第二節(jié)等差數(shù)列課標(biāo)要求1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.1.等差數(shù)列的有關(guān)概念（1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的，公差通常用字母d表示，符號(hào)表示為（n∈N*，d為常數(shù)）；提醒在公差為d的等差數(shù)列{an}中：①d＞0?{an}為遞增數(shù)列；②d＝0?{an}為常數(shù)列；③d＜0?{an}為遞減數(shù)列.（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a與b的等差中項(xiàng).2.等差數(shù)列的有關(guān)公式及等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系（1）通項(xiàng)公式：an＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）?當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)模型，即an＝pn＋q，其中p為公差；（2）前n項(xiàng)和公式：Sn＝n（a1＋an）2Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n?當(dāng)d≠0時(shí)3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知{an}為等差數(shù)列，d為公差，Sn為該數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）；（2）若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），則ak＋al＝am＋an；（3）若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差為md的等差數(shù)列；（4）數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，公差為.1.若{an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則anbn2.若{an}是等差數(shù)列，則Snn也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的3.若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd，S奇S偶4.若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1，則S2n－1＝（2n－1）an；S奇S偶＝nn－1；S奇－S偶

1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.（）（2）等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.（）（3）數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（）（4）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).（）2.已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，則a10＝（）A.18 B.16C.20 D.173.（人A選二P17例5改編）已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a2＝3，a5＋a6＝7，則a9＋a10＝（）A.8B.9 C.10D.114.（人A選二P21例7改編）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝2，S20＝8，則S30＝.5.（蘇教選一P182復(fù)習(xí)題13題改編）在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27，則n＝.等差數(shù)列基本量的運(yùn)算（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.（2024·全國甲卷理4題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S5＝S10，a5＝1，則a1＝（）A.72 B.C.－13 D.－2.（2025·廈門第二次質(zhì)檢）已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，且4S3＝（a3＋1）2，4S4＝（a4＋1）2，則d＝（）A.1 B.2 C.3 D.43.（2024·新高考Ⅱ卷12題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝.4.在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如，北京天壇圜丘壇的地面由扇環(huán)形的石板鋪成，如圖，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共9圈，則第7圈的石板數(shù)為，前9圈的石板總數(shù)為.練后悟通等差數(shù)列基本量運(yùn)算的常見類型及解題策略（1）求公差d或項(xiàng)數(shù)n：在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想；（2）求通項(xiàng)：a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素；（3）求特定項(xiàng)：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解；（4）求前n項(xiàng)和：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解.等差數(shù)列的判定與證明（師生共研過關(guān)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足對(duì)任意n∈N*，都有a13＋a23＋…＋an3＝Sn2.求證：解題技法判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法（1）定義法：對(duì)任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù)；（2）等差中項(xiàng)法：對(duì)任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1；（3）通項(xiàng)公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q（p，q為常數(shù)）；（4）前n項(xiàng)和公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn（A，B為常數(shù)）.提醒（3）（4）只適用于客觀題的求解與判斷.1.數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1，且1an－1＝2an－1an+1（n≥2），則數(shù)列{A.1100 B.C.12100 D2.（2023·新高考Ⅰ卷7題）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：Snn為等差數(shù)列.則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用（定向精析突破）考向1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)（1）（2024·全國甲卷文5題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S9＝1，則a3＋a7＝（）A.19 B.C.13 D.（2）已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝34，則a11－b11＝（）A.－17 B.－15C.17 D.15聽課記錄

解題技法利用2am＝am－n＋am＋n可實(shí)現(xiàn)項(xiàng)的合并與拆分，在Sn＝n（a1＋an）2中，Sn考向2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1）（2025·河北調(diào)研）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S5S10＝13，則SA.37 B.C.311 D.（2）等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意正整數(shù)n都有SnTn＝2n－13n聽課記錄解題技法在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則：（1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an；（2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.考向3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題〔多選〕設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S15＞0，S16＜0，則（）A.a8＞0B.a9＜0C.S1a1，S2D.S1a1，S2聽課記錄解題技法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法1.（2024·青