9．1隨機抽樣、統(tǒng)計圖表[課標(biāo)要求]1.了解獲取數(shù)據(jù)的基本途徑．2.會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機抽樣．3.能根據(jù)實際問題的特點選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表，體會使用統(tǒng)計圖表的重要性．【必備知識】1．統(tǒng)計的有關(guān)概念名稱定義全面調(diào)查(普查)對每一個調(diào)查對象都進行調(diào)查的方法總體在一個調(diào)查中，把調(diào)查對象的全體稱為總體個體組成總體的每一個調(diào)查對象抽樣調(diào)查根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查方法樣本從總體中抽取的那部分個體樣本量樣本中包含的個體數(shù)2.簡單隨機抽樣抽簽法和隨機數(shù)法是比較常用的兩種方法．3．分層隨機抽樣(1)分層隨機抽樣的概念將總體按其屬性特征分成互不交叉的若干類型（有時稱作層）,然后在每個類型中按照所占比例隨機抽取一定的個體，這種抽樣方法通常叫作分層隨機抽樣.(2)分層隨機抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘抽樣比．4．統(tǒng)計圖表(1)常見的統(tǒng)計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等．(2)作頻率分布直方圖的步驟①求極差；②決定組距與組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．【必記結(jié)論】1．利用按比例分配的分層隨機抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個體數(shù)不都是整數(shù)，可以進行一定的技術(shù)處理，比如將結(jié)果取成整數(shù)等．2．在按比例分配的分層隨機抽樣中，以層數(shù)是2層為例，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為x，y，樣本平均數(shù)為w，則3．頻率分布直方圖中小長方形高＝頻率組距【基點診斷】1．判斷下列說法正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次被抽到的可能性最大．()(2)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．()(3)在分層隨機抽樣的過程中，哪一層的樣本越多，該層中個體被抽到的可能性越大．()(4)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．為了了解某地參加計算機水平測試的5000名學(xué)生的成績，從中抽取了200名學(xué)生的成績進行調(diào)查分析，在這個問題中，被抽取的200名學(xué)生的成績是()A．總體B．個體C．樣本D．樣本容量解析：選C.總體：5000名學(xué)生的成績；個體：每個學(xué)生的成績；樣本：200名學(xué)生的成績；樣本容量：200.所以抽取的200名學(xué)生的成績是樣本．3．(多選)(人教A版必修二·P199例1改編)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)的值越小，表明空氣質(zhì)量越好．AQI指數(shù)不超過50，空氣質(zhì)量為“優(yōu)”；AQI指數(shù)大于50且不超過100，空氣質(zhì)量為“良”；AQI指數(shù)大于100，空氣質(zhì)量為“污染”．下圖是某市2024年空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的月折線圖．下列關(guān)于該市2024年空氣質(zhì)量的敘述中一定正確的是()某市2024年空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)月折線圖A．全年的平均AQI指數(shù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量等級為“優(yōu)”或“良”B．每月都至少有一天空氣質(zhì)量為“優(yōu)”C．2月，8月，9月和12月均出現(xiàn)污染天氣D．空氣質(zhì)量為“污染”的天數(shù)最多的月份是2月份解析：選ABC.每月的平均AQI指數(shù)都不超過100，故全年的平均AQI指數(shù)也不超過100，對應(yīng)的空氣質(zhì)量為“優(yōu)”或“良”，故選項A正確；每月的AQI指數(shù)的最小值均不超過50，故每月都至少有一天空氣質(zhì)量為“優(yōu)”，選項B正確；2月，8月，9月和12月的AQI指數(shù)的最大值均大于100，故至少有一天出現(xiàn)了污染天氣，故選項C正確；2月，8月，9月，12月中空氣質(zhì)量為“污染”的天數(shù)不確定，故選項D不一定正確．4．某田徑隊有男運動員56人，女運動員42人，從中用分層抽樣的方法抽取容量為28的樣本，則男運動員應(yīng)抽______人．解析：運動員一共有98人，設(shè)男運動員應(yīng)抽x人，所以x56＝28答案：165．從某小區(qū)隨機抽取100戶居民用戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在50～300kW·h之間，適當(dāng)分組(每組為左閉右開區(qū)間)后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)直方圖中x的值為________；(2)在被調(diào)查的用戶中月用電量落在區(qū)間[100，250)內(nèi)的戶數(shù)為________．解析：(1)根據(jù)頻率分布直方圖的面積和為1，得(0.0024＋0.0038＋0.0060＋x＋0.0032)×50＝1，解得x＝0.0046.(2)月用電量落在區(qū)間[100，250)內(nèi)的頻率為f＝(0.0038＋0.0060＋0.0046)×50＝0.72，所以在被調(diào)查的用戶中月用電量落在區(qū)間[100，250)內(nèi)的戶數(shù)為100×0.72＝72.答案：(1)0.0046(2)72題型一簡單隨機抽樣【例1】(1)某工廠利用隨機數(shù)法對生產(chǎn)的700個零件進行抽樣測試，先將700個零件進行編號，001，002，…，699，700.從中抽取70個樣本，下面提供了隨機數(shù)表的第5行到第6行數(shù)據(jù)，若從隨機數(shù)表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是()8442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．623B．328C．253D．007解析：選A.從第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，第一個數(shù)為253，第二個數(shù)是313，第三個數(shù)是457，下一個數(shù)是860，不符合要求，下一個數(shù)是736，不符合要求，下一個是253，重復(fù)，則第四個數(shù)是007，第五個數(shù)是328，第六個數(shù)是623.(2)某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出三種及以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三年級500名學(xué)生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有()A．69人B．84人C．108人D．115人解析：選D.在這100名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的有100－45－32＝23(人)，設(shè)該校三年級中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有x人，則100500＝23【對點練習(xí)】1.(1)(多選)下列抽樣方法不是簡單隨機抽樣的是()A．在機器傳送帶上抽取30件產(chǎn)品作為樣本B．從平面直角坐標(biāo)系中抽取5個點作為樣本C．箱子里共有100個零件，從中選取10個零件進行檢驗，在抽樣操作時，每次任意地拿出1個零件進行質(zhì)量檢驗，檢驗后不再把它放回箱子里，直到抽取10個零件為止D．某可樂公司從倉庫中的1000箱可樂中一次性抽取20箱進行質(zhì)量檢查解析：選AB.A不是，因為傳送帶上的產(chǎn)品數(shù)量不確定；B不是，因為個體的數(shù)量無限；C是，因為滿足簡單隨機抽樣的定義；D是，因為一次性抽取和逐個不放回地隨機抽取是等價的．(2)(2024·山東濰坊模擬)某高中學(xué)校共有學(xué)生3600人，為了解某次數(shù)學(xué)文化知識競賽的得分情況，采用分層抽樣的方法從這3600名學(xué)生中抽取一個容量為48的樣本，若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)組成一個以4為公差的等差數(shù)列，則該學(xué)校高三年級的學(xué)生人數(shù)為______．解析：設(shè)從高二抽取的人數(shù)為x，則高一抽取的人數(shù)為x－4，高三抽取的人數(shù)為x＋4，所以3x＝48，解得x＝16，所以高三年級抽取了20人，由分層抽樣的概念可知高三年級的學(xué)生人數(shù)為3600×2048答案：1500題型二頻率分布直方圖【例2】某市某月30天對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物)：61767056819192917581886710110395917786818382826479868575714945(1)完成頻率分布表；分組頻數(shù)頻率[41，51)[51，61)[61，71)[71，81)[81，91)[91，101)[101，111](2)作出頻率分布直方圖；(3)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時，空氣質(zhì)量為良；在101～150之間時，空氣質(zhì)量為輕度污染；在151～200之間時，空氣質(zhì)量為中度污染．請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價．解：(1)頻率分布表如表所示．分組頻數(shù)頻率[41，51)22[51，61)11[61，71)44[71，81)66[81，91)1010[91，101)55[101，111]22(2)作出頻率分布直方圖，如圖所示．