結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論授課教師|XXX授課內(nèi)容25.1引言5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲5.3偏心壓桿的彎扭屈曲5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載5.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載第5章

受壓桿件的扭轉(zhuǎn)屈曲與彎扭屈曲5.1引言3下面討論壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲問題。（1）開口薄壁受壓桿件截面的抗扭剛度較小，容易發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形；（2）十字形截面受壓桿件，容易發(fā)生扭轉(zhuǎn)屈曲；（3）單軸對稱受壓桿件，如角形、槽形、T

形截面桿件，由于截面形心與截面剪切中心不重合，容易發(fā)生彎扭屈曲。扭轉(zhuǎn)屈曲彎扭屈曲雙軸對稱軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲開口薄壁桿件在軸心壓力作用下：（1）只有截面形心和彎心重合的桿件才可能出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)屈曲；（2）而截面形心和彎心不重合的桿件，發(fā)生扭轉(zhuǎn)時總是伴隨著彎曲，也就是呈現(xiàn)彎扭屈曲。5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲4扭轉(zhuǎn)屈曲以雙軸對稱工字形截面軸心受壓桿件為例來說明扭轉(zhuǎn)屈曲：兩端鉸支的桿發(fā)生扭曲時，除支承處外，各個截面都繞形心軸軸轉(zhuǎn)動。5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲雙軸對稱軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲5分析屈曲時扭轉(zhuǎn)平衡的情況：桿件任意截面的扭轉(zhuǎn)角為，則截面上一點

在截面平面內(nèi)的位移為相距的兩個鄰近截面的相對扭轉(zhuǎn)角為是

點至截面形心的距離兩截面上相對應(yīng)點E、D的相對位移是5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲6雙軸對稱軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲

纖維因兩截面相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生傾斜，傾斜后的纖維相對桿件軸線方向的傾角為根據(jù)平衡關(guān)系，作用在以該傾斜纖維為軸線的微元體上的軸力在桿的橫截面平面內(nèi)有分力，且5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲7雙軸對稱軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲它對彎心（形心）有扭矩在整個截面上進行積分，得作用于截面上的扭矩式中,，

為截面對彎心的極回轉(zhuǎn)半徑。5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲8雙軸對稱軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲將代入開口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)的平衡微分方程式得邊界條件：和時，表示扭角為0表示截面沒有翹曲正應(yīng)力5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲9雙軸對稱軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲設(shè)式的解為：顯然，該解滿足邊界條件式：和時，將代入微分方程式解得扭轉(zhuǎn)屈曲臨界力的計算公式為：（

為參數(shù)）5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲10對于工字形截面,翹曲扭轉(zhuǎn)常數(shù)，是截面對平行于腹板的主軸的慣性矩，是截面高度。對于非鉸接支承情況的桿件，式右側(cè)括號內(nèi)第一項應(yīng)乘以適當系數(shù)來反映約束作用。的計算公式隨截面形式而不同，對十字形截面由于，扭轉(zhuǎn)屈曲臨界力比較低，式成為5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲11所以，對十字形截面，扭轉(zhuǎn)屈曲臨界力和桿的長細比和支承條件均無關(guān)，屬于自由扭轉(zhuǎn)。桿的彎曲屈曲臨界力是隨長細比減小而增加的，因此當長細比不大而板件寬厚比很大時，扭轉(zhuǎn)屈曲臨界力將低于彎曲屈曲的臨界力。但是，工程中十字形截面很少采用，工字形截面桿按照通常的尺寸比例（截面高度大于翼緣寬度），一般不會發(fā)生扭轉(zhuǎn)屈曲。因此，在設(shè)計規(guī)范中沒有反映扭轉(zhuǎn)屈曲的計算。5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲12截面單軸對稱的單角鋼、單槽鋼或T

