第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.通過對有理數(shù)指數(shù)冪amn（a＞0，且a≠1；m，n為整數(shù)，且n＞0）、實數(shù)指數(shù)冪ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含義的認(rèn)識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪2.通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.1.函數(shù)f（x）＝ax－3＋2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（）A.（0，1） B.（0，3）C.（3，3） D.（4，1）解析：C對于函數(shù)f（x），令x－3＝0，可得x＝3，則f（3）＝a0＋2＝3，所以函數(shù)f（x）＝ax－3＋2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（3，3）.故選C.2.已知a＝0.22，b＝30.3，c＝log40.4，則（）A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.c＜b＜a解析：C因為0＜0.22＜0.20＝1，30.3＞30＝1，log40.4＜log41＝0，所以c＜a＜b，故選C.3.函數(shù)f（x）＝1－e｜x｜的圖象大致是（）解析：A易知f（x）為偶函數(shù)，且f（x）＝1－e｜x｜≤0，A正確.4.（2024·沈陽模擬）若?x∈[－2，0]，（12）x－2x－a≤0，則實數(shù)a的取值范圍為（A.（－∞，8] B.[8，＋∞）C.（－∞，1] D.[1，＋∞）解析：D因為?x∈[－2，0]，（12）x－2x－a≤0，所以a≥（（12）x－2x）min，x∈[－2，0]，顯然y＝（12）x－2x在[－2，0]上單調(diào)遞減，所以a≥（12）0－2×0＝1，即實數(shù)a的取值范圍為[1，＋指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)（1）y＝ax，（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b＞0.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象越高，底數(shù)越大.已知y1＝13x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖象大致為（解析：A由結(jié)論知選A.指數(shù)式的運(yùn)算1.化簡4a23b－13÷（A.－2a3bC.－6ab D.解析：C4a23b－13÷（－23a－13b23）＝［4÷（－2.設(shè)α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的兩個根，則2α·2β＝，（2α）β＝.答案：14解析：由根與系數(shù)的關(guān)系得α＋β＝－2，αβ＝15.則2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，（2α）β＝2αβ＝3.（2024·寧波一模）已知f（x）＝2x＋2－x，若f（a）＝3，則f（2a）＝.答案：7解析：∵f（a）＝2a＋2－a＝3，∴f（2a）＝22a＋2－2a＝（2a＋2－a）2－2＝32－2＝7.練后悟通指數(shù)冪的運(yùn)算指數(shù)函數(shù)的圖象與應(yīng)用【例1】（1）（2024·長春模擬）已知函數(shù)f（x）＝（x－a）·（x－b）（其中a＞b）的圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）＝ax＋b的圖象是（）（2）若函數(shù)y＝｜3x－1｜在（－∞，k]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為.答案：（1）A（2）（－∞，0]解析：（1）由圖象可知，b＜－1，0＜a＜1，所以函數(shù)g（x）＝ax＋b是減函數(shù)，g（0）＝1＋b＜0，所以選項A符合.（2）函數(shù)y＝｜3x－1｜的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示.由圖象知，其在（－∞，0]上單調(diào)遞減，所以k的取值范圍為（－∞，0].1.（變條件）若本例（2）條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝｜3x－1｜與直線y＝m有兩個不同交點，則實數(shù)m的取值范圍是.答案：（0，1）解析：函數(shù)y＝｜3x－1｜的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線y＝m的圖象是平行于x軸的一條直線，圖象如圖所示，由圖象可得，如果函數(shù)y＝｜3x－1｜與直線y＝m有兩個不同交點，則m的取值范圍是（0，1）.2.（變條件）若本例（2）條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝｜3x－1｜＋m的圖象不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是.答案：（－∞，－1]解析：作出函數(shù)y＝｜3x－1｜＋m的圖象如圖所示.由圖象知m≤－1，即m∈（－∞，－1].解題技法指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用要點（1）已知函數(shù)解析式判斷其圖象時，可通過圖象經(jīng)過的定點和特殊點來進(jìn)行分析判斷；（2）進(jìn)行圖象識別與應(yīng)用時，可從基本的指數(shù)函數(shù)圖象入手，通過平移、伸縮、對稱等變換得到相關(guān)函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小問題，可通過直線x＝1與圖象的交點進(jìn)行判斷.1.