初中數(shù)學(xué)幾何最短路徑題型訓(xùn)練一、引言最短路徑問(wèn)題是初中幾何的核心題型，也是中考的熱點(diǎn)考點(diǎn)（占比約5%-8%）。它源于“將軍飲馬”的古老問(wèn)題，延伸至立體圖形的表面路徑，不僅考查學(xué)生對(duì)“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”等基本原理的掌握，更注重轉(zhuǎn)化思想、空間想象能力的應(yīng)用。本文將系統(tǒng)梳理最短路徑問(wèn)題的核心原理、常見(jiàn)題型、解題技巧，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的解題體系。二、核心原理回顧解決最短路徑問(wèn)題的關(guān)鍵是將折線轉(zhuǎn)化為線段，依賴以下3個(gè)核心原理：1.兩點(diǎn)之間線段最短（公理）：連接兩點(diǎn)的所有線中，線段長(zhǎng)度最短。2.垂線段最短（定理）：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短。3.軸對(duì)稱性質(zhì)（工具）：對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；對(duì)稱軸上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等；對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等。（注：軸對(duì)稱是轉(zhuǎn)化最短路徑的“橋梁”，通過(guò)對(duì)稱將“折線”轉(zhuǎn)化為“線段”。）三、常見(jiàn)題型分類訓(xùn)練（一）單動(dòng)點(diǎn)型：直線上找一點(diǎn)使路徑最短基本模型：點(diǎn)\(A\)、\(B\)在直線\(l\)同側(cè)，找\(l\)上一點(diǎn)\(P\)，使\(PA+PB\)最小。解題步驟：①作點(diǎn)\(A\)關(guān)于\(l\)的對(duì)稱點(diǎn)\(A'\)；②連接\(A'B\)，交\(l\)于點(diǎn)\(P\)；③\(P\)即為所求，此時(shí)\(PA+PB=A'B\)（最短）。原理：通過(guò)軸對(duì)稱將\(PA\)轉(zhuǎn)化為\(PA'\)，使\(PA+PB\)轉(zhuǎn)化為線段\(A'B\)，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”。例1：坐標(biāo)中的“將軍飲馬”在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(2,3)\)，點(diǎn)\(B(4,1)\)，直線\(l\)為\(x\)軸，求\(l\)上一點(diǎn)\(P\)，使得\(PA+PB\)最小，并求最小值。解答：1.作對(duì)稱點(diǎn)：點(diǎn)\(A\)關(guān)于\(x\)軸的對(duì)稱點(diǎn)\(A'(2,-3)\)（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)取反）；2.求直線解析式：連接\(A'B\)，斜率\(k=\frac{1-(-3)}{4-2}=2\)，解析式為\(y-(-3)=2(x-2)\)，即\(y=2x-7\)；3.找交點(diǎn)：令\(y=0\)，得\(2x-7=0\)，解得\(x=3.5\)，故\(P(3.5,0)\)；4.計(jì)算最小值：\(A'B=\sqrt{(4-2)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\)。結(jié)論：\(P\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((3.5,0)\)，最小值為\(2\sqrt{5}\)。變式訓(xùn)練1：異側(cè)點(diǎn)的最短路徑若點(diǎn)\(A(2,3)\)、\(B(4,1)\)在直線\(l\)（\(x\)軸）異側(cè)，求\(l\)上一點(diǎn)\(P\)使\(PA+PB\)最小。