(3)答對下述兩條中的一條即可．一：該市一個月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當(dāng)月天數(shù)的115，有26天處于良的水平，占當(dāng)月天數(shù)的1315，處于優(yōu)或良的天數(shù)共有28天，占當(dāng)月天數(shù)的二：輕度污染有2天，占當(dāng)月天數(shù)的115，污染指數(shù)在80以上的接近輕度污染的天數(shù)有15天，加上處于輕度污染的天數(shù)，共有17天，占當(dāng)月天數(shù)的17思維升華頻率分布直方圖的相關(guān)結(jié)論(1)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)頻率分布直方圖中縱軸表示頻率組距，每組樣本的頻率為組距×頻率(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù)．【對點練習(xí)】2.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，進行了一次摸底考試，從中選取60名學(xué)生的成績，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組后，得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題：(1)求分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，80)內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)根據(jù)評獎規(guī)則，排名在前10%的學(xué)生可以獲獎，請你估計獲獎的學(xué)生至少需要多少分？解：(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為0.25，補全這個頻率分布直方圖，如圖所示．(2)因為分?jǐn)?shù)在區(qū)間[80，90)內(nèi)的頻率為0.25，在區(qū)間[90，100]內(nèi)的頻率為0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，設(shè)排名前10%的分界點為90－a，則0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界點為88分，即獲獎的學(xué)生至少需要88分．題型三統(tǒng)計圖表【例3】(1)(多選)根據(jù)某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)繪制如下折線圖，那么下列敘述正確的是()A．5號到11號的最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)B．9號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C．最高氣溫的眾數(shù)為27℃D．5號到15號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大解析：選AC.由5號到11號的最低氣溫的散點分布是從左下到右上可知：最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)，故A正確；由圖可知6號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大，故B錯誤；最高氣溫27℃出現(xiàn)了兩次，其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)了1次，故27℃是最高氣溫的眾數(shù)，故C正確；5號到15號的最低氣溫的極差小于15－3＝12，5號到15號的最高氣溫的極差約等于27－15＝12，故D錯誤．(2)(多選)(2024·合肥模擬)為了解我國農(nóng)業(yè)、農(nóng)村、農(nóng)民的基本情況，將全國第三次農(nóng)業(yè)普查的部分?jǐn)?shù)據(jù)整理得到如下的柱狀圖(單位：%)，則()A．東北地區(qū)的四項數(shù)據(jù)均比中部地區(qū)高B．西部地區(qū)的四項數(shù)據(jù)均比其他三個地區(qū)低C．中部地區(qū)的發(fā)展情況相較于西部地區(qū)的發(fā)展較好D．東部地區(qū)的發(fā)展情況相較于其他三個地區(qū)的發(fā)展較好解析：選CD.東北地區(qū)通電的村、通寬帶互聯(lián)網(wǎng)的村、有電子商務(wù)配送站點的村的占比高于中部地區(qū)，但通天然氣的村的占比低于中部地區(qū)，故A錯誤；西部地區(qū)通電的村、通寬帶互聯(lián)網(wǎng)的村、有電子商務(wù)配送站點的村的占比低于其他三個地區(qū)，但通天然氣的村的占比高于其他三個地區(qū)，故B錯誤；中部地區(qū)除通天然氣的村的占比低于西部地區(qū)，其他三項數(shù)據(jù)均不低于西部地區(qū)，故中部地區(qū)的發(fā)展情況相較于西部地區(qū)較好，故C正確；東部地區(qū)除通天然氣的村的占比低于西部地區(qū)，其他三項數(shù)據(jù)均不低于其他三個地區(qū)，故東部地區(qū)的發(fā)展情況相較于其他三個地區(qū)較好，故D正確．思維升華統(tǒng)計圖表的主要應(yīng)用(1)扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例．(2)折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢．(3)條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率．【對點練習(xí)】3.(1)(多選)(2024·湖北武漢調(diào)研)某市2024年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中正確的是()A．招商引資后，工資凈收入較前一年增加B．招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C．招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的2D．招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍解析：選AD.設(shè)招商引資前經(jīng)濟收入為M，而招商引資后經(jīng)濟收入為2M，則對于A，招商引資前工資凈收入為M×60%＝0.6M，而招商引資后的工資凈收入為2M×37%＝0.74M，所以工資凈收入增加了，故A正確；對于B，招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為M×4%＝0.04M，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為2M×5%＝0.1M，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍，故B錯誤；對于C，招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和為0.1M＋0.56M＝0.66M<25×2M＝0.8M，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟收入的25，故C錯誤；對于D，招商引資前經(jīng)營凈收入為M×30%＝0.3M，招商引資后經(jīng)營凈收入為2M×30%＝0.6(2)(多選)新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫發(fā)動機汽車等．我國的新能源汽車發(fā)展開始于21世紀(jì)初，近年來發(fā)展迅速，連續(xù)8年產(chǎn)銷量位居世界第一．下面兩圖分別是2017年至2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量和占比(占我國汽車年總產(chǎn)量的比例)情況，則()A．2017～2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量逐年增加B．2017～2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為626.4萬輛C．2022年我國汽車年總產(chǎn)量超過2700萬輛D．2019年我國汽車年總產(chǎn)量不低于2018年我國汽車年總產(chǎn)量解析：選BC.由圖可知，從2018年到2019年，我國新能源汽車年產(chǎn)量在下降，故A錯；2017～2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為705.8－79.4＝626.4(萬輛)，故B對；2022年我國汽車年總產(chǎn)量為705.80.2562019年我國汽車年總產(chǎn)量為124.20.048＝2587.5(萬輛)，2018年我國汽車年總產(chǎn)量為127[課下鞏固精練卷(七十七)]隨機抽樣、統(tǒng)計圖表__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．下列調(diào)查方式合適的是()A．為了了解一批炮彈的殺傷半徑，采用普查的方式B．為了了解一批玉米種子的發(fā)芽率，采用普查的方式C．為了了解一條河流的水質(zhì)，采用抽樣調(diào)查的方式D．為了了解一個寢室的學(xué)生(共5個人)每周體育鍛煉的時間，采用抽樣調(diào)查的方式解析：選C.A項，采用普查的方式測試炮彈殺傷半徑，成本較高，不適合，故錯誤；B項，采用普查的方式測試玉米的發(fā)芽率，較為煩瑣且工作量較大，不適合，故錯誤；C項，抽樣調(diào)查了解河流水質(zhì)是正確的；D項，了解5個人的鍛煉時間，適合采用普查，故錯誤．2．在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體B．個體C．樣本容量D．從總體中抽取的一個樣本解析：選A.樣本容量是200，抽取的200名居民的閱讀時間是一個樣本，每個居民的閱讀時間就是一個個體，5000名居民的閱讀時間的全體是總體．3．已知某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖①和圖②所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層隨機抽樣的方法抽取30%的戶主進行調(diào)查，則樣本量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為()A．240，18B．200，20C．240，20D．200，18解析：選A.