（多選）已知函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1）的圖象如圖所示，則下列四個函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應(yīng)的是（）解析：ABD由題圖可得a1＝2，即a＝2，則y＝a－x＝（12）x，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，圖象過點（－1，2），故A正確；y＝x－a＝x－2為偶函數(shù)，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，在（－∞，0）上單調(diào)遞增，圖象過點（－1，1），（1，1），故B正確；y＝a｜x｜＝2｜x｜＝2x，x≥0，2－x，x<0為偶函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象可知C錯誤；y＝｜logax｜＝2.（多選）已知實數(shù)a，b滿足等式2a＝3b，下列關(guān)系式中可能成立的是（）A.0＜b＜a B.a＜b＜0C.b＜a＜0 D.a＝b解析：ABD作出函數(shù)y＝2x與函數(shù)y＝3x的圖象（如圖），當(dāng)2a＝3b＞1時，根據(jù)圖象得0＜b＜a，故A選項正確；當(dāng)2a＝3b＝1時，根據(jù)圖象得a＝b＝0，故D選項正確；當(dāng)2a＝3b＜1時，根據(jù)圖象得a＜b＜0，故B選項正確；b＜a＜0不可能成立，故選A、B、D.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考向1比較指數(shù)式的大小【例2】（1）已知a＝313，b＝915，c＝（13）－32，則A.a＞b＞c B.c＞a＞bC.b＞a＞c D.c＞b＞a（2）（2023·全國甲卷11題）已知函數(shù)f（x）＝e-(x－1）2，記a＝f（22），b＝f（32），c＝A.b＞c＞a B.b＞a＞cC.c＞b＞a D.c＞a＞b答案：（1）D（2）A解析：（1）由題知，b＝915＝325，c＝（13）－32＝332，又f（x）＝3x在R上是增函數(shù)，所以f（32）＞f（25）＞（2）函數(shù)f（x）＝e-(x－1）2是由函數(shù)y＝eu和u＝－（x－1）2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.易知f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以c＝f（62）＝f（2－62），又22＜2－62＜32＜1，所以f（22）＜f（2－62）＜解題技法比較指數(shù)式大小的方法（1）能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大?。唬?）不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.考向2解簡單的指數(shù)方程或不等式【例3】（1）（2024·常州模擬）若2x2+1≤14x－2，則函數(shù)yA.18，2C.－∞，18 D.[（2）已知實數(shù)a≠1，函數(shù)f（x）＝4x，x≥0，2a－x，x<0，若f（1答案：（1）B（2）1解析：（1）14x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴2x2+1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，此時y＝2x的值域為[2－3（2）當(dāng)a＜1時，41－a＝21，解得a＝12；當(dāng)a＞1時，代入不成立.故a的值為1解題技法指數(shù)方程或不等式的解法（1）解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)：①af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），當(dāng)a＞1時，等價于f（x）＞g（x）；當(dāng)0＜a＜1時，等價于f（x）＜g（x）；（2）解指數(shù)方程或不等式的方法：先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.考向3指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題【例4】（1）（多選）（2024·杭州一模）已知函數(shù)f（x）＝2x－12xA.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱B.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱C.函數(shù)f（x）的值域為（－1，1）D.函數(shù)f（x）是減函數(shù)（2）不等式4x－2x＋1＋a＞0對任意x∈R都成立，則實數(shù)a的取值范圍是.答案：（1）AC（2）（1，＋∞）解析：（1）f（x）的定義域為R，f（x）＝2x－12x+1，則f（－x）＝2－x－12－x+1＝－2x－12x+1＝－f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，A正確，B錯誤；f（x）＝2x－12x+1＝1－22x+1，因為2x＋1＞1，所以0＜12x+1＜1，0＜22x+1＜2，所以－1＜1－22x+1＜1，故f（x）的值域為（－1，1），C正確；設(shè)x2＞x1，則f（x2）－f（x1）＝（1－22x2+1）－（1－22x1+1），22x1+1－22x2+1＝2（2x2－2x1）（2x1+1)(（2）原不等式可化為a＞－4x＋2x＋1對x∈R恒成立，令t＝2x，則t＞0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－（t－1）2＋1≤1，當(dāng)t＝1時，ymax＝1，∴a＞1.