第14講冪函數(shù)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點強知識：5大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

知識點1冪函數(shù)的定義

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．

知識點25個常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1

23－1

函數(shù)y＝xy＝xy＝xyx2y＝x

定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}

值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}

非奇非偶

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

函數(shù)

在(－∞，0)

在(－∞，0)

在R上單調(diào)遞上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞在(0，＋∞)

單調(diào)性和(0，＋∞)

增在(0，＋∞)增上單調(diào)遞增

上單調(diào)遞減

上單調(diào)遞增

圖象

過定點(0,0)，(1,1)(1,1)

知識點3一般冪函數(shù)的性質(zhì)

1、所有的冪函數(shù)在（0，+）上都有定義，并且圖象都過點（1，1）；

2、如果＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間0，上單調(diào)遞增；

3、如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從左邊趨向于原點

時，圖α象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點趨向于+∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；

4、在（1，+∞）上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸。

解題方法

1

由題意可知，兩個冪函數(shù)yx與y的圖象如圖，

x

教材習(xí)題01

1

函數(shù)yx可以看作兩個冪函數(shù)

x

1

對于函數(shù)，定義域為，

1yx,00,

yx與y的差，請通過函數(shù)圖象x

x

1

當(dāng)x(,1)時，yx0，當(dāng)x=1時，

討論這個函數(shù)的函數(shù)值符號的變化x

情況和單調(diào)性．11

yx0，當(dāng)x(1,0)時，yx0，

xx

1

x(,0)時，函數(shù)yx是增函數(shù)；

x

11

當(dāng)x(0,1)時，yx0，當(dāng)x1時，yx0，

xx

1

當(dāng)x(1,)時，yx0，

x

1

x(0,)時，函數(shù)yx是增函數(shù)；

x

【答案】見解析

教材習(xí)題02解題方法

x

yyx

yx0,x0x16

比較和4在上增長的快慢．解：如圖所示，令x，解得或，

yy0y4

4

即兩個函數(shù)的圖象交點為(0,0),(16,4)，

x

開始yx一路領(lǐng)先，但越來越慢；y勻速前進；

4

在x16處兩者相等．

x

當(dāng)x16時，可得x4x，即一直有x，而且前

4

者與后者之比x越來越大，

4

x

所以y增長得更快．

4

【答案】見解析

解題方法

設(shè)冪函數(shù)fxx．

由已知條件得

教材習(xí)題0314

f88168288383．

設(shè)fx是冪函數(shù)，已知f816，求f9，f64．

44

故，3，

3fxx

44

于是f993，f64643256．

4

【答案】f993，f64256

考點一判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)

1．下列函數(shù)中，屬于冪函數(shù)的是（）

1

A．y(2x)2B．yxC．yD．y2x

x

2．下列函數(shù)是冪函數(shù)且是奇函數(shù)的是（）

A．y=2xB．y=x2

1

0

C．yx3D．yx

（多選題）3．下列關(guān)于冪函數(shù)yxa的性質(zhì)，描述正確的有（）

A．當(dāng)a1時，函數(shù)在其定義域上為減函數(shù)B．當(dāng)a0時，函數(shù)yxa不是冪函數(shù)

C．當(dāng)a2時，函數(shù)是偶函數(shù)D．當(dāng)a3時，函數(shù)與x軸有且只有一個交點

（多選題）4．已知函數(shù)fx2x，命題p：xN，fxx，則錯．誤．的有（）

A．fx為冪函數(shù)B．f2x2x1

C．p是真命題D．p的否定是xN，fxx

考點二求冪函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則

（多選題）1．下列關(guān)于冪函數(shù)yxa的性質(zhì)，描述正確的有（）

A．當(dāng)a1時，函數(shù)在其定義域上為減函數(shù)B．當(dāng)a0時，函數(shù)yxa不是冪函數(shù)

C．當(dāng)a2時，函數(shù)是偶函數(shù)D．當(dāng)a3時，函數(shù)與x軸有且只有一個交點

（多選題）2．已知函數(shù)fx2x，命題p：xN，fxx，則錯．誤．的有（）

A．fx為冪函數(shù)B．f2x2x1

C．p是真命題D．p的否定是xN，fxx

1

3．已知冪函數(shù)yfx的圖像經(jīng)過點16,.

2

(1)求此冪函數(shù)的表達(dá)式和定義域；

(2)若fa1f42a，求實數(shù)a的取值范圍.

4．已知冪函數(shù)fx3m22mxm的定義域不為R.

(1)求fx的解析式；

(2)若不等式fa1f2a30恒成立，求a的取值范圍.

