第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.1.直線與圓的位置關(guān)系（圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d）相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ＜0Δ＝0Δ＞0幾何觀點(diǎn)d＞rd＝rd＜r2.圓與圓的位置關(guān)系（兩圓半徑分別為r1，r2，d＝｜O1O2｜）外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2＜d＜r1＋r2d＝｜r1－r2｜d＜公切線條數(shù)420提醒兩圓相切應(yīng)注意是內(nèi)切還是外切.1.圓的切線方程常用結(jié)論（1）過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2；（2）過圓（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的圓的切線方程為（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2；（3）過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P（x0，y0）作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.兩圓相交時公共弦的方程設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， ①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， ②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程可由①－②所得，即（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋（F1－F2）＝0.

3.圓系方程的設(shè)法（1）過圓O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0與直線l：Ax＋By＋C＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ為參數(shù)）；（2）過圓O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括圓O2，λ為參數(shù).當(dāng)λ＝－1時，為一條直線（過兩圓交點(diǎn)的直線）；（3）若（x0，y0）表示圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上任意一點(diǎn)，則曲線系方程（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ[（x－x0）2＋（y－y0）2]＝0（λ為參數(shù)）表示與C相切于點(diǎn)（x0，y0）的所有圓.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）直徑是圓中最長的弦.（）（2）若兩圓沒有公共點(diǎn)，則兩圓外離.（）（3）如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.（）（4）如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.（）2.圓（x－1）2＋（y＋2）2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關(guān)系是（）A.相切B.相離C.相交過圓心 D.相交但直線不過圓心3.（人A選一P98練習(xí)1題改編）圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關(guān)系是（）A.外切 B.相交C.外離 D.內(nèi)切4.（人A選一P98習(xí)題3題改編）已知直線x＋3y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長度是.5.（人A選一P92例2改編）圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P（1，3）處的切線方程為.直線與圓的位置關(guān)系（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋（y－1）2＝5的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定2.〔多選〕已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A（a，b），則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切3.若直線x－y＋1＝0與圓（x－a）2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.4.若圓x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4個點(diǎn)到直線l：x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是.練后悟通判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷；（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷；（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.提醒上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.圓的弦長、切線問題（定向精析突破）考向1圓的弦長問題（1）已知直線x－3y＋8＝0和圓x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B兩點(diǎn).若｜AB｜＝6，則r的值為；（2）（2023·新高考Ⅱ卷15題）已知直線x－my＋1＝0與☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值聽課記錄解題技法直線被圓截得的弦長的兩種求法考向2圓的切線（1）已知點(diǎn)M（3，1），圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝4，則過點(diǎn)M的圓C的切線方程為；其切線長l＝；（2）（2025·黃山質(zhì)量檢測）過點(diǎn)（0，3）與圓x2＋y2－2x－3＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝.聽課記錄解題技法求過某點(diǎn)的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程.若點(diǎn)在圓上（即為切點(diǎn)），則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時注意斜率不存在的切線.考向3最值（范圍）問題（1）（2024·全國甲卷理12題）已知b是a，c的等差中項(xiàng)，直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜的最小值為（）A.1B.2C.4D.25（2）已知☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：x＋2y＋2＝0，M為直線l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作☉C的切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)四邊形MACB的面積取最小值時，直線AB的方程為.聽課記錄

解題技法求解與弦長（切線長）有關(guān)的最值問題（1）幾何法：利用有關(guān)幾何性質(zhì)求解.如①過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦為過此點(diǎn)的直徑，最短弦為垂直于此點(diǎn)與圓心連線的弦；②直線與圓相離，圓心到直線的距離為d，則圓上一點(diǎn)到直線的最小距離為d－r，最大距離為d＋r.（2）代數(shù)法：涉及與圓的弦、切線有關(guān)的線段長度范圍（最值）問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長表示為關(guān)于圓心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果.1.若直線y＝kx＋1與圓C：（x－2）2＋y2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜的取值范圍為（）A.[2，6] B.[4，6]C.[3，7] D.[4，8]2.過點(diǎn)P（2，4）作圓（x－1）2＋（y－1）2＝1的切線，則切線方程為（）A.3x＋4y－4＝0B.4x－3y＋4＝0C.x＝2或4x－3y＋4＝0D.y＝4或3x＋4y－4＝03.過直線x－y－m＝0上一點(diǎn)P作圓M：（x－2）2＋（y－3）2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若使得四邊形PAMB的面積為7的點(diǎn)P有兩個，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.圓與圓的位置關(guān)系（師生共研過關(guān)）已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.（1）求證：圓C1和圓C2相交；（2）求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.解題技法圓與圓位置關(guān)系相關(guān)問題的求解策略（1）判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系；（2）若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到.1.（2025·聊城一模）若圓C1：