解題技法涉及指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題時，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.1.若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列結(jié)論正確的是（）A.a＋b≤0 B.a－b≥0C.a－b≤0 D.a＋b≥0解析：D∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb①，令f（x）＝ex－π－x，則f（x）是R上的增函數(shù)，①式即為f（a）≥f（－b），∴a≥－b，即a＋b≥0.2.（多選）若f（x）＝e1－x2（x∈R），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，A.f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增B.f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減C.f（x）的圖象關(guān)于直線x＝0對稱D.f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）中心對稱解析：BC因為函數(shù)y＝1－x2在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，在（－∞，0）上單調(diào)遞增，y＝ex在定義域R上是增函數(shù)，所以f（x）＝e1－x2在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，在（－∞，0）上單調(diào)遞增，故A錯誤，B正確；又f（－x）＝e1-(-x）2＝e1－x2＝f（x），所以f（x）＝e1－x2（x∈R）為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y3.（2024·韶關(guān)一模）當(dāng)0＜x＜12時，方程ax＝1x（a＞0且a≠1）有解，則實數(shù)a的取值范圍是答案：（4，＋∞）解析：依題意，當(dāng)x∈（0，12）時，y＝ax與y＝1x有交點，作出y＝1x的圖象，如圖，所以a>11.已知a＞0，則a2a3A.a65C.a－56解析：Ba2a3a2＝a2a2.若函數(shù)f（x）＝ax－b的圖象如圖所示，則（）A.a＞1，b＞1B.a＞1，0＜b＜1C.0＜a＜1，b＞1D.0＜a＜1，0＜b＜1解析：D根據(jù)圖象，函數(shù)f（x）＝ax－b是減函數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a∈（0，1），根據(jù)圖象的縱截距，令x＝0，y＝1－b∈（0，1），解得b∈（0，1），即a∈（0，1），b∈（0，1）.3.（2024·合肥模擬）已知a＝223，b＝313，c＝251A.b＜a＜c B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析：A由a＝223＝34，b＝313＝33，c＝2516＝35，4.（2024·黃岡模擬）函數(shù)f（x）＝（12）x2A.（0，16] B.[16，＋∞）C.（0，116］ D.［116，＋解析：A設(shè)u＝x2－6x＋5，則u＝x2－6x＋5＝（x－3）2－4≥－4，g（u）＝（12）u，u≥－4，因為y＝（12）x為減函數(shù)，所以0＜g（u）≤g（－4）＝16，即值域為（0，16]，5.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N（mg/L）與時間t的關(guān)系為N＝N0e－kt（N0為最初污染物數(shù)量）.如果前4小時消除了20％的污染物，那么污染物消除至最初的64％還需要的時間為（）A.3.6小時 B.3.8小時C.4小時 D.4.2小時解析：C由題意可得N0e－4k＝45N0，可得e－4k＝45，設(shè)N0e－kt＝0.64N0＝452N0，可得e－kt＝（e－4k）2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64％還需要46.（多選）（2024·聊城模擬）已知函數(shù)f（x）＝2－x－2x，有下列四個結(jié)論，其中正確的是（）A.f（0）＝0B.f（x）是奇函數(shù)C.f（x）在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)D.對任意的實數(shù)a，方程f（x）－a＝0都有解解析：ABDf（x）＝2－x－2x，則f（0）＝120－20＝0，故A正確；f（－x）＝2x－2－x＝－f（x），所以f（x）是奇函數(shù)，故B正確；f（x）＝12x－2x在R上是減函數(shù)，故C錯誤；當(dāng)x→－∞時，f（x）→＋∞；當(dāng)x→＋∞時，f（x）→－∞，即f（x）的值域是（－∞，＋∞），它又是R上的減函數(shù)，因此對任意實數(shù)a，f（x）＝a都有解，7.寫出一個同時滿足下列兩個條件的非常數(shù)函數(shù).①當(dāng)x1x2≥0時，f（x1＋x2）＝f（x1）f（x2）；②f（x）為偶函數(shù).答案：f（x）＝2｜x｜（答案不唯一）解析：若滿足①對任意的x1x2≥0有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）成立，則對應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y＝ax的形式；若滿足②f（x）為偶函數(shù)，只需要將x加絕對值即可，所以滿足①②兩個條件的函數(shù)滿足f（x）＝a｜x｜（a＞0，a≠1）即可.8.已知函數(shù)f（x）＝b·ax（其中a，b為常數(shù)，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點A（1，6），B（3，24）.