【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形成性考核冊答案

【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)1答案：

第1章函數(shù)

第2章極限與持續(xù)

(-)單項選擇題

1.下列各函數(shù)對中，(C)中的兩個函數(shù)相等.

A./(x)=(Vx)2,g(x)=xB.f(x)=E,g(x)=x

j.2

C./(x)=InX3,g(x)=3\nxD.f(x)=x+\,g(x)=----

x-\

分析：判斷函數(shù)相等的兩個條件(1)對應(yīng)法則相似(2)定義域相似

A、/(x)=(Vx)2=x,定義域｛x|xNO｝；g(x)=x,定義域為R

定義域不一樣，因此函數(shù)不相等：

B、f(x)=47=\x\,g(x)=x對應(yīng)法則不一樣，因此函數(shù)不相等；

C、f(x)=inx3=3Inx,定義域為｛x|x>0｝,g(x)=3lnx,定義域為｛x|x>0｝

因此兩個函數(shù)相等

V2—1

D、/(x)=x+1,定義域為R；^(x)=-——-=x+],定義域為R,xw1｝

定義域不一樣，因此兩函數(shù)不等。

故選C

2.設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為(-8,+8),則函數(shù)/(x)+/(—x)的圖形有關(guān)(C)對稱.

A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.無軸

C.y軸D.y=x

分析：奇函數(shù)，/(-X)=-/(A-),有關(guān)原點(diǎn)對稱

偶函數(shù)，/(-x)=/(x),有關(guān)y軸對稱

)，=/(x)與它的反函數(shù)y=(x)有關(guān)y=%對稱，

奇函數(shù)與偶函數(shù)的前提是定義域有關(guān)原點(diǎn)對稱

設(shè)ga)=/(x)+/(-x)，則g(-x)=/(r)+〃x)=g(x)

所認(rèn)為g(6=/(可+/(-力偶函數(shù)，即圖形有關(guān)y軸對稱

故選C

3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).

A.y=ln(l+^2)B.y=xcosx

ax+a~x...、

C.y=-------D.y=ln(l+x)

2

分析：A、y(-x)=ln(l+(-x)2)=In(1+x2)=y(A:),為偶函數(shù)

B、y(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-^(x),為奇函數(shù)

或者X為奇函數(shù)，COSX為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)

C、y(-x)=a=y(x),所認(rèn)為偶函數(shù)

D、y(-.r)=ln(l-.r),羋奇非偶函數(shù)

故選B

4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).

A.y=x+1B.y=-x

分析：六種基本初等函數(shù)

(I)y=c(常值)------常值函數(shù)

(2)y=為常數(shù)一一帚函數(shù)

(3)y="(a>O,awl)-----指數(shù)函數(shù)

(4)y=k)g“x(4>()MH1)-----對數(shù)函數(shù)

(5)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx-----三角函數(shù)

y=?/rsinx,[-l,l],

(6)y=?/rcosx,[-lj],---反三角函數(shù)

y=arctanx,y=arccotx

分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)，故D選項不對

對照比較選C

5.下列極限存計算不對的的是(D).

r2

A.lim—....=1B.limln(l+x)=0

NTOO廠+2X->0

八「sinx八-.1

C.lim----=()D.limxsin—=0

KTOOXX

分析：A、已知lim」-=0(〃>0)

…￡

hm—---=hm—----=lim-----=----=1

工e+2xxr2I*1,2l+0

+1+r

X2廠

B、limln(l+x)=ln(l+0)=0

.r->0

初等函數(shù)在期定義域內(nèi)是持續(xù)的

一..sinx1.八

C、lim----=hm—sinx=O

XT8%X

x->8時，,是無窮小量，sinx是有界函數(shù),

x

無窮小量X有界函數(shù)仍是無窮小量

.1

1sin-]?

