指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略---深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究一、高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索；二、

《中國高考評(píng)價(jià)體系》與關(guān)鍵能力；三、深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究之關(guān)鍵能力；1.整體設(shè)計(jì)；

2.橫向聯(lián)系；3.縱向探究；

4.本質(zhì)拓展。深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究!!!!聚焦核心素養(yǎng)考查關(guān)鍵能力創(chuàng)設(shè)情境發(fā)揮育人作用

深化基礎(chǔ)考查核心素養(yǎng)深入考查基礎(chǔ)知識(shí)和能力

助力人才選拔和

"雙減"落地優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

突出思維能力考查

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索教育部教育考試院歷年高考數(shù)學(xué)試題評(píng)價(jià)!以評(píng)價(jià)體系引領(lǐng)內(nèi)容改革

以科學(xué)情境考查關(guān)鍵能力2024年!突出實(shí)踐性和創(chuàng)新性

實(shí)現(xiàn)高考的選撥功能!加強(qiáng)理性思維考查

突出創(chuàng)新應(yīng)用

2015年

2016年

2017年

!!!體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化

突出實(shí)踐能力以真情實(shí)景落實(shí)"五育并舉"

以理性思維踐行"立德樹人"素養(yǎng)導(dǎo)向新舉措

能力考查新突破2021年2020年2019年2018年2022年2023年新課標(biāo)、新教材、新高考背景下高考數(shù)學(xué)試卷的變化2020年推出文理不分科的試卷結(jié)構(gòu)，新增了多選題；一把尺子量學(xué)生，增加區(qū)分度。2024年再次優(yōu)化，題量由22道降至19道，減少了耗時(shí)較多的多項(xiàng)選擇題和較難得分的填空題數(shù)量。解答題總分由

70分增加到77分；強(qiáng)化思維過程和思維能力的考查。2024年新課標(biāo)I卷將以往作答簡(jiǎn)單的數(shù)列內(nèi)容與新情境結(jié)合，安排在壓軸題的位置，難度大幅提高，將以往作為壓軸題的函數(shù)導(dǎo)數(shù)大題安排到解答題的第

2題，

難度大幅下降。避免僵化的試卷模式。

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索新課標(biāo)、新教材、新高考背景下高考數(shù)學(xué)試卷的變化2024年高考數(shù)學(xué)結(jié)束后，不少教師基于猜題押題的心理，要求學(xué)生反復(fù)練習(xí)“新定義題”，然而，2025年全國一卷壓軸題卻是以必修內(nèi)容中三角函數(shù)為基礎(chǔ)設(shè)

計(jì)的試題。高考試題創(chuàng)新大大降低了機(jī)械刷題的分?jǐn)?shù)收益。試卷與試題的反套路設(shè)計(jì)，避免大家猜猜猜。

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索教育部教育考試院2025年高考數(shù)學(xué)試題評(píng)價(jià)解：設(shè)2

+

log2

x=3

+

log3

y=5

+

log5

z=k

，則ln

x

=(k-

2)ln

2，

ln

y

=

(k-

3)ln

3

，ln

z

=

(k-

5)ln

5

.構(gòu)造與批判性思維當(dāng)k<k1

時(shí)，x

>

y

>

z

；當(dāng)k1

<

k<

k2

時(shí)，

y>x>z

；

f

(k

)

=

(k

-

2)ln

2

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索

問題：（2025全國一卷，8）若實(shí)數(shù)x,

y,

z滿足2

+

log2

x=

3

+

log3

y=5

+

log5

z，則x,

y,

z當(dāng)k2

<

k

<

k3

時(shí)，y

>

z

>

x

；

f

(k

)

=

(k

-

3)ln

3當(dāng)k>k3

時(shí)，

z>y>

x.的大小關(guān)系不可能是（

B）A

．x>y>z

B

．x>z>

y

C

．y>

x>z

D

．y>z>

xk

=

k2f

(k

)=

(k-

5)ln

5k

=

k3k

=

k1問題：（2025全國一卷，11）（多選）已知

ΔABC

的面積為

，

若

則（ABC）因?yàn)?/p>

所以

所以A

=

15

,

B

=

75

,

C

=

90

，

由

，得

，所以c2

=2.

sin

75A√.

sinC

=sin2

A

+

sin2

B

AB

=

數(shù)學(xué)直覺與洞察b力

c特殊到一般

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索AC2

+

BC2

=

3B√.D．C

a

BA15。75。BC

//AD

，

AB

丄

AD

．

（I）證明：平面PAB

丄

平面PAD

；(Ⅱ)若AD

=

+1

，BC

=

2

，P,

B,

C,

D在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為O

．（i）證明：

O

在平面ABCD上；

合情推理與直觀想象（ii）求直線AC

與直線PO所成角的余弦值．

證明：因?yàn)?/p>

所以點(diǎn)O在AD

上，解得x=1.當(dāng)x=1

時(shí)，

由cos

上CAD=sin上所以設(shè)OA=

x，

則

●

問題：（2025全國一卷，17）如圖所示的四棱錐P-

ABCD

中，PA丄

平面ABCD

，

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索O的球心為O．（ii）求直線AC

與直線PO所成角的余弦值．

由

知

設(shè)直線AC

與直線PO所成的角為α

,

（對(duì)角線向量定理）則

直觀想象

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索

第17題.如圖所示的四棱錐P—

ABCD

中，PA

丄

平面ABCD

，BC

//AD，AB丄AD

．

若

在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面●OE問題：（2025全國一卷，19）（I）求函數(shù)f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在區(qū)間

的最大值；(Ⅱ)

給定θ

∈

(0,π)

和a∈R

，證明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅲ)設(shè)b∈R

，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)

b

對(duì)x∈R恒成立，求b

的最

小值．

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索

.：因（I為）

,

f—

5(

i

n

2x

，的最大值；

由

得

因此sin

2x>

0

，從而

時(shí)

函數(shù)f單調(diào)遞增；

時(shí)

函數(shù)f

單調(diào)遞減.

