第1頁（共1頁）2025年北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)丘成桐少年班選拔數(shù)學(xué)試卷一、1．計(jì)算．2．不等式的方框中是一個自然數(shù)，要使不等式成立3．一架從上海飛往東京的航班在途中出現(xiàn)故障，在10分鐘內(nèi)從10000米高空急速跌落至3000米，那么該航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至個位）4．已知A、B、C、D為四個從小到大的連續(xù)自然數(shù)，且兩位數(shù)為質(zhì)數(shù)為合數(shù)，兩位數(shù)，那么其中的合數(shù)是多少？5．L國向Y國連續(xù)進(jìn)行了五天的彈道導(dǎo)彈攻擊：第一天發(fā)射200枚，第二天發(fā)射100枚，第三天發(fā)射70枚，第五天發(fā)射30枚．Y國在前三天的導(dǎo)彈攔截成功率為90%，而在第四天與第五天的導(dǎo)彈攔截成功率則下降為70%．那么L國這五天發(fā)射的導(dǎo)彈中6．愛打籃球的小明剛進(jìn)入校園，就迫不及待地跑去籃球場投籃．他連續(xù)進(jìn)行了10次投籃，其中有3次投進(jìn)，那么他投籃的過程有多少種不同的情況？7．如圖，半徑分別為10、20、40、80的四個圓的圓心在同一條直線上，而且半徑為20的圓的圓心在半徑為10的圓周上，半徑為80的圓的圓心在半徑為40的圓周上，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）8．123除以一個正整數(shù)得到的余數(shù)為11，543也除以這個正整數(shù)得到的余數(shù)為15，那么這個正整數(shù)是多少？9．在下面的橫式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字表示三位數(shù)是多少？10．小倉鼠的學(xué)校距家有800米，平時它放學(xué)后總是慢悠悠地滾著它的倉鼠球回家，每分鐘滾40米．有一天，實(shí)在忍不住鉆進(jìn)去狂嗑了3分鐘瓜子！結(jié)果它突然想起——回家晚了會被倉鼠媽媽發(fā)現(xiàn)！于是它立刻開啟“瘋狂滾球模式”，以每分鐘60米的速度沖刺回家11．小明去公園旅游，爬26級天梯，他開始時以每步2級的步伐向上攀登（至少走了1步但未到終點(diǎn)）因步伐不穩(wěn)摔倒一次，后退了1級或2級，那么小明這次爬天梯的走法有多少種不同的可能？12．某居民樓共有8層，電梯在1層時剛好進(jìn)來了4個人，他們互相都認(rèn)識，4人之間開啟了一段有趣的對話：甲：“我是第二個下電梯的，乙說的是假話．”乙：“我將是最先下電梯的，并且沒有人和我在相鄰樓層下電梯．”丙：“我將是最后一個下電梯的，乙說的確實(shí)是假話．”丁：“我是第三個下電梯的，乙才是最后一個下電梯的，并且有人和我在相鄰樓層下電梯．”如果4個人之中有兩人始終說真話，他們剛好都在奇數(shù)樓層下電梯，而另兩人始終說假話13．甲乙兩人練習(xí)往返騎行縹緲峰，兩人各自上山速度保持不變，下山速度也保持不變，在靠近山頂四分之一的地方首次相遇（在同一地點(diǎn)即為相遇），在距離山腳12千米處第二次相遇14．將1至8這8個數(shù)按照某種順序排成一排，先將相鄰的兩個數(shù)相乘，再把這7個乘積相加15．如圖，邊長為10的正方形ABCD中，E、F、G、H分別在正方形的四條邊上，BF：FC＝1：2，CG：GD＝1：2，那么正方形MNPQ的面積是多少？

