2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)動漫”相關(guān)知識試題（二）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）動漫角色設(shè)計(jì)中的函數(shù)圖像《數(shù)學(xué)忍者》動畫中，主角使用“函數(shù)手里劍”攻擊敵人，手里劍的飛行軌跡滿足函數(shù)$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$。下列關(guān)于該函數(shù)的說法正確的是（）A.圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在$(-\infty,+\infty)$單調(diào)遞增B.反函數(shù)為$f^{-1}(x)=\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}(x\neq0)$，且與原函數(shù)圖像交于點(diǎn)$(1,1)$C.當(dāng)$x\in[1,+\infty)$時(shí)，最大值為1，最小值為0D.若將圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所得曲線方程為$y=\frac{1-x^2}{2x}$分形幾何與動漫場景《分形之城》動畫中，某場景的背景圖案是由迭代生成的科赫雪花（如圖1）。初始圖形為邊長1的正三角形，第1次迭代將每條邊三等分，以中間段為邊向外作正三角形；第2次迭代對每條新邊重復(fù)上述操作。記第$n$次迭代后圖形的周長為$L_n$，面積為$S_n$，則下列結(jié)論正確的是（）A.${L_n}$是等比數(shù)列，公比為$\frac{4}{3}$，且$\lim\limits_{n\to\infty}L_n=+\infty$B.${S_n}$是等比數(shù)列，公比為$\frac{4}{3}$，且$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac{2\sqrt{3}}{5}$C.第3次迭代后圖形中共有108條邊，總面積為$\frac{20\sqrt{3}}{27}$D.若將初始圖形改為邊長2的正三角形，則第$n$次迭代后面積$S_n'=4S_n+\frac{\sqrt{3}}{3}(4^n-1)$概率與動漫抽獎系統(tǒng)《歐皇學(xué)院》動畫中，主角參與“卡牌召喚”活動，規(guī)則如下：每次召喚消耗100金幣，有30%概率獲得R卡，50%概率獲得SR卡，20%概率獲得SSR卡。若連續(xù)3次未獲得SSR卡，則第4次召喚必定獲得SSR卡（保底機(jī)制）。設(shè)某玩家初始金幣為400，每次召喚后立即停止的概率為$p$（獲得SSR卡時(shí)$p=1$，否則$p=0$），則該玩家消耗金幣數(shù)$X$的數(shù)學(xué)期望是（）A.215B.240C.265D.280立體幾何與3D建?！稒C(jī)械紀(jì)元》動畫中，某機(jī)器人的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)可抽象為直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$，其中$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=120^\circ$。若用空間向量計(jì)算關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，以$A$為原點(diǎn)，$\overrightarrow{AB}$為$x$軸，$\overrightarrow{AD}$（$D$為$AC$在平面$xOy$內(nèi)的射影方向）為$y$軸，$\overrightarrow{AA_1}$為$z$軸建立坐標(biāo)系，則向量$\overrightarrow{BC_1}$的坐標(biāo)是（）A.$(-2,\sqrt{3},2)$B.$(-1,\sqrt{3},2)$C.$(-2,2\sqrt{3},2)$D.$(-1,2\sqrt{3},2)$圓錐曲線與魔法陣《魔法數(shù)學(xué)使》動畫中，反派的“封印魔法陣”是一個(gè)以原點(diǎn)為中心的橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程滿足：①焦點(diǎn)在$x$軸上；②過點(diǎn)$(2,1)$；③離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$。主角需在橢圓上找到一點(diǎn)$P$，使得$P$到直線$l:x+2y-4=0$的距離最大，則$P$的坐標(biāo)是（）A.$(-\frac{4\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5})$B.$(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5})$C.$(-\frac{2\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5})$D.