理算推運(yùn)輯學(xué)邏數(shù)si間3x區(qū)cos在0x155sin

5xos

x

—

cn

x)

=sx(x函f求方法第19

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索

第19題.

（I）求函數(shù)f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在區(qū)間

的最大值；

方法二：（I）因?yàn)閏os

5x=

cos(x+

4x)=

cos

xcos

4x—sin

xsin

4x

=cos

x(8cos4

x

—8cos2

x

+1)—

4

cos

x

cos

2x

sin2

x=8cos5

x

—8cos3

x

+

cos

x

—

4

cos

x

(2

cos2

x

—1)(1—

cos2

x

)

=16

cos5

x—

20

cos3

x+

5cos

x，

所以f

(x)

=5cos

x

—

(16

cos5

x

—

20

cos3

x+

5cos

x)

=20

cos3

x

—16

cos5

x=

4

cos3

x

(5

—

4

cos2

x)

≥

0

，從而

f

(x)=16

cos6

x

(5

—

4

cos2

x)

=

.

cos2

x

.

cos2

x

.

cos2

x.

(5

—

4

cos2

x

).

(5

—

4

cos2

x

)≤

.

,)

=

27.522理算推運(yùn)輯學(xué)邏數(shù)當(dāng)

時(shí)

由cos

x

是

上的上凸函數(shù)可知

問題：（2018全國I卷，理16）函數(shù)f

(x)

=

sin

2x

+

2sin

x

的最小值為

.

簡(jiǎn)解：當(dāng)x∈

[0,π]

時(shí)，函數(shù)y=

sinx

是上凸函數(shù)，所以f

(x)

=

2sinx

+

sin2x

（I）求函數(shù)f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在區(qū)間

的最大值；

當(dāng)

時(shí)，

cos

5x

≥

0

，故5cos

x—

cos

5x≤5cos

x≤5<3．?dāng)?shù)學(xué)構(gòu)造理算推運(yùn)輯學(xué)邏數(shù)

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索第19題.方法三：下面按閉區(qū)間[a

—θ,

a

+θ]是否包含π

進(jìn)行討論，討論的臨界點(diǎn)為a=

π

—θ

與a=

π

+θ

.若π

—θ

≤

a≤

π

+θ

,則π

∈

[a

—θ,

a

+θ]，取y=

π

,則cosy

=

—1cosθ,

命題成立；

若0≤a<

π

—θ

,則θ

a

+θ

<

π

,

此時(shí)y=

cos

x

在區(qū)間[θ,

π

)

單調(diào)遞減，取y=

a

+θ

,則cosy

cosθ,

命題成立；若π

+θ

<a<2π

,則π

<a—θ

<2π

—θ

,

此時(shí)y=

cos

x在區(qū)間(π,2π

—θ)

單調(diào)遞增，取y=

a

—θ

,則cosy

=

cos

(a

—θ)

cos

(2π

—θ)

=

cosθ

,

命題成立．第19題.(Ⅱ)

給定θ

∈

(0,π)

和a∈R，證明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅱ)

由題意，問題等價(jià)于y∈

[a—θ,

a+θ]時(shí)，

(cosy)min

cosθ.

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索因?yàn)閥=

cos

x的最小正周期為2π

,

所以不妨設(shè)0≤a<

2π.數(shù)學(xué)概念

轉(zhuǎn)化化歸π

a

—θ

π

a

+θπ

x(Ⅱ)

給定θ

∈

(0,π)

和a∈R

，證明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅲ)設(shè)b∈R

，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)

b

對(duì)x∈R恒成立，求b

的最小值．(Ⅲ)

分析：令h

(x)

=

5cos

x—

cos

(5x+φ)．由5cos

x—

cos

(5x+φ)b

對(duì)x∈R恒成立，

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索第19題.（I）求函數(shù)f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在區(qū)間

的最大值；若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)b

對(duì)x∈R

恒成立，則

m

(φ)

≤

b

.h

(x)

=

m

(φ)

，

問題的本質(zhì)：

h

(x)}

≤

b

.轉(zhuǎn)化化歸

邏輯推理得

h

(x)

max

≤

b

．而(Ⅲ)設(shè)b∈R

，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x+φ)b

對(duì)x∈R恒成立，求b

的最小值．方法一：設(shè)g

(x)

=

5cos

x

—

cos

(5x

+φ)，由題意知

x∈R，存在φ

∈R

，不等式均成立，即

根據(jù)余弦函數(shù)的周期性，不妨設(shè)0≤

x<2π

,

0

≤

φ

<

2π.所以

則6x

+φ

=

π

+

2kπ

或4x

+φ

=

2kπ

（

k∈Z）時(shí)，

g

(x)

可能取得最大值.當(dāng)6x

+φ

=

π

+

2kπ

,則g

(x)

=5cos

x

—

cos

(5x

+φ)

=5cos

x

—

cos

(—x+π

+

2kπ)

=6

cos

x

；當(dāng)4x+φ

=2kπ

,則g

(x)

=5cos

x—

cos

(5x+φ)

=5cos

x

—

cos

(x

+

2kπ)

=

4

cos

x≤4.