形鋼軸心壓桿，形心和彎心不相重合。如果桿件在軸心力F作用下不能保持直線平衡而繞對稱軸

y彎曲時，由于剪力不通過彎心，不可避免地要出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)。5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲彎扭屈曲單軸對稱軸心壓桿的彎扭屈曲13圖示槽形鋼軸心壓桿，彎心S至形心O的距離為,如果壓桿受軸心壓力F作用下在

xz平面內(nèi)發(fā)生彎曲，而彎心在

x軸方向的位移為u，則桿內(nèi)出現(xiàn)：剪力彎矩5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲單軸對稱軸心壓桿的彎扭屈曲14由于F沿形心軸作用，

的作用線亦將通過形心O而不通過彎心S，從而對彎心產(chǎn)生扭矩使桿件在彎曲的同時出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)，因此在分析桿件扭轉(zhuǎn)平衡時應(yīng)該考慮這一項。5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲單軸對稱軸心壓桿的彎扭屈曲15根據(jù)式，再加上這一項，得桿件的扭轉(zhuǎn)平衡微分方程為或再微分一次，寫成由于形心和彎心不重合，式中截面對彎心的極回轉(zhuǎn)半徑按下式計算5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲16由于彎扭同時出現(xiàn)，這個微分方程包括有兩個未知量和。需要建立關(guān)于y軸彎曲的平衡微分方程來聯(lián)立求解。彎曲平衡微分方程的基本形式是：式中是截面形心O的位移，當截面扭轉(zhuǎn)角為時，O在x方向的位移是：因此，彎曲平衡的微分方程可以寫成：5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲17于是，單軸對稱軸心壓桿的彎扭屈曲平衡微分方程組為：對兩端鉸接的桿件，桿端邊界條件是：當時，和時，可設(shè)和的變化都是正弦曲線的一個半波，即5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲18代入單軸對稱軸心壓桿的彎扭屈曲平衡微分方程組中，并令滿足邊界條件式式中，得5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲19式中，系數(shù)A、C不同時為零的條件是其系數(shù)行列式為零，于是得到穩(wěn)定方程為展開此行列式，得出確定彎扭屈曲臨界力的方程如下解此方程式，其最小根就是臨界荷載5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲20臨界荷載分析式可知，當時，即截面雙軸對稱時，等于或（此時式中，是對y軸的臨界力，是扭轉(zhuǎn)臨界力），說明桿件只可能發(fā)生繞對稱軸的彎曲屈曲或扭轉(zhuǎn)屈曲。當時，比或都小，越大，相差越懸殊，說明桿件只可能發(fā)生彎扭屈曲。5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲21

例題5.1如圖所示T形截面桿件，兩端鉸接，桿長為2.50m，彈性模量，剪切模量，要求計算其彎扭屈曲臨界力，并和彎曲屈曲臨界力比較。例題5.1圖5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲22解:例題5.1圖計算截面特性：5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲23利用以上數(shù)值算得：代入公式

得：解得：5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲24由此可見，對于任何單軸對稱軸心受壓桿件，在計算對稱軸的穩(wěn)定性時應(yīng)該考慮彎扭屈曲而不是彎曲屈曲。不過對一般熱軋和焊接鋼桿件說來，和相差不十分懸殊，但對于薄壁桿件可能比低許多，必須考慮其彎扭屈曲。為簡化計算，設(shè)計中常常用換算長細比方法計算彎扭屈曲問題。我國冷彎薄壁型鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范設(shè)x軸為對稱軸，因此將計算彎扭屈曲的換算長細比法代入中單軸對稱開口截面5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲25解得：令，由于則上式可寫為：5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲26式又可改寫為：解得：其較小根為彎扭屈曲臨界力，即5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲27彎扭屈曲臨界應(yīng)力為：式中，換算長細比由彎扭屈曲臨界應(yīng)力計算公式可以看出，為了驗算桿件對x軸的彎扭屈曲，只要驗算長細比為的桿件的彎曲屈曲。從而，將彎扭屈曲的計算問題轉(zhuǎn)化為彎曲屈曲的計算問題，使計算大大簡化。5.2軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲和彎扭屈曲28偏心壓桿的彎扭屈曲是指其在彎矩作用平面外的失穩(wěn)。在分析偏心壓桿在彎矩作用平面外的穩(wěn)定問題時，采用的基本假定與分析梁的彎扭屈曲一節(jié)相同；除此之外，為了使分析問題簡化和突出彎扭屈曲問題，假定桿件在彎矩作用平面內(nèi)的剛度很大，從而忽略在彎矩作用平面內(nèi)的彎曲變形，也就是忽略彎扭屈曲前彎矩作用平面內(nèi)的彎曲變形對彎扭屈曲的影響。295.3偏心壓桿的彎扭屈曲分析如圖所示在偏心荷載作用下的雙軸對稱截面簡支桿件。桿件的簡支是指其的的兩端面可以繞形心主軸x軸或y軸自由轉(zhuǎn)動，但不能繞z