$(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5})$數(shù)列與劇情發(fā)展《無限循環(huán)》動畫中，主角被困在時(shí)間循環(huán)中，每天醒來會獲得“時(shí)間碎片”，第1天獲得1片，第2天獲得3片，第3天獲得6片，第4天獲得10片……（即碎片數(shù)構(gòu)成數(shù)列$a_n$，滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+n+1$）。若集齊1000片碎片可打破循環(huán)，則主角需要被困的天數(shù)$n$是（）A.19B.20C.21D.22貝葉斯定理與角色身份《偵探學(xué)院Q》動畫中，某案件有3名嫌疑人：A（動漫迷）、B（數(shù)學(xué)家）、C（程序員）。已知A是兇手的概率為0.2，B為0.3，C為0.5。若兇手是動漫迷，則現(xiàn)場會留下動漫周邊的概率為0.8；若為數(shù)學(xué)家或程序員，則留下動漫周邊的概率分別為0.1和0.2?，F(xiàn)現(xiàn)場發(fā)現(xiàn)動漫周邊，則A是兇手的概率為（）A.$\frac{16}{33}$B.$\frac{16}{43}$C.$\frac{8}{21}$D.$\frac{4}{11}$數(shù)學(xué)建模與能量系統(tǒng)《機(jī)甲戰(zhàn)士》動畫中，機(jī)甲的能量核心輸出功率$P$（單位：kW）與溫度$T$（單位：℃）的關(guān)系滿足模型$P(T)=kT^2e^{-aT}$（$k,a>0$）。已知當(dāng)$T=50$℃時(shí)功率達(dá)到最大值200kW，則當(dāng)$T=100$℃時(shí)，功率$P(100)$為（）A.50ekWB.100ekWC.50e2kWD.100e2kW復(fù)數(shù)與魔法咒語《魔法代碼》動畫中，咒語“$\zeta=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}$”可召喚元素精靈。若將$\zeta^3+\zeta^5+\zeta^6$表示為$a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$），則$a+b$的值是（）A.-1B.0C.1D.2優(yōu)化問題與動漫制作某動畫公司制作《數(shù)學(xué)大冒險(xiǎn)》時(shí)，需將200分鐘的素材剪輯為正片和預(yù)告片。正片每分鐘收益5萬元，制作成本3萬元；預(yù)告片每分鐘收益2萬元，制作成本1萬元。公司要求正片時(shí)長不超過預(yù)告片的3倍，且總成本不超過480萬元。則最大總收益為（）A.400萬元B.440萬元C.480萬元D.520萬元二、填空題（本大題共6小題，共36分）動漫場景中的立體幾何《浮空都市》動畫中，某建筑的底座是直四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$，底面$ABCD$為菱形，$\angleBAD=60^\circ$，$AB=2$，$AA_1=4$。若在棱$AA_1$上取點(diǎn)$P$，使得$PB+PC_1$最小，則$PA=$，此時(shí)最小值為。動態(tài)圖形與參數(shù)方程《運(yùn)動學(xué)英雄》動畫中，主角的“沖刺技能”軌跡滿足參數(shù)方程$\begin{cases}x=2t-\sint\y=1-\cost\end{cases}$（$t\geq0$，單位：秒）。當(dāng)$t=2\pi$時(shí)，主角的瞬時(shí)速度大小為______；從$t=0$到$t=2\pi$，主角運(yùn)動的路程為______。概率分布與抽卡策略《卡牌大師》動畫中，“SSR卡”的獲取概率為$p$，每次抽卡相互獨(dú)立。玩家采用“10連抽”策略（即連續(xù)抽10次），設(shè)$X$為10連抽中SSR卡的數(shù)量。若$E(X)=2$，則$p=$；此時(shí)至少獲得1張SSR卡的概率為（用分?jǐn)?shù)表示）。數(shù)學(xué)文化與古代問題《九章算術(shù)》動畫特別篇中，“方田章”記載：“今有圭田廣十二步，正從二十一步，問為田幾何？”（圭田即等腰三角形，廣指底，正從指高）。若將該圭田的面積換算為現(xiàn)代單位（1步=1.5米），則面積為______平方米；若在其中內(nèi)接一個(gè)最大的圓（內(nèi)切圓），則該圓的半徑為______米。數(shù)列與劇情伏筆《時(shí)間旅行者》動畫中，主角發(fā)現(xiàn)一串神秘?cái)?shù)列：1，3，7，15，31，…，滿足$a_{n+1}=2a_n+1$（$a_1=1$）。動畫第10集揭示該數(shù)列與“時(shí)空坐標(biāo)”有關(guān)，其中$a_n+1$是______（填“等差”“等比”或“既非等差也非等比”）數(shù)列，若將數(shù)列各項(xiàng)除以4，所得余數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列的前2025項(xiàng)和為______。開放探究與模型評價(jià)《數(shù)學(xué)建模大賽》動畫中，選手為預(yù)測“動漫周邊銷量”建立模型：$S(p)=1000e^{-0.05p}(p-10)$（$p$為單價(jià)，單位：元，$p>10$）。