5．已知函數(shù)fxxm2，且f415f216．

(1)求fx的解析式；

(2)求函數(shù)gxf2x4x23在1,2上的值域．

考點三冪函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用

1．已知冪函數(shù)fxm2m1xm的圖象與坐標(biāo)軸無公共點，則m（）

A．－2B．1C．－2或1D．－1或2

1

2．如圖所示的曲線是冪函數(shù)yxn在第一象限的圖象，已知n取2,四個值，則相對應(yīng)的曲線C,C,C,C

21234

的n值依次為（）

11111111

A．2，,,2B．,,2，2C．,,2，2D．2,,，2

22222222

1

3．函數(shù)yx2的圖象大致為（）

A．B．C．

D．

4．冪函數(shù)yx1及直線yx，y1，x1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個“卦限”：①，②，③，

1

④，⑤，⑥，⑦，⑧（如圖所示）．那么冪函數(shù)yx2的圖象經(jīng)過的“卦限”是（）

A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤

1

5．若直線yt0t1與冪函數(shù)yx3,yx,y的圖象依次交于不同的三點A,B,C，則下列說法正確

x

的是（）

1

A．AB3tB．BC3tt2

t

1

C．ACt2D．以上說法都不正確

t

考點四冪函數(shù)的單調(diào)性

1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0,)單調(diào)遞增的是（）

A．yx3B．y|x|1

C．yx21D．y2|x|

2．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在,0上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）

8

A．yx4B．yC．y2x21D．y7x

x

fx,fxgx

3．已知f(x)(xa)2，g(x)1x3，hx，若h(x)1恒成立，則a的取值范圍是（）

gx,fxgx

A．0,1B．1,0C．1,D．,1

1,x0,a

4．已知函數(shù)fx3若對于任意x1，fxaf，則實數(shù)a的取值范圍是（）

x1,x0,x

1

A．,1B．1,C．,D．1,1

2

1

5．函數(shù)fx(x22x3)2的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A．,1B．0,1C．1,D．3,

6．已知函數(shù)f(x)x1x，則（）

A．f(x)的最大值為2B．f(x)的最大值為1

C．f(x)的最小值為1D．f(x)的最小值為0

考點五冪函數(shù)的奇偶性

2m

1．已知冪函數(shù)fxm3m3x是R上的偶函數(shù)，且函數(shù)gxfx2ax在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減，

則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．3,B．,1C．,1D．,13,

2．若冪函數(shù)fxm2m5xm的圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)m的值為（）

A．2B．2C．3D．3

3．已知函數(shù)fxm23m3xm是冪函數(shù)，且fx是奇函數(shù)，則m．

4．已知冪函數(shù)fx2m29m5xm是偶函數(shù).

(1)求fx的解析式；

(2)設(shè)gx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，gxfx2x，求函數(shù)gx的解析式.

mm

3m9*

5．已知冪函數(shù)yx(mN)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在0,上單調(diào)遞減，求滿足a3552a5

的a的取值范圍．

知識導(dǎo)圖記憶

知識目標(biāo)復(fù)核

1．冪函數(shù)的定義

2．五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3．冪函數(shù)恒過定點

1

1．函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

x210x

A．,0B．10,C．5,10D．5,

33

113

2．已知a，b，c2，則（）

23

A．bacB．bcaC．cabD．cba

1a22b2

3．已知函數(shù)fx2x對稱中心在直線yaxba0上，則的最小值為（）

x12a

A．434B．434C．264D．264

4．“0”是“函數(shù)fxxR在區(qū)間0,上單調(diào)遞增”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

4

5．函數(shù)yx3的圖象是（）

A．B．

C．D．

x2

6．函數(shù)f(x)的圖象為（）

x1

A．B．

C．D．

7．設(shè)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點4,2．若0ab1，則下列關(guān)系正確的是（）

1111

A．fafbffB．fffbfa

abab

1111

C．fafbffD．ffaffb

baab

2

8．若函數(shù)fxm2m1xm2m3是冪函數(shù)，則實數(shù)m的值是（）

A．1或2B．1C．2D．1或2

x,x0,

．已知函數(shù)fx則不等式2的解集為（）

92faf2a1

xx,x0,

1717717

A．a(chǎn)a0B．a(chǎn)aC．a(chǎn)|aD．a(chǎn)a

288

x22ax3a,x1,

．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）

10f(x)3R

x1,x1

A．(,1]B．[1,0]C．[0,1]D．[1,1]

22m1fx1fx2

11．已知函數(shù)fxm3m3x是冪函數(shù)，對任意的x1,x2,0且x1x2，滿足0，

x1x2

若a,bR,ab0，則fafb的值（）

A．恒大于0B．恒小