樣本量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為150×30%×40%＝18.4．(2024·西安模擬)為了解某校今年報考飛行員的學(xué)生的體重情況．將所得的數(shù)據(jù)整理后，作出了頻率分布直方圖(如圖)．已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第1小組的頻數(shù)為4，則某校報考飛行員的學(xué)生總?cè)藬?shù)是()A．40B．32C．28D．24解析：選B.由圖可知后兩個組頻率為(0.013＋0.037)×5＝0.25，又因為從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，所以第1小組的頻率為(1－0.25)×11+2+35．在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識競賽中，將三個年級參賽學(xué)生的成績進行整理后分為5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是40，則成績在80分～100分的學(xué)生人數(shù)是()A．15B．18C．20D．25解析：選A.由頻率分布直方圖知，第二小組的頻率為10×0.040＝0.4，所以總?cè)藬?shù)為400.4＝100人，又成績在80分～100分的頻率為10×(0.010＋0.005)＝0.15，所以成績在80分～100分的學(xué)生人數(shù)為100×6．為了比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項能力指標(biāo)值(滿分為5分，分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下面敘述錯誤的是()A．甲的邏輯推理能力指標(biāo)值高于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值B．甲的直觀想象能力指標(biāo)值高于乙的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值C．乙的六維能力指標(biāo)值整體水平高于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平D．甲的數(shù)學(xué)運算能力指標(biāo)值高于甲的直觀想象能力指標(biāo)值解析：選D.對于選項A，甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4，高于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值為3，故A正確；對于選項B，乙的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以甲的直觀想象能力指標(biāo)值高于乙的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值，故B正確；對于選項C，甲的六維能力指標(biāo)值的平均值為16×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六維能力指標(biāo)值的平均值為16×7．(多選)在100個零件中，有一級品20個，二級品30個，三級品50個，從中抽取20個作為樣本．方法一：采用簡單隨機抽樣的方法，將零件編號00，01，02，…，99，用抽簽法抽取20個．方法二：采用分層隨機抽樣的方法，從一級品中隨機抽取4個，從二級品中隨機抽取6個，從三級品中隨機抽取10個．對于上述問題，下列說法正確的有()A．不論采用哪種抽樣方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性都是1B．采用不同的方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性各不相同C．在上述兩種抽樣方法中，方法二抽到的樣本比方法一抽到的樣本更能反映總體特征D．在上述抽樣方法中，方法一抽到的樣本比方法二抽到的樣本更能反映總體的特征解析：選AC.對于A，B，根據(jù)兩種抽樣的特點知，不論哪種抽樣，總體中每個個體入樣的可能性都相等，都是20100對于C，D，由于總體中有差異較明顯的三個層(一級品、二級品和三級品)，所以采用分層隨機抽樣的方法抽到的樣本更有代表性，故C正確，D錯誤．8．(多選)(2024·廣東高州模擬)2023年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布中華人民共和國2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，如圖是該公報中關(guān)于2018年～2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值及其增長速度的統(tǒng)計圖，下列說法正確的是()A．近五年的國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，近三年均已超過1000000億元B．2017年的國內(nèi)生產(chǎn)總值低于800000億元C．近五年的國內(nèi)生產(chǎn)總值增長速度的平均數(shù)為5.26%D．近五年的國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為290926億元解析：選ACD.由統(tǒng)計圖可得2018年～2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為919281，986515，1013567，1149237，1210207，增長速度為6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%.對于A，通過數(shù)據(jù)可得近五年的國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，且近三年均已超過1000000億元，故A正確；對于B，2017年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為919281÷(1＋6.7%)≈861557億元，故B不正確；對于C，近五年的國內(nèi)生產(chǎn)總值增長速度的平均數(shù)為15×9．假設(shè)要檢查某企業(yè)生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將500袋牛奶按000，001，…，499進行編號，如果從隨機數(shù)表第8行第26列的數(shù)開始，按三位數(shù)連續(xù)向右讀取，最先檢驗的5袋牛奶的號碼是(下面摘取了某隨機數(shù)表第7行至第9行)________________．844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211解析：根據(jù)隨機數(shù)表法中數(shù)據(jù)的讀取規(guī)則與方法，可得最先檢驗的5袋牛奶的號碼是：169，105，071，286，443.答案：169，105，071，286，44310．(2024·咸陽質(zhì)檢)某高中有300名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，其中有三分之一的學(xué)生成績不低于100分，將不低于100分的學(xué)生成績制成頻率分布直方圖(如圖)，分組區(qū)間是[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，現(xiàn)用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從這300名學(xué)生中隨機進行抽取若干人，若成績在[120，140)之間的抽取5人，那么應(yīng)從成績在[100，110)間的學(xué)生中抽取的人數(shù)為______．解析：在[120，130)之間的學(xué)生人數(shù)為100×10×0.030＝30，在[130，140)之間的學(xué)生人數(shù)為100×10×0.020＝20，在[120，140)之間的學(xué)生人數(shù)為50，又用按比例分配的分層隨機抽樣的方法在[120，140)之間的50名學(xué)生中抽取5人，即抽取比例為110，所以應(yīng)從成績在[100，110)間的學(xué)生中抽取的人數(shù)為100×0.2×1答案：2【綜合應(yīng)用題】11．(多選)(2024·吉林長春模擬)某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關(guān)約定進行參保與理賠．該保險公司對5個險種的參?？蛻暨M行抽樣調(diào)查，得出如下統(tǒng)計圖例，則以下四個選項正確的是()A．18－29周歲人群參?？傎M用最少B．30周歲以上的參保人群約占參?？?cè)巳旱?0%C．54周歲以上的參保人數(shù)最少D．丁險種更受參保人青睞解析：選ACD.由第一個圖可得54周歲及以上的參保人數(shù)最少，占比為1－30%－33%－20%＝17%，其余年齡段的參保人數(shù)均比18－29周歲人群參保人數(shù)多，由第二個圖可得，因為20%×4000<17%×6000，所以18－29周歲人群參?？傎M用最少，故A、C正確；由第一個圖可得，30周歲以上的參保人群約占參?？?cè)巳旱?0%，故B錯誤；由第三個圖可得，丁險種參保人群約占參?？?cè)巳旱?5%，所以最受青睞，故D正確．12．(多選)(2024·安徽皖南八校聯(lián)考)在某市高三年級舉行的一次模擬考試中，某學(xué)科共有20000人參加考試．為了了解本次考試學(xué)生成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(成績均為正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本進行統(tǒng)計，樣本容量為n，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．其中，成績落在區(qū)間[50，60)內(nèi)的人數(shù)為16.則下列結(jié)論正確的是()A．圖中x＝0.016B．樣本容量n＝1000C．估計該市全體學(xué)生成績的平均分為70.6分D．該市要對成績前25%的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號，則授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號的學(xué)生考試成績大約至少為77.25分解析：選ACD.