D、limxsin—=lim—令，=--->0,xf8,則原式二出力-^-

XTy'X]XZ->0f

X

故選D

6.當(dāng)戈―0時,變量(C)是無力小量.

sinx1

A.----B.-

xx

.1

c.xsm—D.ln(x+2)

x

分析；岬J/(X)=O,則稱/(x)為時的無窮小量

A、lim—=1,重要極限

.t->0x

B、lim-=oo,無窮大量

C、limxsin—=0,無窮小量xx有界函數(shù)sin—仍為無窮小量

x

D、limln(x+2)=ln(0+2)=ln2

故選C

7.若函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。滿足(A),則/(A)在點(diǎn)x0持續(xù)。

A.limf(x)=/(x)B./(x)在點(diǎn)/的某個鄰域內(nèi)有定義

Xf%0

C.lim/(x)=/(x0)D.lim/(x)=limf(x)

>XQ.r—>.VQA—

分析：持續(xù)的定義：極限存在且等于此點(diǎn)的函數(shù)值，則在此點(diǎn)持續(xù)即lim/(x)=/(x。)

Xf%

持續(xù)的充足必要條件limfa)=/(%)olim/(x)=lim/(x)=/(x0)

.V->AQ.V-片—>的一

故選A

(-)填空題

1?函數(shù)f(x)=+ln(1+x)的定義域是—{x|戈>3}.

人一D

分析：求定義域一般遵照的原則

(1)偶次根號下的量之0

(2)分母的值不等于0

(3)對數(shù)符號下量(真值)為正

(4)反三角中反正弦、反余弦符號內(nèi)的量，絕對值不不小于等于I

jr

(5)正切符號內(nèi)的量不能取匕r±5(4=01，2)

然后求滿足上述條件的集合的交集,即為定義域

yjx1-9

f(x)=-—:+ln(l+x)規(guī)定

x-3____

V-9>0卜之3或x<-3___________

?x-3w0得<xw3求交集一371:j____

l+x>0x>—1

定義域為{x|x>3}

2.已知函數(shù)/(X+l)=，+x,則二x2-X.

分析：法一，令r=x+l得x=r-1

則/Q)=?_1)2+?_[)=/則/(力=12_(

法二，/(x+l)=x(x+l)=(x+l-l)(x+l)因此=

3.1im(l+—)r=________.

x2x

將梯形的面枳表到達(dá)其高的函數(shù).

C

設(shè)梯形ABCD即為題中規(guī)定的梯形，設(shè)高為h,即OE=h,下底CD=2R

直角三角形AOE中，運(yùn)用勾股定理得

AE=ylo^-OE2=JR?-層

則上底=2AE=2jR2-萬

故S=^?(2R+2正_叫=/?(/?+V/?2-/r

.sin3x

4.求lun--------.

1。sin2x

sin3xsin3x

--------x3x

癡，..sinjx..3v3rJ1JJ

解：hm---------=lim—-x-----------=lrim—r絲一x——-x—=—

zsin2x5sin2x_—osin2x2122

--------x2x--------

2x2x

5.求lim----------

Xgsin(x+1)

函x"—1..(x—l)(x+1)x—1-1-

解：lim------------=lim-----------------=lim———=——

x-*-'sin(x+l)x"sin(x+l)x?isin(x+l)1

x+1

6.求lim0

3X

tan3x..sin3x1..sin3x1.,1今今

解：hm--------=hm------------------=hm--------x---------x3=lx-x3=3

r

zx.v->oxcos3x-->03xcos3A:1

十].V1+x2—1

7.求lim---------------.

I。sinx

lim正Zzl]而(巧口(正Z112A

解==lim,---------

2

XT。sinx-。(VI+x+l)sinx^(Vl+x^Dsinx

lim-----------------：——==0

5(后了+產(chǎn)(-I)*

X

X—1

8.求lim(=>)].

iRx+3

r_ii--d--r[d+—rT/

解：lim(-----)r=lim(—y)'=lim-------—=lim--------―：——=—

丫+3x-?8,3x->oo3\xx-?xi-_p

1+-(1+-)[(1+-)313

XXX

3

9求lim'二F+g

14x'-5x+4

lin/「6工+8(^4)(A-2)二L士二

解:=lim

7jr-5x+4(x-4)(x-l)x-\4-13

10.設(shè)函數(shù)

（x-2）2,x>l

/（x）="x,-1<x<l

x+1,x<-\

討論/（木）的持續(xù)性，并寫出其持續(xù)區(qū)間.