（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）若不等式1ax＋1bx－m≥0在x∈（－∞，1]上恒成立，解：（1）因為f（x）的圖象經(jīng)過點A（1，6），B（3，24），所以b所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3.所以f（x）＝3·2x.（2）由（1）知a＝2，b＝3，則當(dāng)x∈（－∞，1]時，12x＋13x－m≥0恒成立，即m≤12x＋13x在x∈又因為y＝12x與y＝13x均為減函數(shù)，所以y＝1所以在x∈（－∞，1]上，當(dāng)x＝1時，y＝12x＋13則m≤56，故m的取值范圍是－9.（2024·蘇州一模）已知p：－1＜x＜2，q：2x＋1－x＜2，則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B對于不等式2x＋1＜x＋2，作出曲線y＝2x＋1與y＝x＋2的圖象如圖所示，由圖象可知，不等式2x＋1＜x＋2的解集為{x｜－1＜x＜0}，因為{x｜－1＜x＜0}?{x｜－1＜x＜2}，因此，p是q的必要不充分條件，故選B.10.（2024·秦皇島一模）不等式ex2－x－1＞2＋e＋x－A.（－1，2）∪（2，＋∞）B.（－∞，－1）∪（3，＋∞）C.（－∞，1）∪（2，＋∞）D.（－∞，－1）∪（2，＋∞）解析：D構(gòu)造函數(shù)f（x）＝ex＋x，易知函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù).因為不等式ex2－x－1＞2＋e＋x－x2等價于ex2－x－1＋（x2－x－1）＞e＋1，又f（1）＝e＋1，所以f（x2－x－1）＞f（1），所以由函數(shù)f（x）的單調(diào)性知x2－x－1＞1，即x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，所以原不等式的解集為（－∞，11.（多選）關(guān)于函數(shù)f（x）＝14x+2的性質(zhì)，下列說法中正確的是A.函數(shù)f（x）的定義域為RB.函數(shù)f（x）的值域為（0，＋∞）C.方程f（x）＝x有且只有一個實根D.函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形解析：ACD函數(shù)f（x）＝14x+2的定義域為R，所以A正確；因為y＝4x為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）＝14x+2為減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的值域為0，12，所以方程f（x）＝x只有一個實根，所以B不正確，C正確；因為f（x＋1）＋f（－x）＝14x+1+2＋14－x+2＝14·412.（多選）（2024·宜昌模擬）若函數(shù)f（x）＝a＋22x+1（x∈R）是奇函數(shù)，下列選項正確的是A.a＝－1B.f（x）是增函C.f（x）是減函數(shù)D.不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0的解集為t解析：ACD因為f（x）＝a＋22x+1（x∈R）是奇函數(shù)，所以f（0）＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1，A正確；因為y＝2x＋1為增函數(shù)，且y＝2x＋1＞1，所以y＝22x+1為減函數(shù)，所以f（x）是減函數(shù)，B不正確，C正確；因為f（x）是奇函數(shù)，所以不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0等價于不等式f（2t＋1）≤f（5－t），因為f（x）是減函數(shù)，所以2t＋1≥5－t，解得t≥43，D正確13.對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0滿足f（－x0）＝－f（x0），則稱函數(shù)f（x）為“倒戈函數(shù)”.設(shè)f（x）＝3x＋m－1（m∈R，m≠0）是定義在[－1，1]上的“倒戈函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是.答案：［－23，解析：∵f（x）＝3x＋m－1是定義在[－1，1]上的“倒戈函數(shù)”，∴存在x0∈[－1，1]滿足f（－x0）＝－f（x0），∴3－x0＋m－1＝－3x0－m＋1，∴2m＝－3－x0－3x0＋2，構(gòu)造函數(shù)y＝－3－x－3x＋2，x∈[－1，1]，令t＝3x，t∈［13，3］，y＝－1t－t＋2＝2－（t＋1t）在［13，1）上單調(diào)遞增，在（1，3]上單調(diào)遞減，∴t＝1時取得最大值0，t＝13或t＝3時取得最小值－43，y∈［－43，0］，又m≠014.已知定義域為R的函數(shù)f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是奇函數(shù).（1）求實數(shù)k的值；（2）若f（1）＜0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，若f（m2－2）＋f（m）＞0，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∴f（0）＝a0－（k－1）a0＝1－（k－1）＝0，∴k＝2，經(jīng)檢驗k＝2符合題意，∴k＝2.（2）f（x）＝ax－a－x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a－1a＜0，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1∴y＝ax在R上為減函數(shù)，y＝a－x在R上為增函數(shù)，故由單調(diào)性的性質(zhì)可判斷f（x）＝a