平面向量的綜合應(yīng)用縱觀近幾年新高考對平面向量的考查，單獨考查平面向量的題目難度不大，但平面向量與三角函數(shù)、解析幾何等交匯考查的題目，都有一定的難度，下面就從六個不同的角度予以示例.角度1平面向量與三角函數(shù)交匯【例1】（多選）（2021·新高考Ⅰ卷10題）已知O為坐標(biāo)原點，點P1（cosα，sinα），P2（cosβ，－sinβ），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），則（）A.｜OP1｜＝｜B.｜AP1｜＝｜C.OA·OP3＝OD.OA·OP1＝O解析：AC由題可知，｜OP1｜＝cos2α＋sin2α＝1，｜OP2｜＝cos2β＋(-sinβ）2＝1，所以｜OP1｜＝｜OP2｜，故A正確；取α＝π4，則P122，22，取β＝5π4，則P2－22，22，則｜AP1｜≠｜AP2｜，故B錯誤；因為OA·OP3＝cos（α＋β），OP1·OP2＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos（α＋β），所以O(shè)A·OP3＝OP1·OP2，故C正確；因為OA·OP1＝cosα，OP2·OP3＝cosβcos（α＋反思感悟向量與三角函數(shù)結(jié)合時，通常以向量為表現(xiàn)形式，實現(xiàn)三角函數(shù)問題，要注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系.角度2平面向量與解析幾何交匯【例2】（2023·新高考Ⅰ卷16題）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點A在C上，點B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B答案：35解析：法一如圖，設(shè)A（x0，y0），B（0，t），F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）.由對稱性不妨設(shè)t＜0.因為F2A＝－23F2B，所以x0＝5c3，y0＝－2t3.又F1A⊥F1B，所以83c2＝23t2，即t＝－2c.因為｜AF1｜＝435c，｜AF2｜＝235c，所以2a＝｜AF1｜法二如圖，設(shè)A（x0，y0），B（0，t），F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）.由對稱性不妨設(shè)t＜0.因為F2A＝－23F2B，所以x0＝5c3，y0＝－2t3.又F1A⊥F1B，所以83c2＝23t2，即t＝－2c.將A（53c，43c）代入C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），得25b2c2－16a2c2＝9a2b2.因為b2＝c2－a2，所以（5c2－9a2）（5c反思感悟解答平面向量與解析幾何交匯問題的關(guān)鍵是將已知的向量條件等價轉(zhuǎn)化為具體、形象、可操作的圖形、坐標(biāo)或方程，然后利用定義、幾何性質(zhì)等用代數(shù)方法求解.角度3平面向量與平面幾何交匯【例3】在△ABC中，CA＝a，CB＝b，D是AC的中點，CB＝2BE，試用a，b表示DE為，若AB⊥DE，則∠ACB的最大值為.答案：32b－12a解析：DE＝CE－CD＝32b－12a，AB＝CB－CA＝b－a，由AB⊥DE得（3b－a）·（b－a）＝0，即3b2＋a2＝4a·b，所以cos∠ACB＝a·b｜a||b｜＝3b2＋a24｜a||b｜≥23｜a||b｜4｜a||反思感悟用向量方法解決平面幾何問題的思路平面幾何問題向量問題解決向量問題解決平面幾何問題.角度4平面向量與函數(shù)交匯【例4】定義在[x1，x2]上的函數(shù)y＝f（x）的圖象為C，M是C上任意一點，O為坐標(biāo)原點，設(shè)向量OA＝（x1，f（x1）），OB＝（x2，f（x2）），OM＝（x，y），且實數(shù)λ滿足x＝λx1＋（1－λ）x2，此時向量ON＝λOA＋（1－λ）OB.若｜MN｜≤K恒成立，則稱函數(shù)y＝f（x）在[x1，x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似，其中K是一個確定的實數(shù).已知函數(shù)f（x）＝x2－2x在[1，2]上可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似，那么K的最小值是.答案：1解析：由ON＝λOA＋（1－λ）OB得點N在直線AB上，又因為x＝λx1＋（1－λ）x2，所以點M與點N的橫坐標(biāo)相等.由f（x）＝x2－2x（x∈[1，2]）得A（1，－1），B（2，0），則直線AB的方程為y＝x－2，則｜MN｜＝｜x－2－（x2－2x）｜＝｜－x2＋3x－2｜＝｜－（x－32）2＋14｜，x∈[1，2]，所以當(dāng)x＝32時，｜MN｜取得最大值14，又因為｜MN｜≤K恒成立，所以K≥14，反思感悟平面向量與函數(shù)的交匯問題一般涉及平面向量的數(shù)量積與模，解答此類問題的關(guān)鍵是用向量的語言與方法重新審視“數(shù)學(xué)運算”的對象、法則等.