(0)=0,再令得/(T)=_/V),

所以/(-/)+/*)=0,故y=/(x)是奇函數(shù);

(2)因為/⑴=-1,故令x=y=l得，(1+1)=2/(1),即.”2)=2/(1)=-2,

又y=/(x)是奇函數(shù),所以/(-2)=2,

令x=)，=2得/(4)=2/(2)=-4,

令H=2,)，=4得/(6)=/(4)+〃2)=-4-2=-6

故f(6)=-6；

(3)不妨設*2>王小，巧wR,

/a+y)=/(x)+/(y)中，令工=卬、=￡一引得，

/(々)一/(%)=/。2-%)，

因為“2-西>0,又x>0時，fix)<0,

所以f(“2)-/Ul)=即/(W)</(*),

所以“X)在R上單調(diào)遞減，

故f31nL/(-2)=2J3mL7(6)=-6.

【典例2】(2023秋?高一單元測試)已知函數(shù)“力對一切實數(shù)都有〃x+y)=/(x)+/(y)+i成

立，且7(3)=2021.

⑴分別求”0)和/(-3)的值；

⑵判斷并證明函數(shù)F(A-)=7(X)4-1的奇偶性.

【答案】⑴/(0)=-1，/(-3)=-2023；

(2)F(x)=/(x)十1是奇函數(shù)，證明見解析.

【詳解】(1)因為函數(shù)“X)對一切實數(shù)羽都有〃x+y)=/a)+/(y)+i成立,7(3)=2021,

所以當x=y=o時/(o)=/(o)+/(o)+i,即/(0)=-1,

令工=-3,)，=3可得/(0)=/(-3)+/(3)+1,所以一I二.f(-3)+2021+1,即/(-3)=-2023

(2)令》=一1可得〃0)=/*)+/(-力+1,所以/(幻+/(-幻=-2,

所以/(x)+l+/(—x)+l=0,BPF(-x)+F(x)=0,F(-x)=-F(.v),

所以函數(shù)F(x)=/。)+1是奇函數(shù).

【變式1](多選)(2023春?遼寧?高二校聯(lián)考階段練習)已知是定義在R上不恒為。的偶函數(shù)，g(x)

是定義在R上不恒為0的奇函數(shù)，則()

A./(/(x))為奇函數(shù)B.g(g(x))為奇函數(shù)

C./(g(x))為偶函數(shù)D.g(/(")為偶函數(shù)

【答案】BCD

【詳解】由題意可知，/(-x)=/(x),所以/(/(—x))=/(/(x)),所以為偶函數(shù)，A項錯誤；

由g(r)=-g(x),得g(g(r))=g(-g(x))=-g(g(x)),所以g(g(x))為奇函數(shù)，B項正確：

因為/(g(r))=/(-g(x))=/(g(M)，所以/(g(x))為偶函數(shù)，C項正確;

因為g(/(T))=g(〃x))，所以g(〃x))為偶函數(shù)，D項正確.

故選：BCD.

【變式2](2023?全國?高三專題練習)已知定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足：

①/(。)=1;

②任意的qyeR,〃x-y)=〃x)〃y)—g(x)g(y).

(1)求尸(x)-g2(%)的值;

(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性.

【答案】(1)1;(2)偶函數(shù)，證明見解析.

【詳解】(1)依題意，/2(X)-g2(X)=/(X)f(X)-g(X)g(X)=f(X-X)=〃0)=l.

(2)由(1)知尸(0)-g2(0)=l,

.??^2(0)=/2(0)-1=0,即g(0)=0,

??.f(一力=f(0~x)=f(0)f(^)-g(0)g(x)=f(x),

又因為/(.I)的定義域為R,

所以函數(shù)/(”為偶函數(shù).

題型06函數(shù)奇偶性的應用

【典例0(2023春糊南邵陽高三統(tǒng)考學業(yè)考試)已知/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，》＞。時，./(A)=x+1,

則f(-l)=()

A.0B.-1C.-2D.2

【答案】C

【詳解】/(1)=1+1=2,由于/("是定義域為R的奇函數(shù)，所以=⑴=-2,

故選：C

【典例2】(2023?高一課時練習)己知/。)=加+/猶-1J(-2)=10,則/(2)等于()

A.8B.-10C.-12D.10

【答案】C

【詳解】函數(shù)〃幻=加+云-1的定義域為R,

令函數(shù)g(x)=/(x)+l=ax^+bx,顯然g(-x)=a(-x)y+b(-x)=-(ax3+bx)=一g(x),

即函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，因比g(-2)+g(2)=0,即/(—2)+l+f(2)+l=0,而/(—2)=10,

所以/(2)=—12.