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索(Ⅲ)設(shè)b∈

R

，若存在φ

∈

R

使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)b

對(duì)x∈

R恒成立，求b

的最小值．當(dāng)6x+φ

=

π

+

2kπ

,則g

(x)

=5cos

x—

cos

(5x+φ)

=5cos

x—

cos

(—x+

π

+

2kπ)

=6

cos

x

；當(dāng)4x+φ

=2kπ

,則g

(x)

=5cos

x—

cos

(5x+φ)

=5cos

x

—

cos

(x

+

2kπ)

=

4

cos

x≤4.

令

若φ

∈

[0,

2π)

，則

因此

即

所以b

的最小值為3.

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索(Ⅲ)設(shè)b∈

R

，若存在φ

∈

R使得5cos

x

-

cos

(5x+φ)b

對(duì)x∈

R恒成立，求b

的最小值．方法二：令gφ

(x)

=5cos

x

-

cos

(5x

+φ)

，若φ

=0

，則g0

(x)

=5cos

x

-

cos

5x=f

(x)

，由題意

由周期性與奇偶性，只需計(jì)算x∈

[0,π]

，g0

(x)

的最值）若φ

≠

0

，令

由

知彐

使得

.令

則

因?yàn)?/p>

綜上，

所以

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索(Ⅲ)設(shè)b∈

R

，若存在φ

∈

R使得5cos

x

-

cos

(5x+φ)b

對(duì)x∈

R恒成立，求b

的最小值．方法三：令gφ

(x)

=5cos

x

-

cos

(5x

+φ)

，若φ

=0

，則g0

(x)

=5cos

x

-

cos

5x=f

(x)

，由題意

由周期性與奇偶性，只需計(jì)算x∈

[0,π]

，g0

(x)

的最值）若φ

≠

0

，當(dāng)

時(shí)

綜上，

所以b

≥

3

.

高考改革的時(shí)間脈絡(luò)與主題線索gφ

(x)

≥gφ

(x)

≥(π)gφ

|

因?yàn)閙axx∈Rπ

-φ)

且maxx∈R5

,

.(gφ

|(

6

,(“一核”“四層”“四翼”為什么考？

立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)；考什么？

必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值；怎么考？

基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性。

中國高考評(píng)價(jià)體系高考評(píng)價(jià)體系的創(chuàng)新主要體現(xiàn)在三個(gè)方面。一是在教育功能上，實(shí)現(xiàn)了高考由單純的考試評(píng)價(jià)向立德樹人重要載

體和素質(zhì)教育關(guān)鍵環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)變。二是在評(píng)價(jià)理念上，實(shí)現(xiàn)了高考由傳統(tǒng)的“知識(shí)立意”“能力立意”

評(píng)價(jià)向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”綜合評(píng)價(jià)的轉(zhuǎn)變。三是在評(píng)價(jià)模式上，實(shí)現(xiàn)了高考從主要基于“考查內(nèi)容”的一維評(píng)價(jià)

模式向“考查內(nèi)容、考查要求、考查載體”三位一體評(píng)價(jià)模式的轉(zhuǎn)變。---人民日?qǐng)?bào)

中國高考評(píng)價(jià)體系必備

知識(shí)關(guān)鍵

能力學(xué)科

素養(yǎng)核心

價(jià)值

中國高考評(píng)價(jià)體系

---之“關(guān)鍵能力”立足本質(zhì)領(lǐng)悟依托知識(shí)學(xué)習(xí)基于課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)標(biāo)思維發(fā)展《中國高考評(píng)價(jià)體系》指出：“關(guān)鍵能力是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對(duì)與學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí)，高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問題、分析

問題、解決問題所必須具備的能力.”具體的講，關(guān)鍵能力是指學(xué)生對(duì)信息識(shí)別與加工、邏輯推理與論證、科學(xué)

探究與思維建模、語言組織與表達(dá)、獨(dú)立思考與質(zhì)疑（提出問題、開放作答、

合理論證）、批判性思維等.關(guān)鍵能力具有開放、發(fā)展的特點(diǎn)

，它不是一成不變的，它是隨著具體問題與情境的變化而變化，有時(shí)候也隨著思考問題的方式的變化而變化。

中國高考評(píng)價(jià)體系

---之“關(guān)鍵能力”關(guān)鍵能力：是不是就是解決數(shù)學(xué)問題的能力？詞典：用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題過程中能發(fā)揮關(guān)鍵作用的能力。我的理解：“關(guān)鍵能力”首先必須是能力，同時(shí)必須是“關(guān)鍵的

”，更必須是“少而能的”：“有它就行，沒它就不行”。Ai智能回答：高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力主要包括邏輯思維能力、空間想象能力、計(jì)算能力、應(yīng)用能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力。