提示：異側(cè)點(diǎn)直接連接\(AB\)，交\(l\)于\(P\)，此時(shí)\(PA+PB=AB\)（最短），因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間線段最短”。變式訓(xùn)練2：求\(|PA-PB|\)的最大值點(diǎn)\(A(2,3)\)、\(B(4,1)\)在直線\(l\)（\(x\)軸）同側(cè)，求\(l\)上一點(diǎn)\(P\)使\(|PA-PB|\)最大。解答思路：作\(B\)關(guān)于\(l\)的對(duì)稱點(diǎn)\(B'(4,-1)\)，連接\(AB'\)并延長(zhǎng)交\(l\)于\(P\)，此時(shí)\(|PA-PB|=|PA-PB'|=AB'\)（最大值）。原理：三角形兩邊之差小于第三邊，當(dāng)\(P\)、\(A\)、\(B'\)共線時(shí)，取等號(hào)（最大值）。（二）雙動(dòng)點(diǎn)型：兩條直線上各找一點(diǎn)使路徑最短基本模型：點(diǎn)\(A\)、\(B\)分別在直線\(l_1\)、\(l_2\)外，找\(l_1\)上一點(diǎn)\(P\)、\(l_2\)上一點(diǎn)\(Q\)，使\(AP+PQ+QB\)最小。解題步驟：①作\(A\)關(guān)于\(l_1\)的對(duì)稱點(diǎn)\(A'\)；②作\(B\)關(guān)于\(l_2\)的對(duì)稱點(diǎn)\(B'\)；③連接\(A'B'\)，交\(l_1\)于\(P\)、交\(l_2\)于\(Q\)；④此時(shí)\(AP+PQ+QB=A'B'\)（最短）。原理：兩次軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化，將折線\(AP+PQ+QB\)轉(zhuǎn)化為線段\(A'B'\)。例2：角內(nèi)部的最短路徑\(\angleAOB=30^\circ\)，點(diǎn)\(P\)在\(OA\)上，\(OP=6\)，點(diǎn)\(M\)在\(OB\)上，點(diǎn)\(N\)在\(OA\)上，求\(PM+MN\)的最小值。解答：1.作對(duì)稱點(diǎn)：作\(P\)關(guān)于\(OB\)的對(duì)稱點(diǎn)\(P'\)，則\(PM=P'M\)（軸對(duì)稱性質(zhì)）；2.轉(zhuǎn)化問(wèn)題：求\(P'M+MN\)的最小值，需\(P'\)、\(M\)、\(N\)共線且\(P'N\perpOA\)（垂線段最短）；3.計(jì)算最小值：\(OP=OP'=6\)，\(\angleP'OP=2\angleAOB=60^\circ\)，故\(P'N=OP'\cdot\sin60^\circ=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\)。結(jié)論：最小值為\(3\sqrt{3}\)。變式訓(xùn)練：兩條平行直線間的雙動(dòng)點(diǎn)直線\(l_1\parallell_2\)，距離為\(d\)，點(diǎn)\(A\)在\(l_1\)上，點(diǎn)\(B\)在\(l_2\)上，找\(l_1\)上一點(diǎn)\(P\)、\(l_2\)上一點(diǎn)\(Q\)，使\(AP+PQ+QB\)最?。╘(PQ\perpl_1\)）。提示：將\(A\)向下平移\(d\)個(gè)單位到\(A'\)（對(duì)應(yīng)\(PQ\)的長(zhǎng)度），連接\(A'B\)交\(l_2\)于\(Q\)，過(guò)\(Q\)作\(PQ\perpl_1\)于\(P\)，此時(shí)\(AP+PQ+QB=A'B+d\)（最短）。（三）立體圖形型：表面路徑最短核心思想：將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，使兩點(diǎn)位于同一平面內(nèi)，連接兩點(diǎn)得線段，計(jì)算線段長(zhǎng)度，比較不同展開(kāi)方式的結(jié)果，取最小值。常見(jiàn)立體圖形：正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐。例3：正方體表面最短路徑正方體\(ABCD-A'B'C'D'\)的棱長(zhǎng)為2，求從\(A\)到\(C'\)的最短路徑長(zhǎng)度。解答：正方體有三種展開(kāi)方式（將包含\(A\)的面與包含\(C'\)的面展開(kāi)）：1.