解：分別對分段點(diǎn)x=-l,x=l處討論持續(xù)性

(I)

limf(x)=limx=-\

X+1+')N+1+

=-14-1=0

因此帆/（x）工鑿/（X）,即在x=-l處不持續(xù)

（2）

./（X）=既（7）2=（1-2）2=1

lim/（A：）=limx=l

/0）=1

因此叫1/（力=岬=（尤）=/⑴即/'（X）在X=1處持續(xù)

由（1）（2）得/（x）在除點(diǎn)工=一1外均持續(xù)

故/（"的持續(xù)區(qū)間為（f-1）」（一1,轉(zhuǎn)）

【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)2答案:

第3章導(dǎo)數(shù)與微分

(-)單項選擇題

1.設(shè)/(0)=0且極限1血/^存在，則描"?=(C).

.r->0x*->0%

A./(0)B./(0)

C.f'(x)D.Ocvx

2.設(shè)/(x)在/可導(dǎo)，則呵/X。一『"，、=(D).

A.-2"/)B./30)

C.2;(%)D.-廣(%)

3.設(shè)f(x)=e\則lim/(I+斕-/⑴=(A).

-AJC

A.cB.2e

_11

C.—eD.-e

24

4.設(shè)/(x)=x(冗—D(x—2)…(x—99),則/'(0)=(D).

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列結(jié)論中對的的是(C).

A.若/(A)在點(diǎn)x0有極限，則在點(diǎn)/可導(dǎo).

B.若/a)在點(diǎn)與持續(xù)，則在點(diǎn)與可導(dǎo).

C.若jf(x)在點(diǎn)xQ可導(dǎo)，則在點(diǎn)xQ有極限.

D.若/(A)在點(diǎn)與有極限，則在點(diǎn)與持續(xù).

(二)填空題

L設(shè)函數(shù)而T"0,則/(0)=o.

0,x=0

2.設(shè)f(er)=e2x+5e\則叟3R=十二.

dxxx

3.曲線/a)=4+1在(1,2)處的切線斜率是k=g

4.曲線f(x)=sinx在(四，1)處的切線方程是y=gx="(1-7)

4224

5.設(shè)y=x2x,則y=2X2X(\+Inx)

e.設(shè))，=xlnx,則)，"二'

x

(三)計算題

L求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù))，'：

<l)y=(xVx+3)eAyf=(x2+3)e'+-x2e'

<2)y=cotx+x2Inxy'=-esc2x+x+2xln犬

0、/,2x\nx+x

⑶y=—y'=---；——

InxIn-x

cosx+2',x(-sinx+TIn2)-3(cosx+2')

⑷)，=-----y=-----------------------------

TX

1,

[2sinx(—2x)—(Inx—x)cosx

—inx—x,x

⑸)，=-------y=----------------------------

sinxsin'x

八4-i，-sinxi

<6)y=x-sinxlnxy=4x-------cosxlnx

x

_、sinx+x.3r(cosx+2x)-(sinx+x2)31In3

⑺),二三")'=

32x

ex1

<8)y=eAtanx+\nxyf=extanx+------+—

''COS~XX

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），':

⑴y=e'k

⑵y=InCOSJV5

/—sinx32Q2*3

y=-------3ox=-3xtanx

cosx

⑶y=dXyj

7

y=x8

-8

⑷)，=Jx+6

i1zli-1

=-(x+x2)3(1+—x2)

(5)y=cos2ev

yf=-exsin(2ev)

2

<6)y=cose「

2

yf--2xexsinex

(7)y=sin"xcosnx

yr=〃sin"ixcosxcos〃x-〃sin“xsin(mr)

5sinx

y=2%m53/5水

⑼y=es"x

y'=sin2x*2x

22

ao)y=+e”"

22

yr=xx(x+2xlnx)+2xex

vA

<ii)yxe+ee

yf=(―--ke'Inx)+eeex

x

3.在下列方程中，)，=y(x)是由方程確定的函數(shù)，求?。?/p>

⑴ycosx=e2v

y'cosx-ysinx=2e2yy'