2025年北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)丘成桐少年班選拔數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、1．計(jì)算．【解答】解：原式＝＝12．2．不等式的方框中是一個自然數(shù)，要使不等式成立【解答】解：設(shè)方框中為x，則有，∴，其自然數(shù)解為7，1，2，5，4，5，故方框中的最大自然數(shù)是5．3．一架從上海飛往東京的航班在途中出現(xiàn)故障，在10分鐘內(nèi)從10000米高空急速跌落至3000米，那么該航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至個位）【解答】解：10分鐘等于600秒，從10000米高空急速跌落至3000米，根據(jù)題意可列算式為（10000﹣3000）÷（10×60）＝7000÷600≈12（米）．答：該航班平均每秒下降12米．4．已知A、B、C、D為四個從小到大的連續(xù)自然數(shù)，且兩位數(shù)為質(zhì)數(shù)為合數(shù)，兩位數(shù)，那么其中的合數(shù)是多少？【解答】解：∵已知A、B、C、D為四個從小到大的連續(xù)自然數(shù)為質(zhì)數(shù)為合數(shù)為質(zhì)數(shù)，∴A的取值為1到6的自然數(shù)，當(dāng)A取奇數(shù)時，B為偶數(shù)是大于4的偶數(shù)，∴與“是質(zhì)數(shù)”的題設(shè)矛盾；當(dāng)A＝2時，C＝4，為合數(shù)，∴與“為質(zhì)數(shù)”的題設(shè)矛盾；當(dāng)A＝2時，B＝5，，∴與“為質(zhì)數(shù)”的題設(shè)矛盾；當(dāng)A＝6時，B＝4，D＝9為質(zhì)數(shù)，，為質(zhì)數(shù)，∴全部符合題設(shè)條件．∴合數(shù)是78．5．L國向Y國連續(xù)進(jìn)行了五天的彈道導(dǎo)彈攻擊：第一天發(fā)射200枚，第二天發(fā)射100枚，第三天發(fā)射70枚，第五天發(fā)射30枚．Y國在前三天的導(dǎo)彈攔截成功率為90%，而在第四天與第五天的導(dǎo)彈攔截成功率則下降為70%．那么L國這五天發(fā)射的導(dǎo)彈中【解答】解：由題意可得，前三天未被攔截導(dǎo)彈數(shù)為：（200+100+70）×（1﹣90%）＝370×10%＝37（枚），后兩天未被攔截導(dǎo)彈數(shù)：（50+30）×（1﹣70%）＝80×30%＝24（枚），L國這五天發(fā)射的導(dǎo)彈中，未被攔截的有：37+24＝61（枚），答：未被攔截的有61枚．6．愛打籃球的小明剛進(jìn)入校園，就迫不及待地跑去籃球場投籃．他連續(xù)進(jìn)行了10次投籃，其中有3次投進(jìn)，那么他投籃的過程有多少種不同的情況？【解答】解：∵投進(jìn)記為“中”，未投進(jìn)記為“空”，∴“中中”選擇8個空位的一個位置后，“中”還剩7個位置可選，∴他投籃的過程有6×7＝56種不同的情況，答：他投籃的過程有56種不同的情況．7．如圖，半徑分別為10、20、40、80的四個圓的圓心在同一條直線上，而且半徑為20的圓的圓心在半徑為10的圓周上，半徑為80的圓的圓心在半徑為40的圓周上，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【解答】解：3.14×802﹣5.14×402+3.14×205﹣3.14×102＝3.14×6400﹣3.14×1600+3.14×400﹣4.14×100＝16014，答：陰影部分的面積是16014．8．123除以一個正整數(shù)得到的余數(shù)為11，543也除以這個正整數(shù)得到的余數(shù)為15，那么這個正整數(shù)是多少？【解答】解：123﹣11＝112，543﹣15＝528，∵112＝16×7，528＝16×33，又∵這個整數(shù)要大于余數(shù)15，∴這個正整數(shù)是16，即這個正整數(shù)是16．9．在下面的橫式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字表示三位數(shù)是多少？【解答】解：∵＝3552，∴A＝7，B＝4，則表示三位數(shù)是748．10．小倉鼠的學(xué)校距家有800米，平時它放學(xué)后總是慢悠悠地滾著它的倉鼠球回家，每分鐘滾40米．有一天，實(shí)在忍不住鉆進(jìn)去狂嗑了3分鐘瓜子！結(jié)果它突然想起——回家晚了會被倉鼠媽媽發(fā)現(xiàn)！