高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市興化市四校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.從7本書中任意選取2本，不同的選法種數(shù)為（）A.84 B.42 C.30 D.21【答案】D【解析】從7本書中任意選取2本，不同的選法種數(shù)為故選：D.2.已知，，且，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】由，得，解得，所以，故選：A.3.由1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.12 B.16 C.20 D.24【答案】D【解析】由1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè).故選：D4.已知向量，，共面，則實(shí)數(shù)t的值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)?，，三向量共面，所以存在?shí)數(shù)，使得，所以，解得，故選：B.5.在空間四邊形中，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題知，.故選：A6.興化千垛景區(qū)以“垛田”特色地貌享譽(yù)全球，勤勞智慧的興化人民在湖蕩沼澤地帶開挖網(wǎng)狀深溝或小河的泥土，一方一方使其堆積如垛，成為了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遺產(chǎn)價(jià)值的興化垛田奇觀.現(xiàn)一名游客從P處沿河道劃船到Q處，使得路程最短的不同走法有（）種.A.21 B.35 C.70 D.210【答案】B【解析】由圖可知從P處運(yùn)動(dòng)到Q處的最短路程是向右運(yùn)動(dòng)次、向下運(yùn)動(dòng)次，共運(yùn)動(dòng)次，則路程最短的不同走法有.故選：B.7.在空間直角坐標(biāo)系中,若三點(diǎn),,滿足,則實(shí)數(shù)a的值為（）A B.1 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，故選：C8.已知（，），的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為15，則的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A.6或7 B.6 C.8或9 D.9【答案】C【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為（且），展開式的通項(xiàng)為（且），若，且，時(shí)，則展開式中含的項(xiàng)為，依題意可得，若，則，不存在這樣的正整數(shù)使得方程成立，故舍去；若，則，不存在這樣的正整數(shù)使得方程成立，故舍去；若，滿足題意，此時(shí)，則展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為；若，此時(shí)，，則無解，故舍去；若，，則展開式中含的項(xiàng)為，則，解得（負(fù)值已舍去），此時(shí)，則展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為；若，時(shí)，展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為為，顯然為偶數(shù)，由，不存在這樣的正整數(shù)使得方程成立無解，故舍去；綜上可得的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是或.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知空間向量，，，,若存在實(shí)數(shù)組和,滿足，，則下列說法正確的是（）A.若，則，，共面B.若，，共面，則C.若，，不共面，則，，D.若，，共面，則【答案】AC【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以向量，，共面，故A正確．對(duì)于B、D：若，，，則，，共面，令，則，，，可為任意實(shí)數(shù)，此時(shí)由，，得不到，也得不到，故B、D錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，不共面，由，，則，，，故C正確；故選：AC10.設(shè)平面平面分別為的一個(gè)方向向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則所成角為C.若，則與所成角為D.若，則的夾角為【答案】AB【解析】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，因?yàn)?，所以，又因?yàn)橹本€的夾角的范圍為，則所成角為，故B正確；對(duì)于C，如圖，設(shè)點(diǎn)，，分別為平面上的垂足，點(diǎn)為與平面的交點(diǎn)，,，若，則平面與平面的夾角為或，如下圖，即，或，可得，與所成角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則的夾角為，或，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為B.當(dāng)取最小值時(shí)，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為C.當(dāng)時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為D.當(dāng)時(shí)，展開式中沒有項(xiàng)【答案】BCD【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)，由題知，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以的最小值為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A知當(dāng)取最小值時(shí)，，所以二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，令，得，不符合題意，所以當(dāng)時(shí)，展開式中沒有項(xiàng)，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，且，所?故答案為：13.已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】由題意可得，設(shè)，則，解得，所以坐標(biāo)為.故答案為：.14.如圖，線段平面，在平面內(nèi)，，與平面成角，點(diǎn)與點(diǎn)在的同側(cè)，已知，則的長(zhǎng)為______.【答案】【解析】設(shè)平面于F，平面，，又與平面成角，，與的夾角為，又平面，平面，，又，，．故答案為：.四、解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖有A，B兩組電路圖．（1）對(duì)于B組電路圖，閉合兩個(gè)開關(guān)即可通電方法數(shù)有多少種？（2）若A組電路與B組電路從銜接點(diǎn)M，N處連接，把兩電路串聯(lián)起來，只需閉合三個(gè)開關(guān)就可通電的方法數(shù)有多少種？解：（1）對(duì)于組電路，可分上、中、下路三類，上路：第一步接通有1種方法，第二步接通有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，總方法數(shù)為；中路：第一步接通有2種方法，第二步接通有2種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，總方法數(shù)為；下路：第一步接通有2種方法，第二步接通有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，總方法數(shù)為．故所求方法數(shù)有種．（2）對(duì)于組，合上一個(gè)開關(guān)可使電路通電，可分兩路：從上路接通有2種方法，從下路接通有3種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，總方法數(shù)為；兩組串聯(lián)后要使電路通電，需兩組均通電，組電路通電有5種情況，由（1）知組電路通電有13種情況，所以串聯(lián)后的電路通電有種情況．16.如圖,在空間四邊形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),,設(shè).（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值.解：（1），.（2）因?yàn)?，所以，所以，，所?7.話說唐僧師徒四人去西天取經(jīng)，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取經(jīng)路上，兇險(xiǎn)頗多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（結(jié)果用數(shù)值表示）（1）唐僧說：“徒兒們，妖怪本性不錯(cuò)，我們六個(gè)隨便站吧．”請(qǐng)問一共有多少種站法．（2）八戒提出：兩只妖怪不能站在排頭和排尾，否則他們會(huì)逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少種站法．（3）悟空說：“師傅！師傅！你必須和我站在一起！如果怕妖怪逃走，讓八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中間！”按照悟空的說法，請(qǐng)問一共有多少種站法．解：（1）六個(gè)人隨便站，即六個(gè)人進(jìn)行全排列，故符合條件的排法共有種．（2）因總共有六個(gè)位置，兩只妖怪不能站在排頭和排尾，先將兩只妖怪排好，故有種排法，剩下四個(gè)人四個(gè)位置，故有種排法，故共有種排法．（3）先將六人分成三組，且這三組人數(shù)分別為1、2、3，并排列，故有種排法，師傅和悟空站在一起共有種排法，八戒站在兩只妖怪中間共有種排法，故共有種排法．18.如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且．（1）求證：；（2）求MN與PC所成的角；（3）求證平面PBC，并求直線MN和平面PBC的距離．解：（1）設(shè)，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知兩兩互相垂直.以空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，則，，，則，.，，所以.（2），設(shè)直線與直線所成角為，則（3），設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，，所以平面.到平面的距離即到平面的距離，，所以到平面的距離即到平面的距離為.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若能被整除，求的最小值；（3）若，，且在中，存在連續(xù)三項(xiàng)，，的項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求和的值.解：（1）因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，所以；（2）因?yàn)?，，則又能被整除，所以，又能被整除，所以要能被整除，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)