第十一節(jié)圓錐曲線中的證明、探究性問題重點(diǎn)解讀1.證明問題：圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系的證明，如相切、平行、垂直、共線等；數(shù)量關(guān)系的證明，如恒成立、值相等（不等）、角相等（不等）等，在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，常把幾何量用坐標(biāo)表示，建立某個變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明.2.探究性問題：先假設(shè)結(jié)論成立，用待定系數(shù)法列出含相應(yīng)參數(shù)的方程，若方程有解，則探究的元素存在（或命題成立），否則不存在（或不成立）.需要注意的是：（1）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；（2）當(dāng)給出結(jié)論需要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；（3）當(dāng)要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.位置關(guān)系的證明（師生共研過關(guān)）（2025·南京模擬）已知橢圓C：x24＋y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）在橢圓C上，若點(diǎn)E（－6，yE），F(xiàn)（－6，yF）分別在直線MP，NP上（1）求kMP·kMF的值；（2）連接FM并延長交橢圓C于點(diǎn)Q，求證：E，N，Q三點(diǎn)共線.解題技法樹立“轉(zhuǎn)化”意識，證明位置關(guān)系雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（3，1（1）求a，b的值；（2）點(diǎn)A，B，D是雙曲線C上不同的三點(diǎn)，且B，D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，△ABD的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)O.求證：直線AB與圓x2＋y2＝1相切.數(shù)量關(guān)系的證明（師生共研過關(guān)）（2024·武漢五調(diào)）已知雙曲線E：x2－y2＝1，直線PQ與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，直線MN與雙曲線E交于M，N兩點(diǎn).（1）若直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率kPM，kPN均存在，求kPMkPN；（2）設(shè)直線PQ與直線MN的交點(diǎn)為T（1，2），且TP·TQ＝TM·TN，證明：直線PQ與直線MN的斜率之和為0.解題技法解決此類問題，一般方法是“設(shè)而不求”，通過“設(shè)參、用參、消參”的推理及運(yùn)算，借助幾何直觀，達(dá)到證明的目的.已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線Γ的焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，圓心在直線y＝12x上的圓E與x軸相切，且點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)M（－1，0）對稱（1）求E和Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M的直線l與圓E交于A，B兩點(diǎn)，與Γ交于C，D兩點(diǎn)，求證：｜CD｜＞2｜AB｜.點(diǎn)、線的探究性問題（師生共研過關(guān)）已知A，B分別為橢圓E：x2a2＋y2＝1（a＞1）的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，P為直線x＝3上的動點(diǎn)，AP·BP的最小值為59（1）求E的方程；（2）設(shè)直線PA與E的另一交點(diǎn)為D，直線PB與E的另一交點(diǎn)為C，問是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCD為梯形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解題技法點(diǎn)、線的探究性問題的求解方法（1）解決探究性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.一般步驟如下：①假設(shè)滿足條件的曲線（直線或點(diǎn)等）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；②列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；③若方程（組）有實(shí)數(shù)解，則曲線（直線或點(diǎn)等）存在，否則不存在.（2）反證法與驗(yàn)證法也是求解探究性問題常用的方法.已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的離心率為33，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為其下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，使得l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F恰為△EAB的垂心？若存在，求直線l的方程，若不存在，請說明理由.含參數(shù)的探究性問題（師生共研過關(guān)）（2024·阜陽模擬）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A（－1，0），B（1，0），動直線l過點(diǎn)M（2，0），當(dāng)直線l與雙曲線C有且僅有一個公共點(diǎn)時，點(diǎn)B（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線l與雙曲線C交于異于A，B的兩點(diǎn)P，Q時，記直線AP的斜率為k1，直線BQ的斜率為k2.是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k2＝λk1成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.解題技法含參數(shù)的探究性問題的求解方法求解含參數(shù)的探究性問題時，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值，就說明滿足條件的參數(shù)值存在；若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的參數(shù)值不存在，同時推理與計(jì)算的過程就是說明理由的過程.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)G到F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）兩點(diǎn)的距離之和為4.（1）試判斷動點(diǎn)G的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程C；（2）已知直線l：y＝k（x－3）（k＞0）與圓F：（x－3）2＋y2＝14交于M，N兩點(diǎn)，與曲線C