軸扭轉(zhuǎn)。建立固定坐標系為Oxyz，截面發(fā)生彎扭變形后的移動坐標系為。雙軸對稱截面偏心壓桿的彎扭屈曲305.3偏心壓桿的彎扭屈曲當達到臨界狀態(tài)時，在偏心受壓桿件發(fā)生微小側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形的位置建立平衡微分方程，為簡化起見，可以只列出側(cè)向彎曲平衡微分方程和扭轉(zhuǎn)平衡微分方程。雙軸對稱截面偏心壓桿的彎扭屈曲315.3偏心壓桿的彎扭屈曲經(jīng)過與第4.4節(jié)類似分析，顯然：雙軸對稱截面偏心壓桿的彎扭屈曲因此，在移動坐標系平面內(nèi)（圖b）彎矩平衡方程為：325.3偏心壓桿的彎扭屈曲由式，工字形截面的彎曲扭轉(zhuǎn)微分方程為：根據(jù)前述分析將代入335.3偏心壓桿的彎扭屈曲得到偏心受壓桿件的彎扭屈曲平衡微分方程為：對z

微分二次對z

微分一次可以得到：式中，345.3偏心壓桿的彎扭屈曲求解，得偏心壓桿的臨界荷載為：式中，355.3偏心壓桿的彎扭屈曲可知，臨界荷載與、和有關(guān)。總是小于、的較小值（通常較小），當越大，小得越多?？烧J為，偏心受壓桿件兩端承受軸力和彎矩，因此由式可知，當（即）時，可解得軸心受壓桿件的臨界荷載或者，兩者互不相關(guān)，取較小者為真正的臨界荷載。當時，可得到純彎曲時的臨界彎矩，即，與式相同。365.3偏心壓桿的彎扭屈曲根據(jù)和的表達式，把式寫成如下形式：利用這個關(guān)系式，并將用端彎矩代替，則式在鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計中常常采用相關(guān)公式來控制偏心壓桿的彎扭失穩(wěn)，下面介紹相關(guān)公式的基本原理。成為：375.3偏心壓桿的彎扭屈曲偏心壓桿彎扭屈曲與的相關(guān)曲線將式畫成與

的相關(guān)曲線，如圖所示。不僅與有關(guān)，而且受的影響很大，越大，偏心壓桿的彎扭屈曲承載力越高。當時，與之間的關(guān)系是直線關(guān)系：385.3偏心壓桿的彎扭屈曲偏心壓桿彎扭屈曲與的相關(guān)曲線一般普通熱軋工字形截面，相關(guān)曲線都在此直線之上。對于一般冷彎薄壁桿件，其，相關(guān)曲線在直線之下，如圖所示。如果采用式