對于A，因為(x＋0.030＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，解得x＝0.016，故A正確；對于B，因為成績落在區(qū)間[50，60)內(nèi)的人數(shù)為16，所以樣本容量n＝160.016×10＝100，故B錯誤；對于C，學(xué)生成績平均分為0.016×10×55＋0.030×10×65＋0.040×10×75＋0.010×10×85＋0.004×10×95＝70.6，故C正確；對于D，因為10×(0.004＋0.010)＋(80－m)×13．將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2.若用分層隨機抽樣的方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取____個個體；若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15，30，20，則樣本的平均數(shù)為________________．解析：因為A，B，C三層個體數(shù)之比為5∶3∶2，又總體中每個個體被抽到的概率相等，所以分層隨機抽樣應(yīng)從C中抽取100×25+3+2＝20個個體．樣本的平均數(shù)為w＝答案：2020.514．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：產(chǎn)品類型ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量(件)130由于不小心，表格中A，C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是______件．解析：設(shè)樣本容量為x，則x3000×1300＝130，所以x＝300，所以A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300－130＝170(件)，設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y＋y＋10＝170，所以y＝80，所以C的產(chǎn)品數(shù)量為3000300答案：80015．某地各項事業(yè)取得令人矚目的成就，以2023年為例，社會固定資產(chǎn)總投資約為3730億元，其中包括中央項目、省屬項目、地(市)屬項目、縣(市)屬項目和其他項目．圖①、圖②分別是這五個項目的投資額不完整的條形圖和扇形圖，請完成下列問題．(1)地(市)屬項目投資額為________億元；(2)在圖②中，縣(市)屬項目部分所占百分比為m%，對應(yīng)的圓心角為β，則m＝____，β＝____(m，β均取整數(shù))．解析：(1)因為該地社會固定資產(chǎn)總投資約為3730億元，所以地(市)屬項目投資額為3730－(200＋530＋670＋1500)＝830(億元)．(2)由條形圖可以看出縣(市)屬項目部分總投資為670億元，所以縣(市)屬項目部分所占百分比為m%＝6703730×100%≈18%，即m＝18，對應(yīng)的圓心角為β≈360°×答案：(1)830(2)1865°9．2用樣本估計總體[課標(biāo)要求]1.能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．2.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義．3.能用樣本估計總體的取值規(guī)律．4.結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義．5.會計算簡單隨機抽樣的樣本均值和樣本方差，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差．【必備知識】1．百分位數(shù)(1)第p百分位數(shù)的定義一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時，給定一個百分?jǐn)?shù)p∈（0,1），總體的p分位數(shù)有這樣的特點：總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p．(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計算i＝n×p.第3步，若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則p分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則p分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．2．總體集中趨勢的估計數(shù)字特征概念優(yōu)點與缺點眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，但顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使它無法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點平均數(shù)如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的平均數(shù)x＝x平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低3.總體離散程度的估計(1)假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，那么這n個數(shù)的①標(biāo)準(zhǔn)差s＝1n②方差s2＝1n[x1?x2＋x2(2)分層隨機抽樣的均值與方差分層隨機抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數(shù)為ω，樣本方差為s2.以分兩層抽樣的情況為例．假設(shè)第一層有m個數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為x，方差為s12；第二層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn則①ω＝②s2＝1m+n{m[s12＋x?ω【必記結(jié)論】1．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則mx1＋a，mx2+a2．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1'＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋3．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.【基點診斷】1．判斷下列說法正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．()(2)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．()(3)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．()(4)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．某機構(gòu)調(diào)查了解10種食品的卡路里含量，結(jié)果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)和中位數(shù)分別是()A．138，160.5 B．138，146C．138，175 D．135，160.5解析：選A.將10個數(shù)按從小到大排列：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，而10×25%＝2.5，為第3項138；中位數(shù)為146+17523．設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.1，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為()A．0.1B．0.2C．0.4D．2解析：選C.由方差公式的推廣，知數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為22×0.1＝4×0.1＝0.4.4．(多選)在去年的足球聯(lián)賽上，一隊每場比賽平均失球個數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是1.1；二隊每場比賽平均失球個數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.4.則下列說法正確的有()A．平均來說一隊比二隊防守技術(shù)好B．二隊很少失球C．一隊有時表現(xiàn)差，有時表現(xiàn)又非常好D．二隊比一隊技術(shù)水平更穩(wěn)定解析：選ACD.對于A，因為一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，所以平均來說一隊比二隊防守技術(shù)好，故A正確；對于B，因為二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，所以二隊經(jīng)常失球，故B錯誤；對于C，因為一隊全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，所以一隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好，故C正確；對于D，因為一隊全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，所以二隊比一隊技術(shù)水平更穩(wěn)定，故D正確．5．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是()A．平均數(shù)為2，方差為3.1 B．中位數(shù)為3，方差為1.6C．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2解析：選A.對于A，若平均數(shù)為2，出現(xiàn)點數(shù)6，可得方差s2>15(6－2)2對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為3，3，3，5，6時，滿足中位數(shù)為3，方差為s2＝15[(3－4)2＋(3－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2對于C，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故C錯誤；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故D錯誤．