中國高考評(píng)價(jià)體系

---之“關(guān)鍵能力”對(duì)數(shù)學(xué)核心知識(shí)的理解與解決是發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的載體概念層面：對(duì)數(shù)學(xué)概念的深入理解，不僅知其然，更要知其所以然；運(yùn)算層面：熟練掌握各種數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧，形成符合問題特征的計(jì)算能力；方法層面：掌握解決各種問題的通性通法和策略；思維層面：培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維方式，形成數(shù)學(xué)的直覺和洞察力。思維考查應(yīng)對(duì)人工智能：人工智能時(shí)代已經(jīng)來臨，我們身在其中。人工智能技術(shù)正在以強(qiáng)大的創(chuàng)新性改變著我們的世界，學(xué)生在生活與學(xué)習(xí)中如何應(yīng)對(duì)人工智能技術(shù)帶來的挑戰(zhàn)。高考未雨綢繆，

加強(qiáng)對(duì)邏輯思維能力、批判性思維能力和創(chuàng)新思維能力的考查力度，引導(dǎo)學(xué)生注重思維品質(zhì)的提升

和語言表達(dá)的準(zhǔn)確。

中國高考評(píng)價(jià)體系

---之“關(guān)鍵能力”

深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)

以解析幾何為例一、重點(diǎn)內(nèi)容直線與圓二、課程目標(biāo)幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。三、內(nèi)容概要2

個(gè)重要概念:傾斜角，斜率；

3

種位置關(guān)系:

點(diǎn)與圓，直線與圓，圓與圓；3

種重要方程:直線的方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

5

個(gè)常用公式:斜率公式，兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)線距公式,

，

圓的一般方程；

線線距公式，

圓的弦長(zhǎng)公式；3

種直線位置判定:平行，垂直，相交；

1

種重要方法:坐標(biāo)法。

深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)

以解析幾何為例一、重點(diǎn)內(nèi)容圓錐曲線二、課程目標(biāo)在直線與圓的基礎(chǔ)上，了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系，掌握?qǐng)A錐曲線的基本幾何性質(zhì)，感

受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。三、內(nèi)容概要3個(gè)重要概念：橢圓，雙曲線，拋物線；

5條重要性質(zhì):范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，漸近線，離心率；8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2個(gè)），

2種重要方法：坐標(biāo)法，待定系數(shù)法。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（2個(gè)），拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（4個(gè)）；學(xué)習(xí)建議1.畫“思維導(dǎo)圖”，找轉(zhuǎn)化關(guān)系，構(gòu)建條件與結(jié)論的關(guān)系；2.重視數(shù)學(xué)運(yùn)算；3.分析幾何條件的本質(zhì)特性，選擇適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式來表示，通常和斜率、點(diǎn)的

坐標(biāo)等基本量有關(guān)，尋找解題思路；4.注意“一般問題特殊化”，重視幾何性質(zhì)的運(yùn)用

．深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)以解析幾何為例2024

年2023

年2022

年2021

年2020

年2019

年2018

年2017

年全國

1

卷（甲）極點(diǎn)極線結(jié)

構(gòu)面積的最值拋物線平均

幾何性質(zhì)，極

點(diǎn)極線彭賽列定理

與雙切線處

理極點(diǎn)極線結(jié)

構(gòu)拋物線的焦

半徑橢圓的極點(diǎn)

極線結(jié)構(gòu)斜率乘積為

定值過定點(diǎn)全國

2

卷（乙）極點(diǎn)極線極限觀點(diǎn)，極

點(diǎn)、極線概念拋物線阿基

米德三角形基礎(chǔ)定義橢圓第三定

義拋物線的焦

點(diǎn)弦定點(diǎn)問題全國

3

卷（丙）解析幾何中

的全等型拋物線阿基

米德三角形橢圓的焦半

徑拋物線的焦

點(diǎn)弦2025

年新課標(biāo)Ⅰ卷面積計(jì)算線段長(zhǎng)度之和的最值斜率之和為

0，直線斜率

為定值平面幾何四

點(diǎn)共圓斜率乘積為

定值過定點(diǎn)長(zhǎng)度乘積，動(dòng)

點(diǎn)軌跡，距離

最大新課標(biāo)Ⅱ

卷平面幾何四

點(diǎn)共圓定值問題垂徑定理，曲

線系方程橢圓焦點(diǎn)弦

半徑仿射變換由三角形面

積求弦長(zhǎng)深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)九年全國卷圓錐曲線解答題考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)與研究數(shù)學(xué)運(yùn)算算理的選擇問題：（2025全國一卷，18）設(shè)橢圓

記A為橢圓下端點(diǎn)，B為右端點(diǎn)

且橢圓C

的離心率為

．（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P不在y軸上，R在射線AP

上，且滿足

|

AR

|

.

|

AP|=

3

．（i）設(shè)P(m,

n)

，求

R

的坐標(biāo)（用m,

n

表示）；（ii）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是C上的動(dòng)點(diǎn)，直線OR

的斜率為直線OP

的斜率的

3倍，

求|

PQ|的最大值．深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)右端點(diǎn)．

(Ⅱ)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P不在y軸上，

R在射線AP

上，且滿足|AR

|.

|AP|=

3．（i）設(shè)P(m,

n)

，求

R

的坐標(biāo)（用m,

n

表示）；簡(jiǎn)解：（i）設(shè)R(x0,

y0

)，

AR

=

tAP

，t>0

；由

得

又

，

數(shù)學(xué)運(yùn)算算理的選擇問題：（2025全國一卷，18）設(shè)橢圓C，記

A為橢圓下端點(diǎn)，

B為深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)（ii）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是C