計算普通熱軋鋼桿件彎矩作用平面外的穩(wěn)定性，即簡單又偏于安全。395.3偏心壓桿的彎扭屈曲如圖所示等截面開口薄壁軸心壓桿，設(shè)O為截面形心，x、y軸為截面的主慣性軸，z為形心軸，S為截面的彎曲中心（，）。當壓力F逐漸增加達到臨界荷載時，桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)屈曲或彎扭屈曲，此時桿件不再保持直線平衡。開口薄壁軸心壓桿405.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載當桿件處于中性平衡狀態(tài)時，其獨立位移分量包括三個：截面彎曲中心S在x、y軸的位移為u和v，設(shè)與坐標軸的正向一致時為正；繞彎曲中心S的扭角為θ，其正向遵守右手螺旋法則。41開口薄壁軸心壓桿5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載假定桿件屈曲時處于彈性狀態(tài)，變形是微小的，且截面的周邊形狀保持不變?，F(xiàn)在采用瑞雷-里茲法來計算桿件屈曲時的臨界荷載。42開口薄壁軸心壓桿5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載取剛屈曲前的直接狀態(tài)為參考狀態(tài)，不必考慮軸向變形的影響。參見式：考慮增加了沿y軸的位移v，彎扭變形下的總應(yīng)變能為：式中，被積函數(shù)的前兩項為彎曲變形產(chǎn)生的應(yīng)變能，后兩項為約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的應(yīng)變能。43開口薄壁軸心壓桿5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載求外力勢能：B點繞彎曲中心S點轉(zhuǎn)動θ角至

時，相對于彎曲中心S點的位移分量變化如圖右：考慮坐標為（x,y）的小條（圖左的B點），其面積為,長度為，把這小條看作承受軸心壓力的壓桿。截面B點的位移變化44開口薄壁軸心壓桿5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載截面B點的位移變化B點繞彎曲中心S點轉(zhuǎn)動θ角至時，相對于彎曲中心S點的位移分量變化為：彎扭變形后小條的位移為：455.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載B點縱向纖維的變形考察B點縱向纖維的長度變化：取微段，變形后微段的上端在x、y軸上的位移為u、v，下端相應(yīng)的位移為u+du、v+dv，變形后的微段長度為：當趨近于零時，；考慮桿件處于微小變形狀態(tài)，即、是微小量；上式可簡化為：465.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載B點縱向纖維的變形后的總長度為：B點縱向纖維的變形后兩端的縮短為：應(yīng)力在小條上外力功為：47B點縱向纖維的變形5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載對整個桿件，壓力F的外力功為：式中,因此，總勢能為，即：485.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載考慮，，下面用瑞雷—里茲法來求兩端簡支桿件的臨界荷載近似解。桿端簡支時的邊界條件為：設(shè)滿足上述邊界條件的位移函數(shù)為當和時，，（）495.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載將位移函數(shù)代入總勢能表達式中，得到：利用積分：505.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載經(jīng)整理后，總勢能表達式為：式中，根據(jù)勢能駐值原理，令，，，可得：515.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載A、B、C不同為零的條件是其系數(shù)行列式，即：展開上式，得到穩(wěn)定方程為：解上式得

F的最小根即為臨界荷載525.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載對臨界荷載討論如下:將穩(wěn)定方程進行簡化：（1）當桿件截面為雙軸對稱（如工字形截面）或者點對稱（如Z形截面）時，形心與彎曲中心重合。因此，。簡化535.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載方程的根為：但注意到，臨界荷載只可能發(fā)生在n=1時，故取方程的根為：其最小根就是雙軸對稱截面軸心壓桿的臨界荷載；哪個根最小與截面形狀和尺寸、長細比等因素有關(guān)。545.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載當或者時，桿件發(fā)生繞y軸或者繞x軸彎曲失穩(wěn)當時，桿件發(fā)生繞z軸（形心與彎曲中心重合）的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)也就是說，雙軸對稱或者點對稱截面軸心壓桿只會發(fā)生繞兩個主軸的彎曲失穩(wěn)或者繞彎曲中心的純扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)，不會發(fā)生彎扭失穩(wěn)。軸心受壓工字形截面桿件：一般情況下，軸心受壓工字形截面桿件繞弱軸的彎曲失穩(wěn)臨界荷載低于繞強軸的彎曲失穩(wěn)臨界荷載，也低于繞彎曲中心的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)臨界荷載，因此工字形截面桿件常常只會發(fā)生繞弱軸的彎曲失穩(wěn)形式。555.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載軸心受壓十字形截面桿件：對于軸心受壓十字形截面桿件，由于,如果發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)，則臨界荷載為：由此可見，對于軸心受壓十字形截面桿件，但桿件的長細比較小時，其彎曲臨界荷載較高，當超過后，桿件就會發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)。上式與十字形截面桿件的長度無關(guān)，一旦發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)就是自由扭轉(zhuǎn)。565.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載軸心受壓雙軸對稱截面桿件：將式代入可以看出雙軸對稱截面軸心壓桿不會發(fā)生彎扭失穩(wěn)。575.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載為此可以得到：由位移函數(shù)式:可知，雙軸對稱截面軸心壓桿只有一種單純的變形存在，不會發(fā)生彎扭變形耦合。當時，只有，而當時，只有，而當時，只有，而（）585.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載（2）當桿件截面為單軸對稱（設(shè)y