該模型的優(yōu)點(diǎn)是______，缺陷是______（各填一條）。三、解答題（本大題共6小題，共84分）三角函數(shù)與動作設(shè)計(jì)（12分）《舞動青春》動畫中，主角的“旋轉(zhuǎn)跳躍”動作可抽象為：先繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\theta$角，再沿$x$軸正方向平移$m$個(gè)單位。設(shè)初始位置為點(diǎn)$A(1,0)$，經(jīng)過動作后到達(dá)點(diǎn)$B(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$。（1）求$\theta$和$m$的值；（2）若后續(xù)動作是繞點(diǎn)$B$順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{\pi}{2}$，求最終位置$C$的坐標(biāo)。立體幾何與場景搭建（14分）《異世界迷宮》動畫中，某房間是正四棱錐$P-ABCD$，底面邊長為4，高為3。（1）求側(cè)棱$PA$與底面$ABCD$所成角的正弦值；（2）在棱$PB$上是否存在點(diǎn)$M$，使得$AM\perp$平面$PCD$？若存在，求$\frac{PM}{MB}$的值；若不存在，說明理由。概率統(tǒng)計(jì)與觀眾調(diào)研（14分）《動漫人氣榜》節(jié)目組對1000名觀眾進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：年齡段喜歡熱血番喜歡治愈番喜歡智斗番15-20歲2005015021-30歲10020010030歲以上5010050（1）現(xiàn)從所有觀眾中隨機(jī)抽取1人，求其“喜歡智斗番”的概率；（2）在“21-30歲”觀眾中，用分層抽樣抽取5人，再從這5人中隨機(jī)選2人，求恰有1人喜歡治愈番的概率；（3）判斷是否有95%的把握認(rèn)為“年齡段”與“喜歡熱血番”有關(guān)？（參考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$；臨界值：$\chi^2_{0.05}=3.841$）數(shù)學(xué)建模與劇情優(yōu)化（16分）《動畫制作公司》動畫中，某團(tuán)隊(duì)制作一集動畫的成本$C$（萬元）與時(shí)長$t$（分鐘）的關(guān)系為$C(t)=0.1t^2+2t+10$，收益$R$（萬元）與時(shí)長的關(guān)系為$R(t)=\begin{cases}5t,&10\leqt\leq20\-0.5t^2+25t-100,&20<t\leq30\end{cases}$。（1）求利潤函數(shù)$L(t)=R(t)-C(t)$的解析式；（2）當(dāng)$t$為何值時(shí)，利潤最大？最大利潤是多少？（3）若公司要求時(shí)長$t\in[15,25]$，且利潤不低于20萬元，求$t$的取值范圍。圓錐曲線與能量護(hù)盾（14分）《星際護(hù)衛(wèi)隊(duì)》動畫中，飛船的能量護(hù)盾是由雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$與圓$O:x^2+y^2=4$構(gòu)成的復(fù)合圖形。已知雙曲線$C$的右焦點(diǎn)為$F(2,0)$，離心率$e=2$。（1）求雙曲線$C$的方程；（2）若護(hù)盾受到攻擊，某彈丸軌跡為直線$l:y=kx+m$，與圓$O$相切且與雙曲線$C$交于$A,B$兩點(diǎn)，求$|AB|$的最小值。開放探究與創(chuàng)新思維（14分）《數(shù)學(xué)之神》動畫最終話中，主角面臨終極問題：“在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在同時(shí)滿足以下條件的曲線$Γ$？若存在，求出方程；若不存在，說明理由。”條件①：曲線$Γ$上任意一點(diǎn)$P(x,y)$到定點(diǎn)$F(1,0)$的距離與到定直線$l:x=-1$的距離之比為$\sqrt{2}$；條件②：曲線$Γ$上存在兩點(diǎn)$A,B$，使得$\triangleOAB$（$O$為原點(diǎn)）為等邊三角形，且邊長為$2\sqrt{3}$。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（簡要提示）一、選擇題B2.A3.C4.A5.A6.C7.B8.A9.A10.B二、填空題$\frac{4}{5}$，$2\sqrt{13}$12.2，813.$\frac{1}{5}$，$\frac{244140621}{9765625}$14.283.5，315.等比，303816.能體現(xiàn)銷量隨價(jià)格先增后減的趨勢；未考慮成本對利潤的影響（合理即可）三、解答題（要點(diǎn)）（1）$\theta=\frac{\pi}{2}$，$m=3$；（2）$C(7,3)$（1）$\frac{3}{5}$；（2）存在，$\frac{PM}{MB}=\frac{1}{3}$（1）0.3；（2）$\frac{3}{5}$；（3）$\chi^2=50>3.841$，有95%把握（1）$L(t)=\begin{cases}-0.1t^2+3t-10