高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽市2025屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．若集合A=x,yx2+y2=1A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因為集合A=x,yx2所以A∩B=x,y因此，A∩B的元素的個數(shù)是2.故選：C.2．已知復數(shù)z=sinα-513+A．512 B．-512 C．125【答案】B【解析】由題設sinα=513cosα≠故選：B3．下列區(qū)間中，函數(shù)fx=3tanA．-π6,π3 B．-π【答案】A【解析】令kπ-1令k=0，可得x∈-故選：A.4．設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，AD=-15AB+65A．4 B．5 C．-4 D．-5【答案】D【解析】AD=-所以AD-AC=-15即λ=-5.故選：D5．已知圓錐的底面半徑為1，側面積為4π，則此圓錐的側面展開圖的圓心角為（

A．π6 B．π4 C．π3【答案】D【解析】設圓錐母線長為l，可得底面圓的周長為2π由題意可得12l?2π所以圓錐的側面展開圖的圓心角為2π故選：D.6．已知直線l:y=3x+1與雙曲線E:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)相交于A，A．y=±2x B．y=±12x C【答案】C【解析】設Ax1,則y12ay1+y2y所以雙曲線的漸近線方程為y=±a故選：C7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知4a=5c，cosC=35，且b=22A．176 B．88 C．44 D．22【答案】B【解析】由a=54c<c，則A<C由正弦定理知sinA=54sinC，而cos所以sinA=55由sinB=由正弦定理知22sinB=asin故選：B8．設fx，gx是定義在R上的兩個周期函數(shù)，fx的周期為8，gx的周期為4，且fx是奇函數(shù)．當x∈0,4時，fx=4-(x-2)2，gA．12,22 B．13,【答案】C【解析】當x∈0,4時，令y=4-(x-2)2，即故fx圖象是以(2,0)為圓心，2又fx的周期為8，若直線y=k(x+2)過(2,2)時，即k=在同一坐標系fx，gx在區(qū)間0,18上的圖象如下，恰有當直線y=k(x+2)與半圓(x-2)2+y2=4所以4k21+k2當y=-1與半圓(x-6)2+y此時，0,18上fx，gx恰有綜上，實數(shù)k的取值范圍是12故選：C二、多選題9．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)A．橢圓C的方程為xB．MF1C．若MF1D．若點P的坐標為1,-1，則MP+3【答案】ACD【解析】A.設F1-c,0，F(xiàn)2c,0，BF1?BF2=-所以橢圓C的方程為x23+B.MF1的最大值為a+c=3所以MF1的取值范圍為3-1,C.因為MF1由余弦定理可知，cos∠=12-163-416D.設點M到點右準線x=a2c=3的距離為d，則MP+3MF2=MP最小值是點P1,-1到x=3的距離2，故D正確故選：ACD10．已知函數(shù)fx的定義域為R，且f-x=fx，fx-2=-f-xA．函數(shù)fx的圖象關于直線x=-1對稱 B．函數(shù)fC．2025∑k=1f【答案】BC【解析】因為fx-2=-f-x，所以fx-2+f-x=0令Fx=fx-1，所以F所以F-x=-Fx，故f又因為f-x=fx，所以f所以fx+2=-fx所以fx是周期為4令x=1，得f1=0，令x=3，得f1+f3所以2025∑k=1fflog又log3故1<log45<log34<2，又因為當x∈所以fx+2+f-x=0，所以所以fx在區(qū)間1,2上單調遞減，所以f所以flog3481故選：BC.11．已知正四面體P-ABC的棱長為2，過點P的截面△PEF將正四面體分成體積相等的兩部分，則下列說法正確的是（