上的動(dòng)點(diǎn)，直線OR

的斜率為直線OP

的斜率的3倍，求|

PQ

|的最大值．簡(jiǎn)解

因?yàn)閗OR

=

3kOP

，所以

解得m2

+

2

=

18.數(shù)學(xué)運(yùn)算算理的選擇問題：（2025全國一卷，18）設(shè)橢圓C，記

A為橢圓下端點(diǎn)，

B為右端點(diǎn)．

(Ⅱ)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P不在y軸上，

R在射線AP

上，且滿足|AR

|.

|AP|=

3．深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)問題幾何背景的挖掘1.焦半徑公式；2.焦點(diǎn)弦的兩大模型；3.垂徑定理；4.橢圓拋物線的切線方程

與切點(diǎn)弦方程；5.弦長(zhǎng)（線段）與面積的計(jì)算；6.向量方法；7.斜率乘積為常數(shù)的

定點(diǎn)定值問題；8.

圓錐曲線上的四點(diǎn)共圓問題（斜率之和為0）；9.拋物線的幾何平

均性質(zhì)；10.直線的參數(shù)方程；11.齊次化方法；12.阿基米德三角形；13.仿射變換；14.極點(diǎn)與極線等.深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)問題：（2024，全國新高考Ⅱ卷，19）已知雙曲線C:

x2

y2

=m（m>0

），點(diǎn)P1

(5,

4)

在

C上，

k為常數(shù)，0<k<1．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)

（n=

2,3,...），過

1作斜率為k

的直線與C

的左支交于點(diǎn)Qn

1

，令

為Qn

1

關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記

的坐標(biāo)為(xn,

yn

)

.（1）若

，求x2,

y2

；（2）證明：數(shù)列{xn

yn

}

是公比為

的等比數(shù)列；（3）設(shè)Sn

為Δ+1

+2

的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n

，

Sn

=

Sn+1.nPnPnPnPnPnPnP深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)Pn

1PnPn+1Pn+2Qn

1●問題：（2024，全國新高考Ⅱ卷，19）雙曲線C:

x2

-

y2

=9，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)

（n=

2,3,...），過

-1

作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn-1

，令

為Qn-1

關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記

的坐標(biāo)為(xn,

yn

)

.設(shè)Sn

為Δ+1

+2

的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n

，nPnPnPnPnPnPnP分析：要證明Sn-1

=

SΔPn-1Pn

Pn+1

=

SΔPn

Pn+1Pn+2

=

Sn

.只需要證明

+1

//

-1

+2

.nPnPnPnP深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)Pn-1●PnPn+1Pn+2Sn

=

Sn+1.QnQn+1Qn-1由

得

由kPn—1Qn—1

=

kPnQn

=

kPn+1Qn+1

得kPn—1Qn—1

=

—kPn+2Qn

，因此

—1,

Qn—1,

Qn

,

+2

四點(diǎn)共圓，所以kQn—1Qn

=

—kPn—1Pn+2

.由Qn—1

(—xn,

yn

)

，有

因此，

kQn—1Qn

=

—kPn

Pn+1

.所以kPn

Pn+1

=

kPn—1Pn+2

，從而

+1

//

—1

+2

，

故Sn—

1

=

SΔPn—1Pn

Pn+1

=

SΔPn

Pn+1Pn+2

=

Sn

.nPnPnPnPnPnP問題：（2024，全國新高考Ⅱ卷，19）設(shè)Sn

為

+1

+2

的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n

，Sn

=Sn+1

.

設(shè)

(xn,

yn

)

，

Qn

(an,

bn

)，則

+1

(—an,

bn

)

，Qn+1

(an+1,

bn+1)

，

+2

(—an+1,

bn+1)nPnPnPnPnPnPPPn+1深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)Qn—1

●Qn

●Qn+1n—1●Pnn+2P●問題：（2024，全國新高考Ⅱ卷，19）已知雙曲線C:

x2

y2

=m（m>0

），點(diǎn)P1

(5,

4)

在

C上，

k為常數(shù)，0<k<1．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)

（n=

2,3,...），過

1作斜率為k

的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn

1

，令

為Qn

1

關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記

的坐標(biāo)為(xn,

yn

)

.（1）若

，求x2,

y2

；（2）證明：數(shù)列{xn

yn

}

是公比為

的等比數(shù)列；（3）設(shè)Sn

為

+1

+2

的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n

，

Sn

=Sn+1.

還有，kQn

1Qn

=

kPn

Pn+1

.

nPnPnPnPnPnPnPPn+1kPn

Pn+1

=

kPn

1Pn+2

.本質(zhì)分析：kPn

1Qn

1

=

kPn+2Qn

，

1,

Qn

1,

Qn

,

+2

四點(diǎn)共圓，所以kQn

1Qn

=

kPn

1Pn+2

.nPnP深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)Qn

1

●Qn+1Qn

●Pnn+2n

1PP●●2002年廣東、河南、廣西卷的第20題2005年湖北卷（理）第21題

2011年大綱卷（理）第21題2014年大綱卷（理）第21題

2016年四川卷（文）第20題問題：（2014

，全國大綱卷，理科第

21）已知拋物線

C：y2

=2px(p>0)的焦點(diǎn)為

F，直線y=4

與y軸的交點(diǎn)為

P，與

C

的交點(diǎn)為

Q，且|QF||

PQ

|．(Ⅰ)

