第七節(jié)余弦定理和正弦定理的綜合應(yīng)用重點解讀正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用是高考命題的熱點，主要包括與三角形有關(guān)的證明問題、平面圖形中的計算問題及三角形中的三線問題等.與三角形有關(guān)的證明問題（師生共研過關(guān)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A－B）＝sinBsin（C－A）.（1）若A＝2B，求C；（2）證明：2a2＝b2＋c2.解題技法證明與三角形有關(guān)的等（不等）式的一般思路（1）利用正、余弦定理完成邊角轉(zhuǎn)化：把已知條件或待證等（不等）式轉(zhuǎn)化為以角為研究對象的三角等（不等）式或以邊為研究對象的代數(shù)等（不等）式；（2）充分利用三角形中隱含條件：①A＋B＋C＝π；②A＞B?sinA＞sinB；③a－b＜c＜a＋b及三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換公式等推導(dǎo)證明.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2（π2＋A）＋cosA＝5（1）求A；（2）若b－c＝33a，證明：△ABC是直角三角形平面多邊形中的計算問題（師生共研過關(guān)）如圖所示，四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，其中AB＝2，BC＝3，CD＝22，DA＝1.（1）求sinD的值；（2）求四邊形ABCD的面積及圓O的半徑.解題技法利用正、余弦定理解決平面多邊形問題的策略（1）將所給平面多邊形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正、余弦定理建立邊角關(guān)系進行求解；（2）注意各個三角形之間的聯(lián)系，特別是公共邊、鄰角之間的等量關(guān)系，交叉使用公共條件進行求解；（3）注意三角形相似、平行四邊形性質(zhì)等幾何結(jié)論的應(yīng)用；（4）注意方程思想的靈活運用，通過設(shè)出未知變量，建立方程進行求解.如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，線段AE交BC于點D，BD＝1.（1）求sin∠ADB；（2）若AD＝3DE，求BE的長.三角形的“三線”問題（定向精析突破）考向1高線問題（2023·新高考Ⅰ卷17題）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sinB.（1）求sinA；（2）設(shè)AB＝5，求AB邊上的高.解題技法高線問題的處理策略如圖，在△ABC中，AD⊥BC：（1）等面積法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC；（2）AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD；（3）a＝c·cosB＋b·cosC.考向2中線問題（2024·福建九地市質(zhì)量檢測）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且asinC＝csinB，C＝2π3（1）求B的大??；（2）若△ABC的面積為334，求BC解題技法中線問題的處理策略（1）可根據(jù)兩角互補或面積相等用正、余弦定理建立方程求解；（2）采用向量法使問題簡化：在△ABC中，若D為邊BC上的中點，則AD＝12（AB＋AC），兩邊平方即可得到三角形邊長之間的關(guān)系

考向3角平分線問題（2025·東北三省四市聯(lián)合體模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知asinB＝－3bcos∠BAC，∠BAC的平分線交邊BC于點D，且AD＝1.（1）求∠BAC的大?。唬?）若a＝25，求△ABC的面積.解題技法角平分線問題的處理策略（1）角平分線定理：已知AD是△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則ABAC＝BD（2）等面積法：S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即12AB×AC×sin∠BAC＝12AB×AD×sin∠BAC2＋12AC×（3）邊與面積的比值：ABAC＝S（2025·青島二中期中）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若2bsinA＋bsinB＝csin2B.（1）求角C；（2）若點D在邊AB上，b＝2，CD＝1，請在下列三個條件中任選一個，求邊長AB.①CD為