題型一樣本的數(shù)字特征的估計·教考銜接·鏈接高考·【例1】(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位：kg)并整理得下表：畝產(chǎn)量[900，950)[950，1000)[1000，1050)頻數(shù)61218畝產(chǎn)量[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)頻數(shù)302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是()A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間解析：選C.對于A，因為前3組的頻率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4組的頻率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)所在的區(qū)間為[1050，1100)，故A不正確；對于B，100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例為6+12+18+30100×100%＝66%，故B不正確；對于C，因為1200－900＝300，1150－950＝200，所以100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間，故C正確；對于D，100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值約為1100×(925×6＋975×12＋1025×18＋1075×30＋1125×24＋1175教材溯源·(人教A版必修第二冊P206例5)某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格．據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示．校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性．解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)(如圖所示)．可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適．由于全國各地高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理．【對點練習(xí)】1.(1)(2024·山東臨沂模擬)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，m，12，14，21，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的35A．4B．6C．8D．12解析：選D.由已知可得極差是：21－1＝20，而中位數(shù)是極差的35，即中位數(shù)是12，根據(jù)六個數(shù)的中位數(shù)是：m+122＝12，解得m＝12.因為6(2)(多選)(2024·商丘模擬)在某次演講比賽中，由兩個評委小組(分別為專業(yè)人士“小組A”和觀眾代表“小組B”)給參賽選手打分，根據(jù)兩個評委小組給同一名選手打分的分值繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論正確的是()A.小組A打分的分值的平均數(shù)為48B．小組B打分的分值的中位數(shù)為66C．小組A打分的分值的極差大于小組B打分的分值的極差D．小組A打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差解析：選ABD.由圖可知，小組A打分的分值的平均數(shù)為19×將小組B打分的分值從小到大排列為36，55，58，62，66，68，68，70，75，所以中位數(shù)為66，故B正確；小組A打分的分值的極差為54－43＝11，小組B打分的分值的極差為75－36＝39，故C錯誤；小組A打分的分值相對更集中，所以小組A打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差，故D正確．題型二總體集中趨勢的估計【例2】(2024·山東青島模擬)為了解甲、乙兩個班級學(xué)生的物理學(xué)習(xí)情況，從兩個班學(xué)生的物理成績(均為整數(shù))中各隨機抽查20個，得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖(用頻率分布直方圖估計總體平均數(shù)時，每個區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點值)，關(guān)于甲、乙兩個班級的物理成績，下列結(jié)論正確的是()A．甲班眾數(shù)小于乙班眾數(shù)B．乙班成績的第75百分位數(shù)為79C．甲班的中位數(shù)為74D．甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計值解析：選D.由甲、乙兩個班級學(xué)生的物理成績的數(shù)據(jù)圖可知甲班眾數(shù)為79，由頻率分布直方圖無法準(zhǔn)確得出乙班眾數(shù)，A錯誤；對于乙班物理成績的頻率分布直方圖，前三個矩形的面積之和為(0.020＋0.025＋0.030)×10＝0.75，故乙班成績的第75百分位數(shù)為80，B錯誤；由甲班物理成績數(shù)據(jù)圖可知，小于79分的數(shù)據(jù)有9個，79分的數(shù)據(jù)有6個，故甲班的中位數(shù)為79，C錯誤；甲班平均數(shù)為x甲＝120×(57×2＋58＋59＋67＋68×2＋69×2＋79×6＋87＋88×2＋89＋98)＝74.8，乙班平均數(shù)估計值為x乙＝10×(55×0.02＋65×0.025＋75×思維升華頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和．【對點練習(xí)】2.某考試機構(gòu)的考生根據(jù)聯(lián)考成績了解自己的學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求出圖中a的值并估計本次考試的及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占比例)；(2)估計該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù)；(3)估計該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、平均數(shù)．解：(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率為(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)得分在110以下的學(xué)生所占比例為(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130以下的學(xué)生所占比例為0.66＋0.014×20＝0.94，所以第80百分位數(shù)位于[110，130)內(nèi)，由110＋20×0.8?0.660.94?0.66(3)由圖可得，眾數(shù)的估計值為100.平均數(shù)的估計值為0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.題型三總體離散程度的估計角度1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算【例3】(2023·全國乙卷)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)，試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，記z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2.(1)求z，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果z≥2解：(1)x＝1y＝1z＝zi＝xi－yi的值分別為：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，故s2＝110×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2(2)由(1)知：z＝11，2所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．角度2分層隨機抽樣的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【例4】(人教A版必修二P213)在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計嗎？解：把男生樣本記為x1，x2，…，x23，其平均數(shù)記為x，方差記為sx2；把女生樣本記為y1，y2，…，y27，其平均數(shù)記為y，方差記為sy2；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z根據(jù)方差的定義，總樣本方差為s2＝150[i＝123xi?z2由i＝123xi?x＝i＝1同理可得j＝127因此，s2＝150[i＝123xi?x2＋i＝123x?z2＋j＝1由x＝170.6，y＝160.6，根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為z＝把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入①，可得s2＝150{23×[12.59＋(170.6－165.2)2]＋27×[38.62＋(160.6－165.2)2我們可以計算出總樣本的方差為51.4862，并據(jù)此估計高一年級學(xué)生身高的總體方差為51.4862.思維升華總體離散程度的估計標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。緦c練習(xí)】3.(1)某次視力檢測中，甲班12個人視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1，方差為1；乙班8個人的視力檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.5，方差為0.25，則這20個人的視力的方差為______．