為對稱軸，如T

形截面），形心與彎曲中心不重合，但都在對稱軸上，則，穩(wěn)定方程簡化為：其根為（最小根取n=1

）:或者，式中595.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載表示可能發(fā)生的彎曲失穩(wěn)臨界荷載應(yīng)比較以上兩式，其最小值才是真正的臨界荷載表示可能發(fā)生的彎扭失穩(wěn)臨界荷載軸心受壓單軸對稱截面桿件，既可能發(fā)生彎曲屈曲也可能發(fā)生彎扭屈曲，究竟會發(fā)生哪種屈曲，由截面形狀和尺寸而定。605.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載（3）當桿件截面不對稱時上式方程不能簡化，其臨界荷載為這三次方程三個根中的最小值，這種情況必然發(fā)生彎扭屈曲。615.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載如圖所示的偏心壓桿，分析中的基本假定，除上節(jié)的規(guī)定：假定桿件屈曲時處于彈性狀態(tài)，變形是微小的，且截面的周邊形狀保持不變。開口薄壁偏心壓桿（1）在繞x軸的彎矩和繞y軸的彎矩另外假定：625.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載作用下，桿件的彎曲變形很小，可忽略不計，也就是說桿件在屈曲前保持直線；5.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載（2）桿件有足夠的剛度，因而不考慮軸力對彎矩的影響。也就是說，在坐標為（x，y）的截面上任一點的應(yīng)力為:如果假設(shè)為偏心荷載F對x軸的偏心距，為對y軸的偏心距，則荷載F的作用點位于坐標(),,。63開口薄壁偏心壓桿5.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載現(xiàn)在來分析中性平衡狀態(tài)下的總勢能設(shè)中性平衡狀態(tài)下，彎曲中心S在x軸和y軸方向的位移分別為u和v，截面繞彎曲中心的轉(zhuǎn)動的扭角為?？倯?yīng)變能表達式為：64開口薄壁偏心壓桿5.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載下面研究外力勢能考慮的縱向小條，位于B點，坐標為（x，y），B點的位移為：縱向小條上外力所做的功為：65開口薄壁偏心壓桿5.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載將式

代入同時注意到665.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載于是，整個桿件上外力所做的功為因此，總勢能為

，即675.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載下面用瑞雷—里茲法來求兩端簡支桿件的臨界荷載近似解設(shè)滿足上述邊界條件的位移函數(shù)為：桿端簡支時的邊界條件為：當和時，有，（）68根據(jù)勢能駐值原理，令，，，可得：5.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載將位移函數(shù)代入總勢能表達式中A、B、C不同為零的條件是其系數(shù)行列式,由此可得穩(wěn)定方程為:695.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載對穩(wěn)定方程求解，可得到F的三個根，其最小根就是所求的臨界荷載。下面討論幾種特殊情況:（1）當截面為雙軸對稱，且壓力F作用在一個對稱軸上（如y軸），則。由于對稱性，可知70式中，5.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載將穩(wěn)定方程進行簡化：簡化即其根為：或71當臨界荷載由確定時，是彎矩作用平面內(nèi)（荷載作用在y