）A．截面為等腰三角形的個數(shù)是6B．截面一定是銳角三角形C．截面可以是等邊三角形D．過棱BC的中點N作正四面體外接球的截面，截面圓的面積的最小值是π【答案】ABD【解析】如圖一：在△ABC的邊AB,AC上分別取點F,E，使得AE=AF，且S△AEF=1如圖二：取AC的中點為F，當點E與點B重合，此類等腰三角形有3個，無其它類型的等腰三角形，故A正確；如圖三，設過點P的截面交底面AB,AC于點E,F，且AE=a,AF=b，因過點P的平面將正四面體的體積平分，即EF平分△ABC的面積，由正四面體P-ABC的棱長為2，可得12解得ab=2，且0<a<2,0<b<2，在△AEF中，可得EF在△PAE中，可得PE在△PAF中，可得PF因為PE2+P又PE2+E同理可得PF即在△PEF中，任意的兩邊的平方和大于第三邊的平方，所以△PEF為銳角三角形，故B正確；若△PEF為等邊三角形，則是滿足PE2=E則AE=AF=a，即S△AEF=1此時EF2=2，P所以截面△PEF不是等邊三角形，并且另一類等腰三角形顯然不可能是等邊三角形，故C錯誤；將正四體P-ABC放置于如圖四所示的正方體中，可得該正方體的外接球就是正四面體的P-ABC的外接球，設該外接球的球心為O，半徑為R，因為正四體P-ABC的棱長為2，且正四體P-ABC的棱長是正方體的面對角線，所以正方體的棱長為2，所以正方體外接球的半徑R，2R=3×2又因為2R=3×2又因為N為棱BC的中點，過點N作其外接球的截面，當截面到外接球的球心O的距離最大，即ON垂直截面時，截面面積最小，此時N為截面圓心，球心O到截面的距離d=ON=2截面圓的半徑為r=R2-d2=1故選：ABD.三、填空題12．若隨機變量X～B10,0.5，則當PX=k取得最大值時，正整數(shù)k的值是【答案】5【解析】由題可知PX=k=C10k12故答案為：513．已知減函數(shù)fx=ax（a>0，且a≠1）的圖象過點m,n，且m，n分別是方程log2【答案】4【解析】由方程log2x2+3log解得x=116或當m=116，n=2時，a1當m=2，n=116時，a2=116，又故答案為：414．函數(shù)fx=bx-a(a>0,b>0)的圖象類似于漢字“囧”，此函數(shù)稱為“囧函數(shù)”，并把圖象與y軸的交點關于原點的對稱點稱為“囧點”，以“囧點”為圓心，與“囧函數(shù)”的圖象有公共點的圓，稱為“囧圓”．當a=2，b=4時，【答案】12【解析】由題意可知，“囧點”為C0,2，當“囧圓”與函數(shù)圖象在x不妨設在第一象限的切點為Px,PC=當x=4x-2，x>2，即x=1+5時，PC此時“囧圓”的面積為π×當“囧圓”與函數(shù)圖象在x軸下方部分相切時，切點為0,-2，此時半徑為4，“囧圓”的面積為π×所以“囧圓”面積的最小值為12故答案為：12四、解答題15．某高校為選拔學生參加2025年全國大學生數(shù)學建模競賽，在校內(nèi)舉辦了選拔賽，選拔賽分為初賽和復賽，初賽通過后才能進入復賽，復賽通過后將代表學校參加全國大學生數(shù)學建模競賽．已知初賽共有“A”和“B”兩個項目供學生選擇，每名學生最多可以選擇一個項目，經(jīng)過初賽選拔，共有60名學生進入復賽，統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表：（單位：人）（1）求s、t；（2）根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為進入復賽與學生選擇的初賽項目有關？（3）為進一步了解學生對全國大學生數(shù)學建模競賽的認知情況，從進入復賽的60名學生中，按初賽項目用分層隨機抽樣的方法抽取9人，并從這9人中隨機抽取3人進行訪談，求抽到的被訪談學生中選擇初賽項目“A”的人數(shù)X的分布列及數(shù)學期望．附：χ解：（1）由列聯(lián)表得s=100+140=240，t=40+140=180.