展開(kāi)前面與上面：路徑為\(\sqrt{(2+2)^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)；2.展開(kāi)前面與右面：路徑為\(\sqrt{(2+2)^2+2^2}=2\sqrt{5}\)；3.展開(kāi)左面與上面：路徑為\(\sqrt{(2+2)^2+2^2}=2\sqrt{5}\)。結(jié)論：正方體各面棱長(zhǎng)相等，三種展開(kāi)方式路徑長(zhǎng)度相同，最短為\(2\sqrt{5}\)。例4：長(zhǎng)方體表面最短路徑長(zhǎng)方體\(ABCD-A'B'C'D'\)的長(zhǎng)\(AB=3\)，寬\(BC=2\)，高\(yùn)(AA'=1\)，求從\(A\)到\(C'\)的最短路徑長(zhǎng)度。解答：長(zhǎng)方體有三種展開(kāi)方式，計(jì)算各路徑長(zhǎng)度：1.展開(kāi)前面與上面：\(\sqrt{(3+2)^2+1^2}=\sqrt{26}\)；2.展開(kāi)前面與右面：\(\sqrt{(3+1)^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)；3.展開(kāi)左面與上面：\(\sqrt{(2+1)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)。比較：\(\sqrt{18}<\sqrt{20}<\sqrt{26}\)，故最短路徑為\(3\sqrt{2}\)。變式訓(xùn)練：圓柱表面最短路徑圓柱底面半徑為2，高為5，求底面圓周上點(diǎn)\(A\)到上底面圓周上點(diǎn)\(B\)的最短路徑長(zhǎng)度（\(A\)、\(B\)在同一軸截面的兩側(cè)）。提示：展開(kāi)圓柱側(cè)面為矩形（長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)\(2\pi\times2=4\pi\)，寬=高5），\(A\)、\(B\)對(duì)應(yīng)矩形的對(duì)角頂點(diǎn)，最短路徑為\(\sqrt{(2\pi)^2+5^2}=\sqrt{4\pi^2+25}\)（因?yàn)閈(A\)、\(B\)在同一軸截面的兩側(cè)，展開(kāi)后對(duì)應(yīng)矩形的半長(zhǎng)軸）。四、解題技巧與易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)（一）解題技巧1.對(duì)稱轉(zhuǎn)化：?jiǎn)蝿?dòng)點(diǎn)一次對(duì)稱，雙動(dòng)點(diǎn)兩次對(duì)稱，將折線轉(zhuǎn)化為線段。2.展開(kāi)轉(zhuǎn)化：立體圖形展開(kāi)成平面，將空間路徑轉(zhuǎn)化為平面線段。3.坐標(biāo)法：坐標(biāo)系中通過(guò)對(duì)稱點(diǎn)公式、直線解析式計(jì)算交點(diǎn)，直觀準(zhǔn)確。4.比較法：立體圖形多展開(kāi)方式時(shí)，計(jì)算各路徑長(zhǎng)度，取最小值。（二）易錯(cuò)點(diǎn)1.立體圖形展開(kāi)不全面：如長(zhǎng)方體有三種展開(kāi)方式，遺漏會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。2.最大值與最小值混淆：求\(PA-PB\)最大值時(shí)，需延長(zhǎng)對(duì)稱點(diǎn)連線，而非直接連接。3.對(duì)稱點(diǎn)選擇錯(cuò)誤：動(dòng)點(diǎn)在直線\(l\)上，應(yīng)作定點(diǎn)關(guān)于\(l\)的對(duì)稱點(diǎn)，而非反之。五、綜合訓(xùn)練題1.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(3,4)\)，直線\(l\)：\(y=x-1\)，求\(l\)上一點(diǎn)\(P\)使\(PA\)最小，并求最小值。（提示：垂線段最短，求\(A\)到\(l\)的垂線交點(diǎn)）2.正方體棱長(zhǎng)為1，求從\(A\)到\(B'\)的最短路徑長(zhǎng)度。（答案：\(\sqrt{5}\)）3.圓柱底面半徑為1，高