11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用(教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.認(rèn)識實(shí)際測量中的有關(guān)名稱和術(shù)語,理解方位角、方向角、俯角、仰角的含義.2.會用余弦定理、正弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中有關(guān)距離、高度、角度的測量等問題.題型(一)測量距離問題[例1]如圖,A,B兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá)),若在河岸選取相距20m的C,D兩點(diǎn),測得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°,那么此時(shí)A,B兩點(diǎn)間的距離是多少?聽課記錄:|思|維|建|模|三角形中與距離有關(guān)問題的求解策略(1)解決三角形中與距離有關(guān)的問題,若在一個三角形中,則直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的線段在多個三角形中,要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?再利用正、余弦定理求解.(2)解決三角形中與距離有關(guān)問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊,分析所解三角形中已知哪些元素,還需要求出哪些元素,靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決.[針對訓(xùn)練]1.如圖,從無人機(jī)A上測得正前方的峽谷的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,若無人機(jī)的高度AD是15(3+1),則此時(shí)峽谷的寬度BC是()A.60 B.60(3+1)C.30 D.30(3+1)題型(二)測量高度問題[例2]如圖,A,B是水平面上的兩個點(diǎn),相距800m,在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45°,∠BAD=120°,又在B點(diǎn)測得∠ABD=45°,其中D點(diǎn)是C點(diǎn)到水平面的垂足,求山高CD.聽課記錄:|思|維|建|模|測量高度問題的解題策略(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化:測量高度問題往往是空間中的問題,因此先要選好所求線段所在的平面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合,全面分析所有三角形,仔細(xì)規(guī)劃解題思路.[針對訓(xùn)練]2.某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度,如圖,在C處進(jìn)行該儀器的彈射,觀測點(diǎn)A,B兩地相距100m,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚217s.A地測得該儀器在C處時(shí)的俯角為15°,A地測得該儀器在最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30°,求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340m/s)題型(三)測量角度問題[例3]某公司想投資建設(shè)一個深水港碼頭,如圖,工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構(gòu)造,在海平面內(nèi)一條直線上的A,B,C三點(diǎn)進(jìn)行測量.已知AB=60m,BC=120m,于A處測得水深A(yù)D=120m,于B處測得水深BE=200m,于C處測得水深CF=150m,則cos∠DEF=.

聽課記錄:|思|維|建|模|(1)測量角度與追及問題主要是指在海上、空中或陸地進(jìn)行測量或計(jì)算角度,確定目標(biāo)的方位,觀察某一物體的視角等問題.(2)解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形以及相關(guān)概念,確定所求的角或距離在哪個三角形中,該三角形中已知哪些量,需要求哪些量.[針對訓(xùn)練]3.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距anmile,乙船向正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的3倍,問甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能最快追上乙船?相遇時(shí)乙船行駛了多少nmile?11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用[例1]解:由正弦定理得AC=20=20sin105°sin45°=20sin75°sin45°BC=20=20sin45°sin45°=20在△ABC中,由余弦定理得AB=AC2+BC2∴A,B兩點(diǎn)間的距離為106m.[針對訓(xùn)練]1.選A由已知得∠ACB=30°,∠ABD=75°,∴CD=15(3+1)tan30°=15(3+3),BD=15(3+1)tan75°=15(3-1),∴BC=CD-[例2]解:由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,所以CD=AD.在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,由ABsin15°=得AD=AB·sin45°sin15°=800×226-即山的高度為800(3+1)m.[針對訓(xùn)練]2.解:設(shè)AC=xm,則BC=x-217×340=(x-40)m在△ABC中,根據(jù)余弦定理得(x-40)2=10000+x2-100x,解得x=420.在△ACH中,AC=420m,∠CAH=30°+15°=45°,∠AHC=90°-30°=60°.由CHsin∠CAH=得CH=AC·sin∠CAHsin∠AHC=1406(故該儀器的垂直彈射高度CH為1406m.[例3]解析:如圖所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H.由題中所給數(shù)據(jù)得DF=M=30=10333(m),DE=DN2+EN2EF=EH2+FH2=在△DEF中,由余弦定理的推論,得cos∠DEF=D=1002+1302答案:-16[針對訓(xùn)練]3.解:如圖所示,設(shè)兩船在C處相遇,并設(shè)∠CAB=θ,乙船行駛距離BC為xn