考查重點仍然是函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).角度5平面向量與數(shù)列交匯【例5】設(shè)函數(shù)f（x）＝1x+1，點A0表示坐標(biāo)原點，點An（n，f（n））（n∈N*）.若向量an＝A0A1＋A1A2＋…＋An－1An，θn是an與i的夾角（其中i＝（1，0）），設(shè)Sn＝tanθ1＋tanθ2答案：n解析：因為an＝A0A1＋A1A2＋…＋An－1An＝A0An.θn是an與i的夾角，所以tanθn＝1n+1n＝1n（n+1）（其中i＝（1，0）），故Sn＝tanθ1＋tanθ2＋…＋tanθn＝11×2＋12×3＋…反思感悟平面向量與數(shù)列的交匯問題多是利用平面向量的性質(zhì)、運算法則等求得數(shù)列的基本量（或基本量間的關(guān)系），再利用數(shù)列知識解決問題.角度6平面向量與不等式交匯【例6】已知△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·≥P0B·P0C，A.∠ABC＝90° B.∠BAC＝90°C.AB＝AC D.AC＝BC解析：D如圖，以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝4，C（a，b），P（x，0），則BP0＝1，A（－2，0），B（2，0），P0（1，0），所以P0B＝（1，0），PB＝（2－x，0），PC＝（a－x，b），P0C＝（a－1，b）.因為恒有PB·PC≥P0B·P0C，所以（2－x）（a－x）≥a－1恒成立.整理可得x2－（a＋2）x＋a＋1≥0恒成立，所以Δ＝（a＋2）2－4（a＋1）≤0，即a2≤0，所以a＝0，即C在AB的垂直平分線上，所以AC＝BC反思感悟平面向量與不等式的交匯，常利用數(shù)量積的不等關(guān)系，涉及有關(guān)模的問題，采用平方法轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積進(jìn)行“數(shù)學(xué)建模”解決問題.另外，向量的坐標(biāo)法可將抽象的邏輯推理轉(zhuǎn)化為單純的向量的坐標(biāo)運算，凸顯復(fù)雜的字母運算的能力和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.高考還可這樣考1.設(shè)平面向量am＝（m，1），bn＝（2，n），其中m，n∈{1，2，3，4}.記“使得am⊥（am－bn）成立的（m，n）”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為.答案：1解析：易知，有序數(shù)組（m，n）的所有可能結(jié)果為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.由am⊥（am－bn）得m2－2m＋1－n＝0，即n＝（m－1）2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的樣本點為（2，1）和（3，4），共2個.又樣本點的總數(shù)為16，故所求的概率P（A）＝216＝12.設(shè)函數(shù)f（x）＝－x3＋3x＋2分別在x1，x2處取得極小值和極大值.xOy平面上點A，B的坐標(biāo)分別為A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），該平面上動點P滿足PA·PB＝4，點Q是點P關(guān)于直線y＝2（x－4）的對稱點，求：（1）點A，B的坐標(biāo)；（2）動點Q的軌跡方程.解：（1）令f'（x）＝－3x2＋3＝0，解得x＝1或x＝－1.易知函數(shù)f（x）在x＝－1處取得極小值，在x＝1處取得極大值，故x1＝－1，x2＝1，f（－1）＝0，f（1）＝4.所以A（－1，0），B（1，4）.（2）設(shè)P（m，n），Q（x，y），PA·PB＝（－1－m，－n）·（1－m，4－n）＝m2－1＋n2－4n＝4，即m2＋n2－4n－5＝0.①又因為點Q是點P關(guān)于直線y＝2（x－4）的對稱點，所以由對稱的性質(zhì)得y－nx－m×2=－1，y＋n2=2（x＋m2－4）?2n＋m＝x+2y，n－2m=2x－y－163.已知A0（－1，0），點列An（xn，0）滿足：A0An·A1An+1＝a－1，其中n∈N*，且x（1）若xn＋1＝f（xn），求f（x）的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，已知點B（a，0），記an＝｜BAn｜，且an＋1＜an成立，試求a的取值范圍；（3）設(shè)（2）中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，證明：Sn＜a－12－a（解：（1）因為A0（－1，0），A1（1，0），所以A0An·A1An+1＝（xn＋1）（所以（xn＋1）（xn＋1－1）＝a－1，所以xn＋1＝f（xn）＝xn＋axn+1?f（2）因為BAn＝（xn－a，所以an＝｜BAn｜＝｜xn－a｜，又因為an＋1＝｜xn＋1－a｜＝｜f（xn）－a｜＝｜xn＋axn+1－a｜＝a－1｜xn+1｜·｜xn－a｜＜（a－1