（2）零假設H0根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得χ2根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0因此可以認為H0成立，即認為學生進入復賽與學生選擇的初賽項目無關（3）根據(jù)題意，在抽取的9名學生中，有3名學生選擇“A”項目，有6名學生選擇“B”項目，所以X的所有可能取值為0、1、2、3，且X服從超幾何分布，PX=0=CPX=2=C所以，X的分布列如下表所示：所以EX16．如圖，過點P10,0作y軸的垂線交曲線y=lnx于點Q11,0，曲線在點Q1處的切線l1交y軸于點P2，再過點P2作y軸的垂線交曲線y=lnx于點Q2，依次重復上述過程，得到一系列點：P1,Q1（1）記x1,x2,?,（2）令Sn=P（1）解：因為y=lnx，所以y'=1x，因為所以切線lk的斜率k=y'|x=又因為點Pk+1(0,yk+1)在切線l所以lnxk+1xk=-1，所以x所以xn是以x1=1所以xn（2）證明：S=1+e17．已知函數(shù)fx=12ax2（1）討論fx（2）當a=1時，若x1，x2是hx解：（1）f'x=ax+1x令f'x=0，得x=1當0<a<1時，1<1a，f'x>0?0<x<1當a=1時，此時f'當a>1時，1>1a，f'x>0?0<x<綜上可知，0<a<1時，函數(shù)的增區(qū)間是0,1和1a,+∞a=1時，函數(shù)的增區(qū)間是0,+∞a>1時，函數(shù)的增區(qū)間是0,1a和1,+∞（2）當a=1時，fx=12xh'得Δ=b2hx=b函數(shù)y=-b24所以-b即hx18．如圖，圓臺O1O2的下底面的內(nèi)接正方形ADBC的邊長為4，P是上底面圓周上的一點，且滿足PA=PC=4（1）證明：BC⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABC的外接球的表面積；（3）N是BC的中點，M是上底面圓周上的一點，求異面直線MN與AD所成角的余弦值的最大值．（1）證明：由題設PC=BC=4，PB=42，則PC2由四邊形ADBC為正方形，則BC⊥AC，而PC∩AC=C都在平面PAC內(nèi)，所以BC⊥平面PAC；（2）解：由BC⊥平面PAC，△PAC為等邊三角形，將三棱錐B-ACP補成正三棱柱APC-EFB，設△APC的中心為點H，△BEF的中心為Q，則QH的中點G為外接球球心，所以△APC的外接圓半徑AH=AC2sin所以外接球的半徑R=AG=A因此三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4π（3）解：由BC⊥AC，以C為原點，CA,CB所在直線為x,y軸，建立如下圖示的空間直角坐標系C-xyz，則O2(2,2,23),B(0,4,0),N(0,2,0)，設由BC?平面ABC，則平面ABC⊥平面PAC，則點P到AC的距離等于|O1O2|，而|M由NM=(x,y-2,23)，AD=CB則cosθ=|所以cos=-當且僅當x=21-3時取等號，則所以異面直線MN與AD所成角的余弦值的最大值7-19．已知拋物線Γ:y2=2px上有兩點A，B，當AB=15時，線段AB（1）求Γ的方程；（2）若圓C位于Γ與直線x=5所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，求圓C的半徑的最大值；（3）以Γ的焦點F為圓心作圓，該圓與x軸的正、負半軸分別交于點H，G，與Γ在第一象限的交點為P．若直線PH，PF與Γ的另一個交點分別為M，N，直線MN與直線PG相交于點T，求△PMT的面積的最小值．解：（1）設Γ的焦點為F，由題意可得xM所以xM≥AB2-所以拋物線方程為y2（2）由對稱性可知，圓心C必在x軸上，問題等價轉化為“圓心C到拋物線上點的距離d的最小值等于圓心C到直線x=5的距離”，設Cm,0，0<m<5，Px,y為拋物線則d2由點P在拋物線上可得d2當0<m≤2時，fx由題意知m2=5-m當2<m<5，fx由題意知4m-4=5-m2，化簡可得所以m=7-25或m=7+2所以圓C的半徑的最大值為5-7-2（3）由題意可知F1,0