求

C的方程；(Ⅱ)

過

F

的直線

l與

C相交于

A、B兩點(diǎn)，若

AB

的垂直平分線l'

與

C交

于

M、N

兩點(diǎn)，且

A

、M、B

、N四點(diǎn)在同一圓上，求

l

的方程．深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)這樣的題目你見過嗎？圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件拓展

1.設(shè)兩條直線li

:

y—

y0

=ki

(x

—

x0

)（i=1,

2

）與二次曲線

Γ:

Ax2

+

By2

+

Cx

+

Dy+

E=0（A≠B

）有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是k1

+

k2

=0

.拓展

2.若兩條直線li

:

Aix

+

Bi

y+

Ci

=0

（

i=1,

2）與二次曲線

Γ:

ax2

+

by2

+

cx

+

dy+

e=0（a≠b）有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是A1B2

+

A2B1

=0.拓展

3.若C1

:

ax2

+

by2

+

cx

+

dy+

e=0（a≠b）與C2

:

a,x2

+

b

2

+

c,x

+

dy,

+

e,

=0為兩條二次曲線，它們有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓.深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)拓展

3.若C1

:

ax2

+

by2

+

cx

+

dy+

e=0（a≠b）與C2

:

a,x2

+

b

2

+

c,x

+

dy,

+

e,

=0為兩條二次曲線，它們有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓.證明：過這四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線一定能表示成以下形式

(

λ,

u不同時(shí)為0）：λ(ax2

+

by2

+

cx+

dy

+

e)+

μ(a,x2

+

b

2

+

c,x

+

dy,

+

e,)=0

①令

μ=1時(shí)，再令式①左邊的展開式中含x2

,

y

2

項(xiàng)的系數(shù)相等，得

此時(shí)曲線①即x2

+

y2

+

c,,x

+

d

,y,+

e,,

=0②的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個(gè)圓、一個(gè)點(diǎn)、無軌跡.而題中的四個(gè)交點(diǎn)都在曲線②上，所以曲線②表示圓.這就證得了四個(gè)交點(diǎn)共圓.深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之整體設(shè)計(jì)問題（2025全國一卷，14）一個(gè)箱子里有5個(gè)球，分別以1

~5

標(biāo)號(hào)，若有放回取三次，記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)X

，則E(X

)

=

．方法一：

由題意每個(gè)球每次被取出的概率均為

，取到球的情況有三種，一是三個(gè)球都是同一個(gè)編號(hào)，二是僅有兩個(gè)球的編號(hào)相同，三是三個(gè)球的編號(hào)均不相同，

分別對(duì)應(yīng)X的三個(gè)可能取值為

1

，2

，3，

深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系X

=

X1

+

X2

+

X3

+

X4

+

X5

，從而E(X)=

E

(X1

)+

E(X2

)

+

+

E(X5

)

，因?yàn)槊總€(gè)球被抽中的概率是一樣的，所以E(Xi

)

=

E

(Xj

)（i

≠

j

，i,

j

=

1,

2,3,

4,5），每次抽球有

的概率抽到一個(gè)球，所以一次不

抽中它的概率為

，三次都沒抽中它的概率是：

P

(球i從未被抽中

因此P

(球i至少被抽中一次

從而

所以

問題（2025全國一卷，14）一個(gè)箱子里有5個(gè)球，分別以1

~5

標(biāo)號(hào)，若有放回取三次，記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)X

，則E(X

)

=

．方法二：對(duì)每個(gè)球i

=

1,

2,3,

4,5

，定義隨機(jī)變量：

深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系若球i至少被抽中一次球i不滿足至少被抽中一次,

那么問題（2025全國一卷，14）一個(gè)箱子里有5個(gè)球，分別以1

~5

標(biāo)號(hào)，若有放回取三次，記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)X

，則E(X

)

=

．示性函數(shù)：設(shè)S為某個(gè)集合，A

S

是它的一個(gè)子集，對(duì)s∈

S

，令

那么IA

(s)

就從數(shù)值上告訴我們，元素s是否屬于子集A，

故將之稱為子集A的示性函數(shù)．

在概率問題中，S就是全事件（通常把全事件寫作

Ω),而

A則是我們所關(guān)心的隨機(jī)事件．

在這里，IA

是一個(gè)只取

0或

1兩個(gè)值的隨機(jī)變量．并且當(dāng)IA

=

1

時(shí)表示事件A發(fā)生；而當(dāng)IA

=

0時(shí)表示事件A不發(fā)生．易知EIA

=

P

(A)

．示性函數(shù)在概率論中運(yùn)用得很多，最重要的一種運(yùn)用就是幫助我們計(jì)算隨機(jī)變量的期望．深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系問題：（2025全國高考一卷，19）（I）求函數(shù)f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在區(qū)間

的最大值；(Ⅱ)

給定θ

∈

(0,π)

和a∈R

，證明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅲ)設(shè)b∈R，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)b

對(duì)x∈R恒成立，求b

的最小值．

問題：（2007浙江卷，理

22）設(shè)

對(duì)任意實(shí)數(shù)

．(Ⅰ)

求函數(shù)y=

f

(x)—

g8

(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)