故選：C

【典例3】(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，且當x?0,2］時，

/(X)=X2-2A+2,貝lJ/(力的最小值是()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【詳解】當xe(O,2］時，函數(shù)/(力=%2-2_￥+2=。-1尸+1,

當工=1時，=當x=2時，/(x)a=〃2)=2,

所以函數(shù)f(x)在(0,2］上的值域為［1,2］

因為“X)是12,2］上的奇函數(shù)，所以“X)的值域為［-Z-l］U{0}U［L2］,

所以/(x)的最小值是-2.

故選：A.

【典例4】(2023?安徽滁州?安徽省定遠中學?？寄M預測)已知函數(shù)/(x)是定義在12,2］上的奇函數(shù),

x2-x,0<1，則《VMM⑼二

且”“)=?

x-1,1<x<2

3

【答案】-

(3、1

【詳解】由函數(shù)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，則/-弓=-//(o)=o,

I乙)2

由?J/H)+/^+/(o)=44+o=4-

3

故答案為：

4

【變式4(2023?高一課時練習)若奇函數(shù)/(x)在區(qū)間他向("0)上是增函數(shù)，則它在區(qū)間［-兒-上是()

A.增函數(shù)且最大值是/(-。)B.增函數(shù)且最小值是/(-。)

C.減函數(shù)且最大值是/(一份D.減函數(shù)且最小值是/(-公

【答案】A

【詳解】由題意，奇函數(shù)/(“在區(qū)間僅向3>。)上是增函數(shù),

則函數(shù)/(A)在區(qū)間［-瓦也為增函數(shù),

所以函數(shù)“X)在區(qū)間M上的最大值為/(-〃)，最小值為力-力.

故選：A.

【變式2］(2023?全國?高三對口高考)函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間［--0(〃>0)上的奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=/(x)+l,

則廣(處的最人值與最小值之和為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】因為八】與尸(%)的單調(diào)性相同，且相勸為奇函數(shù),

設/*)在與處取到最大值，則/(幻在-/處取到最小值，

可得/(%)+/(-廝)=。，且尸⑴在而處取到最大值，在一七處取到最小值，

所以「(%)+/(一％)=[/(蒞)+1]+[/(-與)+1]=[/5)+/(-/)]+2=2.

故選：C.

【變式3](2023?全國?高一專題練習)已知函數(shù)/")=加+加+3且/(2023)=16,則/(-2023)的值為

【答案】-10

【詳解】因為/(工)=/+加+3,JJf1^1/(2023)=ax20235+bx20233+3=16,

所以"20235+6x20233=13，

所以/(—2023)=ax(-2023)5+bx(-2023)3+3

=-(4x20235+〃X20233)-3=-13+3=-10,

故答案為：-10.

題型07奇偶函數(shù)對稱性的應用

【典例0(2023嚏國福三專題練習)已知函數(shù))，=f(x+l)是定義在R上的偶函數(shù)，且/。+3)+/(1-幻=2,

則()

A./(1)=0B./(2)=0C./(3)=1D./(4)=1

【答案】D

【詳解】解：因為函數(shù)y=/a+i)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以f@)關于x=1對稱，則/(l-x)=/(x+1),

又f(x+3)+/(l—x)=2,

所以/(x+3)+/(x+l)=2,即/a+2)=_/(x)+2J(x+4)=—/(x+2)+2=/(x),

函數(shù)/(x)的周期為4,

取x=0,則，2)+f(0)=2/(2)=2=〃2)=f(0)=l,

所以/(4)=/(O)=l,則D選項正確，B、C選項錯誤：

由已知條件不能確定了(1)的值，A選項錯誤；

故選：D.

【典例2】(2023?全國?高三專題練習)定義在R上的函數(shù)〃工)滿足：/")-〃r)=2x,且對于[0,田)

上的％,七仁工七)有：>1.則關于)>2/+x-l的不等式解集為.

“2一%

【答案】FTMf)

【詳解】?J/(x)-/(-x)=2x,則/(x)-x=/(-x)-(-x),

故函數(shù)/(力=/(另7為偶函數(shù)，

對干[0.-K>9)卜的％.,0(MH再)，不妨設X<與?則x2-X,>0,

由"")"">1可得/(馬)一/。)>4一與，即/(工2)一“2>/(%)一%，

工2一芯

故函數(shù)尸(力在[0,+功上單調(diào)遞增，則函數(shù)F(x)在(F,0]上單調(diào)遞減，

對“力二/'(1一242)>2/+工一1,II!IJ/(X)-A>/(1-2A-2)-(1-2X2),g|JF(x)>F(l-2x2),

則N>|1-2斗即/>(1—2/)\解得;〈/〈I,可得或一icv—g,

(