解析：設(shè)甲班12個人視力檢測數(shù)據(jù)分別為xi(i＝1，2，…，12)，乙班8個人的視力檢測數(shù)據(jù)分別為yi(i＝1，2，…，8)，由題意知：i＝112xi＝12，i＝112由題意20個人的視力的平均數(shù)為120i＝112xi＝＝＝1答案：0.76(2)(2024·江門模擬)某果園試種了A，B兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記A，B兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為x和y，方差分別為s12和A(單位：kg)60504060708070305090B(單位：kg)40605080805060208070①分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；②求x，③果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果分析選種哪個品種更合適，并說明理由．解：①這10棵A品種桃樹的產(chǎn)量從小到大分別為30，40，50，50，60，60，70，70，80，90，這10棵A品種桃樹產(chǎn)量的極差為90－30＝60，中位數(shù)為60+602這10棵B品種桃樹產(chǎn)量從小到大分別為20，40，50，50，60，60，70，80，80，80，這10棵B品種桃樹產(chǎn)量的極差為80－20＝60，中位數(shù)為60+602②x＝1y＝1s12＝110×[(30－60)2＋(40－60)2＋(50－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(70－60)2＋(70－60)2s22＝110×[(20－59)2＋(40－59)2＋(50－59)2＋(50－59)2＋(60－59)2＋(60－59)2＋(70－59)2＋(80－59)2③由①可知這兩個品種極差和中位數(shù)都相等，由②可知x>y，s12<[課下鞏固精練卷(七十八)]用樣本估計總體__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．(2024·廣東惠州一模)數(shù)據(jù)68，70，80，88，89，90，96，98的第15百分位數(shù)為()A．69B．70C．75D．96解析：選B.因為8×15%＝1.2，根據(jù)百分位數(shù)的定義可知，該數(shù)學(xué)成績的15%分位數(shù)為第2個數(shù)據(jù)70.2．某鞋店試銷一種新款女鞋，銷售情況如表：鞋號3435363738394041日銷量/雙259169532如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計量中對你來說最重要的是()A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．極差解析：選B.鞋店經(jīng)理最關(guān)心的是哪個鞋號的鞋銷量最大，由表可知，鞋號為37的鞋銷量最大，共銷售了16雙，所以這組數(shù)據(jù)最重要的是眾數(shù)．3．(2024·天津二模)為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史、育文化”的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績(滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù))整理成如圖所示的頻率分布直方圖，估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為()分A．84B．85C．86D．87解析：選C.由10×(2a＋3a＋3a＋6a＋5a＋a)＝1，解得a＝0.005，所以前4組頻率之和為14×0.005×10＝0.7，前5組頻率之和為19×0.005×10＝0.95，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為x，則0.7＋(x－80)×0.025＝0.85，解得x＝86.4．(2024·長沙模擬)為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間的平均數(shù)為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間的平均數(shù)為8小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為()A．0.94B．0.96C．0.75D．0.78解析：選A.該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的平均數(shù)為8001200+800×9+12005．(2024·四川綿陽模擬)某教育機構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖(每個區(qū)間均為左閉右開)，根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是()A．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天B．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3C．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時D．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時解析：選C.對于A，該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的天數(shù)為0.5×0.5×100＝25，故A錯誤；對于B，估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為(0.3＋0.2＋0.1＋0.1)×0.5＝0.35，故B錯誤；對于C，[1，2，5)的頻率為(0.1＋0.3＋0.5)×0.5＝0.45，[1，3)的頻率為0.45＋0.4×0.5＝0.65，則該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.5＋0.5?0.450.2×對于D，估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2+2.526．(多選)根據(jù)中國報告大廳對2023年3月～10月全國太陽能發(fā)電量進行監(jiān)測統(tǒng)計，太陽能發(fā)電量(單位：億千瓦時)月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：月份3456發(fā)電量/億千瓦時242.94230.87240.59259.33月份78910發(fā)電量/億千瓦時258.9269.19246.06244.31關(guān)于2023年3月～10月全國太陽能發(fā)電量，下列四種說法正確的是()A．中位數(shù)是259.115B．極差是38.32C．第85百分位數(shù)是259.33D．第25百分位數(shù)是240.59解析：選BC.將數(shù)據(jù)從小到大排序可得230.87，240.59，242.94，244.31，246.06，258.9，259.33，269.19，共8個數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是244.31+246.062極差是269.19－230.87＝38.32，故B正確；因為8×0.85＝6.8，所以第85百分位數(shù)是第7個數(shù)，即259.33，故C正確；因為8×0.25＝2，所以第25百分位數(shù)是240.59+242.9427．(多選)(2024·潮州模擬)根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，如果連續(xù)5天的日平均氣溫都低于10℃即為入冬．現(xiàn)將連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù))作為一組樣本，則下列樣本中一定符合入冬指標(biāo)的有()A．平均數(shù)小于4B．平均數(shù)小于4且極差小于或等于3C．平均數(shù)小于4且標(biāo)準(zhǔn)差小于或等于4D．眾數(shù)等于5且極差小于或等于4解析：選BD.舉反例，如0，0，0，0，15，平均數(shù)為3小于4，但不符合入冬標(biāo)準(zhǔn)，故A錯誤；假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3知，此組數(shù)據(jù)最小值大于或等于7，與平均值小于4矛盾，故假設(shè)不成立，故B正確；舉反例，如1，1，1，1，11，平均數(shù)為3，且標(biāo)準(zhǔn)差為4，但不符合入冬標(biāo)準(zhǔn)，故C錯誤；眾數(shù)等于5且極差小于或等于4時，最大數(shù)不超過9，故D正確．8．(2024·黔西模擬)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為3，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為______．解析：因為樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為3，故樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為9，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22×9＝36，故數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為6.答案：69．(2024·濟南模擬)某射擊運動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)(環(huán)數(shù)為整數(shù))形成一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______.解析：依題意，這組數(shù)據(jù)一共有5個數(shù)，中位數(shù)為8，則從小到大排列，8的前面有2個數(shù)，后面也有2個數(shù)，又唯一的眾數(shù)為9，則有兩個9，其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次，則最大數(shù)字為9，又極差為3，所以最小數(shù)字為6，所以這組數(shù)據(jù)為6，7，8，9，9，所以平均數(shù)為6+7+8+9+95答案：7.8【綜合應(yīng)用題】10．