求證:（i）①當(dāng)x>

0時(shí)，f

(x)ga

(x)對(duì)任意

正實(shí)數(shù)a成立；（ii）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x0

，使得g8

(x0

)

ga

(x0

)對(duì)任意正實(shí)數(shù)a成立．深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系問題：（2025全國高考一卷，19）（I）求函數(shù)f

(x)

=

5cos

x

—

cos

5x

在區(qū)間

的最大值；(Ⅱ)

給定θ

∈

(0,π)

和a∈R

，證明：存在y∈

[a

—θ,

a

+θ]

，使得cosy

cosθ;(Ⅲ)設(shè)b∈R，若存在φ

∈R使得5cos

x

—

cos

(5x

+φ)b

對(duì)x∈R恒成立，求b

的最小值．問題：（2015年

1

月浙江學(xué)考卷，34）設(shè)函數(shù)f

(x)

=

x

—

ax

—b

，a,

b

∈R.（I）當(dāng)

a=0，b=

1時(shí)，寫出函數(shù)f

(x)

的單調(diào)區(qū)間；（II）當(dāng)

時(shí)，記函數(shù)f

(x)

在[0,

4]

上的最大值為

g

(b)，在

b變化時(shí)，求

g

(b)的最小值；（III）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,

b

，總存在實(shí)數(shù)

x0

∈

[0,

4]使得不等式f

(x0

)

≥m

成立，求實(shí)數(shù)m

的取值范圍.深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)系統(tǒng)而深入的過程，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間并非孤立存在，而是相互關(guān)聯(lián)、相

輔相成的。一、基礎(chǔ)知識(shí)與初步技能（一）集合與邏輯1.

集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)語言，有助于理解函數(shù)定義域、值域以及關(guān)系映射。2.

邏輯推理能力是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。（二）代數(shù)基礎(chǔ)（包括方程與不等式）1.方程（一元一次、二次方程及方程組）是理解函數(shù)和解析幾何的基礎(chǔ)。2.不等式（一元一次、二次不等式）在解決實(shí)際問題中廣泛應(yīng)用，且與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)。（三）數(shù)列1.數(shù)列是離散數(shù)學(xué)的重要部分，其通項(xiàng)公式與求和公式與函數(shù)、極限等概念緊密相連。2.等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)為后續(xù)的微積分學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系二、核心知識(shí)與深化應(yīng)用（一）函數(shù)1.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。2.一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用構(gòu)成

了函數(shù)學(xué)習(xí)的主體。3.函數(shù)的圖像變換、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)等概念進(jìn)一步豐富了函數(shù)理論。（二）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念，用于研究函數(shù)的局部性質(zhì)和變化率。2.通過求導(dǎo)可以解決極值問題、曲線的切線斜率等問題。3.定積分作為導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，在面積計(jì)算、物理問題解決等方面有重要應(yīng)用。深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系二、核心知識(shí)與深化應(yīng)用（三）向量與立體幾何1.向量具有方向和大小，是解決空間問題的有力工具。2.向量的數(shù)量積、點(diǎn)積、叉積等概念在解決角度、距離、平行與垂直等問題時(shí)非常有用。3.立體幾何中的線面關(guān)系、體積計(jì)算等都與向量密切相關(guān)。（四）概率統(tǒng)計(jì)1.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，與日常生活緊密相連。2.統(tǒng)計(jì)方法用于收集和分析數(shù)據(jù)，做出合理推斷。3.隨機(jī)變量及其分布、期望與方差等概念在金融風(fēng)險(xiǎn)分析等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。（五）解析幾何1.解析幾何將幾何圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行研究。2.直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)為解決幾何問題提供了方便。3.參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程拓展了平面和空間圖形的表示方式。深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系三、拓展與深化領(lǐng)域（一）復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)集的擴(kuò)展，解決了某些方程的根不在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的問題。2.復(fù)數(shù)的模、輻角等概念與三角函數(shù)有密切聯(lián)系。（二）數(shù)論1.質(zhì)數(shù)與算術(shù)基本定理。2.同余的概念。3.研究方程的整數(shù)解的丟番圖方程，如費(fèi)爾馬大定理。（三）組合數(shù)學(xué)1.組合數(shù)學(xué)研究排列、組合、圖論等離散結(jié)構(gòu)問題。2.在計(jì)算機(jī)科學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系四、知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與應(yīng)用（一）跨章節(jié)聯(lián)系例如，通過導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值；利用向量可以解決立體幾

何中的角度和距離問題；概率統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)變量與函數(shù)的概念緊密相關(guān)。（二）實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。例如，導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問

題中的應(yīng)用、概率統(tǒng)計(jì)在金融風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中的作用等。綜上所述，高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)之間形成了緊密的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在教學(xué)過程中，應(yīng)注

重知識(shí)的整合與應(yīng)用能力的培養(yǎng)，以便讓學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)體系。深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之橫向聯(lián)系深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究教什么？

怎么教？

練什么？如何練？問題

1.（1993年全國卷，文理

17）將數(shù)字

1

，2

，3

，4填入標(biāo)號(hào)為

1

，2

，3

，4

的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法

有（

B

）深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究123421431234431212342413123431421234412312343421123434121234234112344321A

．6種

B

．9

種D

．

23

種C

．11

種方法一：比如填入

1，則

3

，4

號(hào)方格只能分別填

4

，3，各有

1

種填法，

因此，總共也有

3種填法；由分類加法計(jì)數(shù)原理，每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法共有3＋3＋3=9種填法．A