,_ysinx

'COSX-262V

⑵y=cos)Hnx

y*=siny.y'In+cosy.一

'x

,cosy

y=；

x(l+sinyInx)

2

x

⑶2工siny=—

y

2yx-x2yrx粵-2siny

2xcosy.y'+2siny=>,,(2xcosy+—

2

yy

,_2xy-2ysiny

2xy2cosy+x2

⑷y=x+Iny

)/上+1

y

\.，一

)一i

y-l

(5)Inx+e'=y2

—+eyy'=lyy'

x

1

y一；-

x(2y-ey)

<6)y2+\=e'siny

lyy'=excosy.yr+siny.ex

,exsiny

y-

2y-excosy

<7)ev=eA-/

e'j/="—3y2v

V=1+3)，2

e

⑻)，=5*+2、'

/=5'In5+yr2yIn2

,5'In5

y=---------

-l-2yln2

4.求下列函數(shù)的微分dy：

<l)y=cotx+cscx

-1cosx

dy=(-2----「~)dx

cosxsinx

Inx

<2)y-

sinx

-sinx-lnxcosx

dy=--------；-------dx

sin"

\—x

⑶y=arcsin

1+x

dy=

⑷，=

V1

兩邊對數(shù)得：Iny=-[ln(l-x)—ln(l+A)]

)，3\-x1+x

,iii、

y=_OAH—(i—+\—)

3V1+x1-x1+x

⑸y=sin2er

dy=2sinexexexdx=sin(2ex)exdx

⑹y=tane1

dy=sec2ex3x2dx=3x2e'sec2xdx

，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):

⑴y=xlnx

)/=1=Inx

)'“二一1

x

⑵y=xsinx

y'=xcosx+sinx

y"=-xsinx+2cosx

⑶y=arctanx

l+x-

“一2x

J■■(TT7F

⑷y=3V

v=2x3,ln3y"=4/3/In23+21n3-3x2

(四)證明題

設(shè)/(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證/'(X)是偶函數(shù).

證：由于f(x)是奇函數(shù)因此/(-%)=-f(x)

兩邊導(dǎo)數(shù)得：=-f\x)nfX-x)=f(x)

因此尸(x)是偶函數(shù)。

【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)3答案:

第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(-)單項選擇題

1.若函數(shù)/1)滿足條件(D),則存在份，使得/&)=/("―/⑷

b-a

A.在(a,Z?)內(nèi)持續(xù)B.在(a,Z?)內(nèi)可導(dǎo)

C.在(a,〃)內(nèi)持續(xù)且可導(dǎo)D.在內(nèi)持續(xù)，在(a,Z?)內(nèi)可導(dǎo)

2.函數(shù)/(?=/+4x—l的單調(diào)增長區(qū)間是(D).

A.(-8,2)B.(—1,1)

C.(2,+co)D.(-2,4-oo)

3.函數(shù)y=/+4%_5在區(qū)間(_6,6)內(nèi)滿足(A).

A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降

C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升

4.函數(shù)f(x)滿足尸(x)=0的點(diǎn)，一定是/(幻的(C).

A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)

C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)

5.設(shè)/(幻在(凡與內(nèi)有持續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，xoe(a,b),若/(x)滿足(C),則/*)在/取到極小

值.

A.廣(/)>o,r(xo)=oB.f\x.)<o,3(/)=o

c.r(xo)=o,r(xo)>oD./'(/)=ojgvo

6.設(shè)/(x)在(凡與內(nèi)有持續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且廣(x)<0,/〃(x)<0,則/(x)在此區(qū)間內(nèi)是(A).

A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的

C.單調(diào)增長且是凸的D.單調(diào)增長且是凹的

(二)填空題

L設(shè)/(不)在3,8)內(nèi)可導(dǎo)，%€(〃，〃)，且當(dāng)XV/時ra)〈o,當(dāng)一>/時r(x)>o,則％是

fix)的極小值點(diǎn).

2.若函數(shù)/(X)在點(diǎn)X?？蓪?dǎo)，且人是/(X)的極值點(diǎn)，則/"0)=①.

3.函數(shù)y=ln(l+x2)的單調(diào)減少區(qū)間是(—8,0).