現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)滿足如下條件時，若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則關(guān)于新的一組數(shù)據(jù)說法錯誤的是()A．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，則新的一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為3B．若乙組數(shù)據(jù)的方差為5，則新的一組數(shù)據(jù)方差為5C．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，則新的一組數(shù)據(jù)方差為5D．若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，則新的一組數(shù)據(jù)方差為5解析：選B.設(shè)甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x1，方差為s12，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x2，方差為s22，混合后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x對于A，新的一組數(shù)據(jù)平均數(shù)x＝6對于B，由于不能確定乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故由公式s2＝612[s12＋x對于C，因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，即x2＝3，s22＝5，所以x＝66+6×3+66+6×3＝3，所以s2＝612[s1對于D，因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，即x2＝5，s22＝3，所以x＝66+6×3+66+6×5＝4，所以s2＝611．(多選)已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9成公差大于0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)x5，則()A．極差不變 B．第25百分位數(shù)變大C．平均數(shù)不變 D．方差變小解析：選AC.選項A，根據(jù)極差的定義，原數(shù)據(jù)的極差為x9－x1，去掉x5后的極差為x9－x1，即極差不變，故A正確；選項B，原數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為x3，去掉x5后的第25百分位數(shù)為12(x2＋x3)<x3選項C，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x＝x5，去掉x5后的平均數(shù)為x'＝18(x1＋…＋x4＋x6＋…＋x選項D，原數(shù)據(jù)的方差為s2＝19[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，去掉x5后的方差為s′2＝18[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x4－x5)2＋(x6－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，故s2<s′12．(多選)2024年7月26日至8月11日在巴黎舉辦了第33屆夏季奧林匹克運動會，為了宣傳奧運精神，某學(xué)校組織了甲、乙兩個社團，利用一周的時間對外進行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布折線圖，則()A．甲社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)小于乙社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)B．甲社團宣傳次數(shù)的極差大于乙社團宣傳次數(shù)的極差C．甲社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)大于乙社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)D．甲社團宣傳次數(shù)的方差大于乙社團宣傳次數(shù)的方差解析：選ABD.觀察每天宣傳次數(shù)的頻數(shù)分布折線圖，甲社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)、乙社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)分別為2，3，A正確；甲社團宣傳次數(shù)的極差、乙社團宣傳次數(shù)的極差分別為3，2，B正確；甲社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)x1＝2+2+3+2+5+4+3甲社團宣傳次數(shù)的方差s12＝17×[3×(2－3)2＋2×(3－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝87，乙社團宣傳次數(shù)的方差s22＝17×[2×(2－3)213．(2024·涼山統(tǒng)考)某校為了提高學(xué)生對體育運動的興趣，舉辦了一場體育知識答題比賽活動，共有1000名學(xué)生參加了此次答題活動．為了解本次比賽的成績，從中抽取了100名學(xué)生的得分(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計，所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這100名學(xué)生的得分進行分組，第一組[60，70)，第二組[70，80)，第三組[80，90)，第四組[90，100](單位：分)，得到如下的頻率分布直方圖．(1)求圖中m的值，并估計此次競賽活動學(xué)生得分的中位數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計此次競賽活動得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學(xué)進行獎勵，請估計參賽的學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎．(以每組中點值作為該組數(shù)據(jù)的代表)解：(1)由頻率分布直方圖知，(m＋0.03＋0.04＋0.02)×10＝1，解得m＝0.01，設(shè)此次競賽活動學(xué)生得分的中位數(shù)為x0，由數(shù)據(jù)落在[60，80)內(nèi)的頻率為0.4，落在[60，90)內(nèi)的頻率為0.8，可得80<x0<90，由(x0－80)×0.04＝0.1，解得x0＝82.5，所以估計此次競賽活動學(xué)生得分的中位數(shù)為82.5.(2)由頻率分布直方圖及(1)知，數(shù)據(jù)落在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，x＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，此次競賽活動學(xué)生得分不低于82的頻率為0.2＋90?8210×0.4＝0.52，則1000×所以估計此次競賽活動得分的平均值為82，在參賽的1000名學(xué)生中估計有520名學(xué)生獲獎．9．3統(tǒng)計案例[課標(biāo)要求]1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系．會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性．2.了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法．3.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預(yù)測．4.理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用．【必備知識】1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)定義：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)樣本相關(guān)系數(shù)r＝i＝1n(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①當(dāng)r>0時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時，成對樣本數(shù)據(jù)無線性相關(guān)關(guān)系．②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1]．當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．3．一元線性回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫作最小二乘法．(2)一元線性回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則b＝i＝1nxi?xyi?yi＝1nxi?x2＝i＝1nxiyi?nxyi＝1nxi2?nx2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，其中，eq\o(b,\s\up6(^))是線性回歸方程的斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是在y軸上的截距(3)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果：R2＝1－i＝1nyi?yi2(4)殘差：觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．4．獨立性檢驗(1)獨立性檢驗的概念利用eq\o(χ,\s\do4())2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為eq\o(χ,\s\do4())2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗．(2)獨立性檢驗的計算公式eq\o(χ,\s\do4())2＝nad?bc2a+bc+d(3)獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：當(dāng)eq\o(χ,\s\do4())2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)eq\o(χ,\s\do4())2<xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨立．(4)eq\o(χ,\s\do4())2獨立性檢驗中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【必記結(jié)論】(1)經(jīng)驗回歸直線過點x，(2)根據(jù)經(jīng)驗回歸方程計算的y值，僅是一個預(yù)報值，不是真實發(fā)生的值．(3)根據(jù)eq\o(χ,\s\do4())2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度，若eq\o(χ,\s\do4())2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大．【基點診斷】1．判斷下列說法正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．()(2)線性回歸直線y＝bx＋a至少經(jīng)過點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點．()(3)相關(guān)系數(shù)越大，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強．()(4)若分類變量X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的eq\o(χ,\s\do4())2的觀測值越?。?)答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．兩個變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)．下列散點圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②解析：選D.第一個散點圖中的點是從左下角分布到右上角區(qū)域，正相關(guān)；第三個散點圖中的點是從左上角分布到右下角區(qū)域，負(fù)相關(guān)；第二個散點圖中的點的分布沒有什么規(guī)律，不相關(guān)．3．對于變量Y和變量x的成對樣本觀測數(shù)據(jù)，用一元線性回歸模型Y＝bx+a+e，Ee＝0，DeA．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)B．不滿足一元線性回歸模型的E(e)＝0的假設(shè)C．不滿足一元線性回歸模型的D(e)＝σ2假設(shè)D．不滿足一元線性回歸模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假設(shè)解析：選C.用一元線性回歸模型Y＝bx+a+e，Ee＝0，De＝σ2得到經(jīng)驗回歸模型y＝bx＋a，根據(jù)對應(yīng)的殘差圖，殘差的均值E(e4．隨著國家三胎政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的三胎生育意愿，某機構(gòu)用簡單隨機抽樣的方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表．三胎生育意愿城市級別合計非一線一線愿生452065不愿生132235合計5842100由eq\o(χ,\s\do4())2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，得eq\o(χ,\s\do4())2＝100×參照下表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，可以得到的結(jié)論是________________．解析：因為eq\o(χ,\s\do4())2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”．答案：生育意愿與城市級別有關(guān)5．某地區(qū)醫(yī)院的醫(yī)務(wù)人員統(tǒng)計了該院近五天的棉簽使用情況，具體數(shù)據(jù)如表所示：t(單位：天)第1天第2天第3天第4天第5天y(單位：袋)1524364456根據(jù)以上數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)y與t呈線性相關(guān)，其回歸方程為y＝10.2t＋a，則估計第8天使用的棉簽袋數(shù)為________．解析：因為t＝1+2+3+4+55＝3,y＝15+24+36+44+56所以a＝35－10.2×3＝4.4，所以y＝10.2t＋4.4.當(dāng)t＝8時，y＝10.2×8＋4.4＝86.答案：86題型一成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性【例1】(1)(2024·天津卷)下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是()解析：選A.觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，值相比于其他3圖更接近1.(2)(多選)某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關(guān)系，在15歲的男生中隨機抽測了10人的身高和體重，數(shù)據(jù)如表所示：編號12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數(shù)據(jù)制作成如圖所示的散點圖，由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線l1的方程為y＝b1x＋a1，樣本相關(guān)系數(shù)為r1，決定系數(shù)為R12；經(jīng)過殘差分析確定(168，89)為離群點(對應(yīng)殘差過大)，把它去掉后，再用剩下的9對數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線l2的方程為y＝b2x＋a2，樣本相關(guān)系數(shù)為r2，決定系數(shù)為A．a(chǎn)1>a2 B．b1>b2C．r1<r2 解析：選AC.身高的平均數(shù)為110×(165＋168＋170＋172＋173＋174＋175＋177＋179＋182)＝173.5，因為離群點(168，89)的橫坐標(biāo)168小于平均值173.5，縱坐標(biāo)89相對過大，所以去掉離群點后經(jīng)驗回歸直線的截距變小而斜率變大，所以a1>a2，b1<b2去掉離群點后成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強，擬合效果會更好，所以r1思維升華判定兩個變量相關(guān)性的方法(1)畫散點圖：若點的分布從左下角到右上角，則兩個變量正相關(guān)；若點的分布從左上角到右下角，則兩個變量負(fù)相關(guān)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時，正相關(guān)；當(dāng)r<0時，負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，相關(guān)性越強．(3)經(jīng)驗回歸方程：當(dāng)b>0時，正相關(guān)；當(dāng)b<0時，負(fù)相關(guān)．【對點練習(xí)】1.(多選)對兩組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計后得到的散點圖如圖，關(guān)于其線性相關(guān)系數(shù)的結(jié)論正確的是()A．r1<0 B．r2>1C．r1＋r2>0 D．|r1|>|r2|解析：選AC.由散點圖可知，線性相關(guān)系數(shù)r1的圖象表示y與x成負(fù)相關(guān)，故－1<r1<0，故A正確；線性相關(guān)系數(shù)r2的圖象表示y與x正相關(guān)，故1>r2>0，故B錯誤；因為線性相關(guān)系數(shù)r2的點較線性相關(guān)系數(shù)r1的點密集，故|r2|>|r1|，故r1＋r2>0，故C正確，D錯誤．題型二回歸模型角度1一元線性回歸模型【例2】為實施鄉(xiāng)村振興，科技興農(nóng)，某村建起了田園綜合體，并從省城請來專家進行技術(shù)指導(dǎo)，根據(jù)統(tǒng)計，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下：x(千克)24568y(千克)300400400400500(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用經(jīng)驗回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計算樣本相關(guān)系數(shù)r并加以說明(若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用經(jīng)驗回歸模型擬合)；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少千克？附：相關(guān)系數(shù)r＝i＝1n經(jīng)驗回歸方程y＝a＋bx的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b＝i＝1nxi?xyi解：(1)由已知數(shù)據(jù)可得x＝y(tǒng)＝所以i＝15xi?xyi?y＝(－3)×i＝15xii＝15yi所以樣本相關(guān)系數(shù)r＝i＝1＝6002所以可用經(jīng)驗回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(2)b＝i＝15a＝400－5×30＝250，所以經(jīng)驗回歸方程為y＝30x＋250.當(dāng)x＝15時，y＝30×15＋250＝700(千克)，即當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為700千克．思維升華線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求線性回歸方程①利用公式，求出回歸系數(shù)b，a；②待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)．(2)利用回歸方程進行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用回歸直線判斷