．6種

B

．9

種

C

．11

種方法二：編號(hào)為

1

的方格只能填入2,3,

4三個(gè)數(shù)；比如填入2

，則

2

號(hào)方格可以填1,3,

4

三個(gè)數(shù)，問題

1.將數(shù)字

1

，2

，3

，4

填入標(biāo)號(hào)為

1

，2

，3

，4

的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有(

)深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究D

．

23

種1

2

3

42

1

4

3三類問題

1.將數(shù)字

1

，2

，3

，4

填入標(biāo)號(hào)為

1

，2

，3

，4

的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有(

)A

．6種

B

．9種

C

．11

種

D

．

23

種方法三：編號(hào)為

1

的方格只能填入2,3,

4三個(gè)數(shù)，有

3種填入方法；比如填入2

，則

2

號(hào)方格可以填1,3,

4

三個(gè)數(shù)，也有

3種填法；

比如填入

1，則

3

，4號(hào)方格只能分別填

4

，3，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法共有3×3×1×1

=

9

種．深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究12342143各有

1種填法，問題

1.將數(shù)字

1

，2

，3

，4

填入標(biāo)號(hào)為

1

，2

，3

，4

的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有(

)A

．6種

B

．9種

C

．11

種

D

．

23

種方法四：數(shù)字

1

，2

，3

，4填入標(biāo)號(hào)為

1

，2

，3

，4

的四個(gè)方格里共有A

=24種44填入方法；4個(gè)數(shù)字與方格的標(biāo)號(hào)有一個(gè)一樣的有C.

2=8

種；4個(gè)數(shù)字與方格的標(biāo)號(hào)有

2個(gè)一樣的有C

.1

=6種；4個(gè)數(shù)字與方格的標(biāo)號(hào)有

3個(gè)一樣的也就是

4個(gè)數(shù)字與方格的標(biāo)號(hào)全部一樣，有

1種；4241深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究因此，每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有24

—1—

8

—

6=9種.123414231234121234124312341231234134212341用

Ai

表示集合Ai

的元素個(gè)數(shù).1.2個(gè)集合的容斥原理

A

B

=

A

+

B

—

A

B

；2.3個(gè)集合的容斥原理ABC

=A

+B

+C—AB—AC—B

C+ABC

．3.4個(gè)集合的容斥原理A1

A2

A3

A4

=

A1

+

A2

+

A3

+

A4

—

A1

A2

—

A1

A3

—

A1

A4

—

A2

A3

—

A2

A4

—

A3

A4

+

A1

A2

A3

+

A1

A2

A4

+

A1

A3

A4

+

A2

A3

A4

—

A1

A2

A4

2B

63C深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究1

3

2A

B1

A475問題

1.將數(shù)字

1

，2

，3

，4

填入標(biāo)號(hào)為

1

，2

，3

，4

的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有(

)A

．6種

B

．9種

C

．11

種

D

．

23

種方法五：記Ai

表示數(shù)

i填入第

i個(gè)方格的全體排列（i=1

，2

，3

，4），用

Ai

表示Ai

的排列的個(gè)數(shù).

則

Ai

=A

（

i=1,

2,3,

4

），Ai

Aj

=

A

（1

≤

i

<

j

≤

4

），

Ai

Aj

Ak

=A（1

≤i<j<k≤4

），

…

,

A1

A2

A3

A4

=

1

.

=C.

A

—

C

.

A

+

C

.

A—

C

.數(shù)字

1

，2

，3

，4填入標(biāo)號(hào)為

1

，2

，3

，4

的四個(gè)方格里共有A

=24種填入方法；所以滿足條件的填法總數(shù)為

A—

(C.

A

—

C.

A+C.

A—

C

)

=9

種.44114322423341444444114322423341112233深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究用

Ai

表示集合Ai

的元素個(gè)數(shù).1.2個(gè)集合的容斥原理

A

B

=

A

+

B

一

A

B

；2.3個(gè)集合的容斥原理AB

C=A

+B

+C

一AB一AC一BC+ABC

．3.n個(gè)集合的容斥原理

4.摩根律

SA1

SA2

SAn

=

S

(A1

A2

A)=

I

一

A1

A2

An

.深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究

An

.方法六：設(shè)n個(gè)元素的錯(cuò)位排列數(shù)為an

，

則a1

=0

，a2

=1，a3

=2

，編號(hào)為

1

的方格可以填入2,3,

4三個(gè)數(shù)，有

3種不同的方法，比如填了2，若

2

號(hào)方格填了

1，則剩下的

2個(gè)數(shù)字的錯(cuò)位排列數(shù)為a2

；問題

1.將數(shù)字

1

，2

，3

，4

填入標(biāo)號(hào)為

1

，2

，3

，4

的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有(

)A

．6種

B

．9種

C

．11

種

D

．

23

種若

2

號(hào)方格不填

1，則剩下的

3個(gè)數(shù)字的錯(cuò)位排列數(shù)為a3

，所以a4

=3(a2

+

a3

)

=9

，因此，每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有9

種.深度學(xué)習(xí)，本質(zhì)探究

---

“關(guān)鍵能力”之縱向探究1234212342112342拓展：將數(shù)字

1

，2

，3

，4

，5

填入標(biāo)號(hào)為

1

，2

，3

，4

，5

的四個(gè)方