4.函數(shù)/(x)=e*的單調(diào)增長區(qū)間是(0,+oo)

5.若函數(shù)/(X)在［a,8］內(nèi)恒有廣(幻<0,則f(x)在數(shù)，切上的最大值是?、?

e.函數(shù)/(r)=2+5.r-3r3的拐點(diǎn)是x=0

(三)計算題

L求函數(shù))，=(x+1)(x—5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.

令)，'=(X+1)2(X+5)2=2(X-5)(X-2)

=駐點(diǎn)x=2,x=5

X(-8,2)2(2,5)5(5,+oo)

y+極大-極小+

y上升27下降0上升

極大值：/(2)=27

極小值:/(5)=0

2.求函數(shù))，=/-2工+3在區(qū)間[0,3]內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值.

令：y=2x-2=0nx=l(9主點(diǎn))

/(0)=3/(3)=6/(1)=2

n最大值/(3)=6

=最小值/(1)=2

3.試確定函數(shù)+灰2-以+〃中的,使函數(shù)圖形過點(diǎn)(一2,44)和點(diǎn)(1,一10),且

x=-2是駐點(diǎn)，x=l是拐點(diǎn).

44=-泌+48-2x+da=\

-\0=a+b+c=dh=-3

解：<n<

0=\2a-4b+cc=16

0=6a+2b[d=-24

4.求曲線),2=2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)42,0)的距離最短.

解：設(shè)p(x,y)是V=2x上的點(diǎn)，d為p到A點(diǎn)的距離，則:

d=J(R-2)2+)，2=J(X-2)2+2X

令d'="義+2=1=()m

2,yj(x—2)~+2xJ(x—2)~+2x

/.=2%上點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)4(2,0)的距離最短。

5.圓柱體上底的中心到下底的邊緣的距離為L,問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大?

設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積

V=7rR2h=7r(l}-h2)h

出

令：V'=7c{h(-lh)+1}-h'}=TT[I}-3/?2]=0nL=?ih=-L

3

7?=J|A當(dāng)h=W，R=gL時其體積最大。

6.一體積為V的圓柱體，間底半徑與高各為多少時表面枳最?。?/p>

設(shè)園柱體半徑為R.高為h,則體積

、V,

V=7iR-hS表面積=2威力+2欣-=2—+2成2

R

令：S'=-2VR2+4成=0=>-^―=R、nR=

2乃

7.欲做一種底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開II容器，怎樣做法用料最省?

S：設(shè)底連長為x,高為h。則：

62.5=x2h=>力=喀

x

250

測面積為：S=X24-4A7?=X2+—

X

750

令S'=2x-然=0nj?=i25=x=5

x

答：當(dāng)?shù)走B長為5米，高為2.5米時用料最省。

(四)證明題

1.當(dāng)x>0時，證明不等式x>ln(l+戈).

證：由中值定理得：1n(l+犬)=ln(l+x)-lnl=J<](?.?J>0)

X(1+X)-1l+J

n""+')<1=>x>ln(l+x)(當(dāng)x>(M)

x

2.當(dāng)人>0時，證明不等式e、>人+1.

設(shè)/3)="-(%+1)

f\x)=ex-\>0(當(dāng)x>Oj)n當(dāng)x>斷"⑴單調(diào)上升且/(0)=0

/(x)>0,即/>(x+1)證畢

【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)4答案：

第5章不定積分

第6章定積分及其應(yīng)用

(-)單項選擇題

L若/⑴的一種原函數(shù)是L則/'(%)=(D).

X

「I1c12

A.In區(qū)B.-C.—D.——

XXX

2.下列等式成立的是(D).

A”(x)dr=f(x)B.jdf(x)=f(x)C.djf(x)d.K=f(x)D.jf(x)dx=f(x)

3.若f(x)=cosx,則j/'(x)dLt=(B).

A.sinx+cB.cosx+cC.-sinx+cD.—cosx+c

4.一lx2f(x3)dx=(B).

drJ

A./(x3)B,x2/U3)C.1/(x)D.l/(x3)

氏若J/(x)(lr=/(x)+c，則