于是它立刻開啟“瘋狂滾球模式”，以每分鐘60米的速度沖刺回家【解答】解：800÷40＝20（分鐘），20﹣3＝17（分鐘），設(shè)小倉鼠的學(xué)校離瓜子鋪有x米．根據(jù)題意列一元一次方程得，，整理得，x+160＝2040，解得x＝440，即小倉鼠的學(xué)校離瓜子鋪有440米，答：小倉鼠的學(xué)校離瓜子鋪有440米．11．小明去公園旅游，爬26級天梯，他開始時以每步2級的步伐向上攀登（至少走了1步但未到終點(diǎn)）因步伐不穩(wěn)摔倒一次，后退了1級或2級，那么小明這次爬天梯的走法有多少種不同的可能？【解答】解：∵小明爬26級天梯，他開始時以每步2級的步伐向上攀登，此時位置為2k級，依題意得：2k＜26，解得：k≤12，后退1級，位置變?yōu)?k﹣8，依題意得：2k﹣1≥4，解得：k≥1；后退2級，位置變?yōu)?k﹣2，依題意得：2k﹣3≥0，解得：k≥1，剩余臺階分兩種情況討論：退3級時，得：26﹣（2k﹣1）＝27﹣3k，則27﹣2k≥0，解得：k≤13.6；退2級：得：26﹣（2k﹣3）＝28﹣2k，則28﹣2k≥6，解得：k≤14，初始階段：1≤k≤12，共有12種可能，后退方式：每種k對應(yīng)兩種后退方式，∴不同的走法共有12×2＝24（種），答：小明這次爬天梯的走法有24種不同的可能．12．某居民樓共有8層，電梯在1層時剛好進(jìn)來了4個人，他們互相都認(rèn)識，4人之間開啟了一段有趣的對話：甲：“我是第二個下電梯的，乙說的是假話．”乙：“我將是最先下電梯的，并且沒有人和我在相鄰樓層下電梯．”丙：“我將是最后一個下電梯的，乙說的確實(shí)是假話．”丁：“我是第三個下電梯的，乙才是最后一個下電梯的，并且有人和我在相鄰樓層下電梯．”如果4個人之中有兩人始終說真話，他們剛好都在奇數(shù)樓層下電梯，而另兩人始終說假話【解答】解：若甲說的“我是第二個下電梯的，乙說的是假話，那么甲是第二個下電梯的，他們剛好都在奇數(shù)樓層下電梯，他們剛好都在偶數(shù)樓層下電梯”，同時甲說“乙說的是假話”；因?yàn)橐艺f的是假話，而丙說“乙說的確實(shí)是假話”，那么丙是最后一個下電梯的；由于甲丙說的是真話，所以乙和丁說的是假話，所以乙不是最先下電梯的．又因?yàn)橐液投≌f假話，所以乙和丁都在偶數(shù)樓層下電梯．因?yàn)榧资堑诙€下電梯且在奇數(shù)層，所以甲在3層或5層；因?yàn)橐沂堑谌齻€下電梯且在偶數(shù)層，所以乙在3層或6層；因?yàn)楸亲詈笠粋€下電梯且在奇數(shù)層，所以丙在5層或2層．因?yàn)橐液投∈冀K說假話，所以乙說“沒有人和我在相鄰樓層下電梯”是假的；丁說“有人和我在相鄰樓層下電梯”是假的，即沒有人和丁在相鄰樓層下電梯．分情況討論丁所在樓層：若丁在2層，為了滿足有人和乙在相鄰樓層下電梯且沒有人和丁在相鄰樓層下電梯，乙在6層，這種情況是合理的；若丁在5層，若甲在5層，都無法滿足有人和乙在相鄰樓層下電梯且沒有人和丁在相鄰樓層下電梯的條件．所以甲在5層，乙在2層，丁在2層．答：甲乙丙丁依次去往的樓層所組成的四位數(shù)是5672．13．甲乙兩人練習(xí)往返騎行縹緲峰，兩人各自上山速度保持不變，下山速度也保持不變，在靠近山頂四分之一的地方首次相遇（在同一地點(diǎn)即為相遇），在距離山腳12千米處第二次相遇【解答】解：設(shè)從山腳到山頂?shù)木嚯x為s千米，甲上山的速度為v甲km/h，則下山的速度為2v甲km/h；乙上山的速度為v乙km/h，則下山的速度為2v乙km/h；根據(jù)題意，否則他們會一直齊頭并進(jìn)的甲km/h＞v乙km/h，故，∴；第二次相遇的情景是：甲下行千米，乙上行，下行（s﹣12）千米，故，∴s＝28．答：從山腳到山頂?shù)木嚯x為28千米．14．將1至8這8個數(shù)按照某種順序排成一排，先將相鄰的兩個數(shù)相乘，再把這7個乘積相加【解答】解：要使和最大，應(yīng)將最小的兩個數(shù)1和2置于兩端，最大的數(shù)5應(yīng)居中，以此類推，3，5，7，8，6，5，2（或其逆序），1×4+3×5+3×7+7×8+8×6+5×4+4×3＝3+15+35+56+48+24+8＝189，答：得到的和最大值是189．