課下鞏固精練卷(八十八)概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的交匯問題1．(2024·湖南衡陽(yáng)三模)現(xiàn)有A，B兩個(gè)不透明盒子，都裝有m個(gè)紅球和m個(gè)白球，這些球的大小、形狀、質(zhì)地完全相同．(1)若m＝3，甲、乙、丙依次從A盒中不放回的摸出一球，設(shè)X表示三人摸出的白球個(gè)數(shù)之和，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若m＝1，從A、B兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，n(n∈N*)次這樣的操作后，記A盒子中紅球的個(gè)數(shù)為Xn，求：(ⅰ)X2＝1的概率；(ⅱ)Xn的分布列．解：(1)法一：X的可能取值有0，1，2，3，則P(X＝0)＝C3P(X＝1)＝C3P(X＝2)＝C3P(X＝3)＝C3所以X的分布列為：X0123P1991數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×120法二：X的可能取值為0，1，2，3，則P(X＝0)＝36P(X＝1)＝36P(X＝2)＝36P(X＝3)＝36所以X的分布列為：X0123P1991數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×120(2)(ⅰ)P(X1＝2)＝12×12＝14，P(X1＝1)＝12×12+12×12＝12，P(X1＝0)＝12×12＝14所以P(X2＝1)＝P(X1＝2)P(X2＝1|X1＝2)＋P(X1＝1)P(X2＝1|X1＝1)＋P(X1＝0)P(X2＝1|X1＝0)＝14(ⅱ)設(shè)P(Xn＝2)＝pn，P(Xn＝1)＝qn，P(Xn＝0)＝rn，則p所以qn＝14qn?2所以q因?yàn)閝1＝12所以{qn＋1＋12qn}是以1為首項(xiàng)的常數(shù)列，{qn＋1－qn}是以14為首項(xiàng)，－所以q所以qn＝23[1?pn＝161??12n所以X的分布列為：X012P1212.(2024·河北衡水模擬)已知甲口袋有m(m≥1，m∈N*)個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙口袋有n(n≥1，n∈N*)個(gè)紅球和2個(gè)白球，小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球，然后再?gòu)囊铱诖蟹呕氐剡B續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球．(1)當(dāng)m＝4，n＝2時(shí)，(ⅰ)求小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球的概率；(ⅱ)設(shè)小明4次摸球中，摸出白球的個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)m＝n時(shí)，設(shè)小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為P，則當(dāng)m為何值時(shí)，P最大？解：(1)小明從甲口袋有放回地摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為24+2＝1從乙口袋有放回地摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為22+2＝1(ⅰ)設(shè)“小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球”為事件A，則“小明4次摸球中，摸出的都是紅球”為事件A，且P(A)＝(1－13)2×(1－12)2＝所以P(A)＝1－P(A)＝1－19＝8(ⅱ)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，由(ⅰ)，得P(X＝0)＝P(A)＝19P(X＝1)＝C21×(1－13)×13×(1－12)2＋(1－13)2×C2P(X＝2)＝(13)2×(1－12)2＋(1－13)2×(12)2＋C21×(1－13)×13×P(X＝3)＝(13)2×C21×(1－12)×12＋C21×(1－13)×P(X＝4)＝(13)2×(12)2＝所以E(X)＝0×19＋1×13＋2×1336＋3×16＋4×(2)由m＝n，可視為小明從甲口袋中有放回地摸出一個(gè)球，連續(xù)摸4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)小明每次摸出一個(gè)紅球的概率為k(0<k<1)，則P(k)＝C43k3(1－k)＝4(k3－k因?yàn)镻′(k)＝－16k2(k－34所以當(dāng)0<k<34時(shí)，P′(k)>0；當(dāng)34<k<1時(shí)，P′(所以P(k)在區(qū)間(0，34)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(3所以當(dāng)k＝34時(shí)，P(k此時(shí)k＝mm+2＝34，解得故當(dāng)m＝6時(shí)，P最大．3．(2024·廣東廣州三模)甲進(jìn)行摸球跳格游戲，圖上標(biāo)有第1格，第2格，…，第25格，棋子開始在第1格．盒中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球(5個(gè)球除顏色外其他都相同).每次甲在盒中隨機(jī)摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格時(shí)，游戲結(jié)束．記棋子跳到第n格的概率為Pn(n＝1，2，3，…，25).(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列和期望；(2)求{Pn}的通項(xiàng)公式．解：(1)根據(jù)題意可知，X的所有可能取值為0，1，2,則P(X＝0)＝C22C52＝110，P(X＝1)＝C21C31C5可得X的分布列如下：X012P133期望值為E(X)＝0×110(2)依題意，當(dāng)3≤n≤24時(shí)，棋子跳到第n格有兩種可能：第一種，棋子先跳到第n－2格，再摸出兩球顏色不同，第二種，棋子先跳到第n－1格，再摸出兩球顏色相同，又可知摸出兩球顏色不同，即跳兩格的概率為C31C因此可得Pn＝35Pn?2+25P所以Pn－Pn－1＝35Pn?2+25P因此可得Pn?Pn?1Pn?1?Pn?2即數(shù)列{Pn－Pn－1}(2≤n≤24)是首項(xiàng)為－35，公比為－3即Pn－Pn－1＝?35n-1(2≤n所以Pn＝(Pn－Pn－1)＋(Pn－1－Pn－2)＋…＋(P2－P1)＋P1＝?35n-1＋?35n-2＋＝?35由題意P25＝35P23＝3綜上，Pn＝54．(2024·鄭州調(diào)研)某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲，每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成一個(gè)小組．游戲規(guī)則如下：每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3的稱為“神投小組”，已知甲、乙兩名隊(duì)員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2.(1)若p1＝12(2)已知p1＋p2＝65①p1，p2取何值時(shí)能使得甲、乙兩名隊(duì)員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號(hào)的概率最大？并求出此時(shí)的最大概率；②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊(duì)員想要獲得297次“神投小組”的稱號(hào)，則他們平均要進(jìn)行多少輪游戲？解：(1)每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3的稱為“神投小組”，則可能的情況有①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中兩次，乙投中兩次．∵p1＝12∴他們?cè)诘谝惠営螒蛑蝎@得“神投小組”稱號(hào)的概率為C2(2)①由題意得他們?cè)谝惠営螒蛑蝎@得“神投小組”稱號(hào)的概率p＝C21·p11?p1p22+p12C21·p2(1－p2)＋p∵p1＋p2＝65，∴p＝12又