軸上）繞x

軸的彎曲失穩(wěn)。5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載應(yīng)比較以上兩式，其最小值才是真正的臨界荷載當臨界荷載由確定時，則發(fā)生對稱平面外（前面已設(shè)y軸為對稱軸）的彎扭失穩(wěn)。72當發(fā)生彎扭失穩(wěn)時：1、如果（即），F(xiàn)有兩個正根，其中較小根為臨界荷載；2、如果（即），為軸心受壓，則或，其中較小根為臨界荷載，這與上節(jié)討論相同；3、如果（即），由式可得臨界荷載；4、如果（即），則F有兩個根，一個為正根，另一個為負根，負根表示在大偏心受拉時桿件的彎扭失穩(wěn)。5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載735.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載（2）當截面為單軸對稱，且壓力F作用在對稱軸上（設(shè)y為對稱軸），則。將穩(wěn)定方程進行簡化：簡化即745.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載其根為（最小根取：n=1)：當臨界荷載是式的

時，表示發(fā)生繞x軸的彎曲失穩(wěn)；當臨界荷載是式確定時，則表示發(fā)生彎扭失穩(wěn)。75當荷載作用在彎曲中心時，即當時，穩(wěn)定方程式可進一步簡化為：5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載簡化76從而得到：5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載或或這三個根的最小值就是臨界荷載。第一、二個根分別表示發(fā)生繞x軸、y軸彎曲失穩(wěn)的臨界荷載，第三個根表示繞彎曲中心的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)。由此可知，偏心受壓桿件的荷載F通過截面彎曲中心時，其失穩(wěn)情況或者是彎曲失穩(wěn)，或者是扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)，不可能發(fā)生彎扭失穩(wěn).這個結(jié)論也適用于無對稱軸的截面，其相應(yīng)的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)臨界荷載為77

感謝傾聽THANKYOUFORYOURLISTENING結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論授課教師|XXX授課內(nèi)容806.1引言6.2橫向均布荷載作用的壓彎桿件6.3橫向集中荷載作用的壓彎桿件6.4兩端等彎矩作用的壓彎桿件6.5壓彎桿件的等效彎矩系數(shù)6.6壓彎桿件在彎矩作用平面內(nèi)的穩(wěn)定計算第6章壓彎桿件在彎矩作用平面內(nèi)的穩(wěn)定6.1引言81壓彎構(gòu)件—同時承受軸心壓力和彎矩作用的桿件，亦稱Beam-Columns壓彎構(gòu)件有兩種可能的失穩(wěn)形式：（1）彎曲失穩(wěn)—彎矩平面內(nèi)失穩(wěn)（2）彎扭失穩(wěn)—彎矩平面外失穩(wěn)本節(jié)主要介紹彎曲失穩(wěn)。彎矩作用平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)彎矩作用平面外彎扭失穩(wěn)6.2橫向均布荷載作用的壓彎桿件82均布荷載q作用下兩端鉸接的壓彎桿件，在x截面處的內(nèi)力矩為-Eiy’’，外力矩Py+qx(l-x)/2，其平衡方程為：對應(yīng)的齊次線性方程y''+α2y=0的通解為：特解寫成y=c1x2+c2x+c3，代入方程可確定其系數(shù)為：6.2橫向均布荷載作用的壓彎桿件由邊界條件y(0)=0和y(1)=0，可確定其系數(shù)為:則：令u=αl/2，桿件跨中最大撓度為：通解+特解為：836.2橫向均布荷載作用的壓彎桿件，是當P=0

時，均布荷載作用下簡支梁的最大撓度。，為考慮軸力影響后的撓度放大系數(shù)。式中：將Am表達式中的secu展開成冪級數(shù)：根據(jù)

u=αl/2，PE=π2EI/l2，式中:則撓度的放大系數(shù)為:846.2橫向均布荷載作用的壓彎桿件跨中最大撓度ymax可簡化為：跨中最大彎矩Mmax為：，是當P=0時，均布荷載作用下簡支梁的跨中最大彎矩。，為考慮軸力影響后的彎矩放大系數(shù)。式中：一階彎矩二階彎矩856.3橫向集中荷載作用的壓彎桿件當時，平衡方程為：令時，則通解為：代入邊界條件，，得系數(shù)

則通解則通解令

當

時，跨