第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省德州市高一（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設復數z=1+i，則z?z=A.?i B.i C.?2i D.2i2.已知(1,2)是角α終邊上一點，則tan2α=(

)A.?43 B.?34 C.3.在某次模擬考試后，數學老師隨機抽取了8名同學的第一個解答題的得分，得分為：10，5，7，8，7，9，4，2，閱這組數據的75%分位數是(

)A.6.5 B.8 C.8.5 D.94.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F分別是CC1A.3010 B.105 C.5.已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是(

)A.若m//n，n?α，則m//α B.若m//α，m//β，則α//β

C.若m⊥n，n?α，則m⊥α D.若m?α，n⊥α，則m⊥n6.某次物理競賽，得分在[120,130)的有15人，他們的平均分為128，方差為2.得分在[130,140]的有9人，他們的平均分為136，方差為1，則得分在[120,140]的平均分與方差為(

)

參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為：

n1,x?,s12,A.130，16.625 B.131，17.875 C.131，16.625 D.130，17.8757.若0<α<π,cosα2=A.?7210 B.?28.已知一個圓錐的側面展開圖是個半圓，利用斜二測畫法畫此圓錐時，直觀圖的底面曲線中心在原點O′，底面曲線與x′軸、y′軸正半軸分別交于A，B兩點，已知△O′AB面積為28.若圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個底面半徑為12A.73π24 B.3π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則(

)A.ω=3

B.φ=π2

C.f(x)關于點(π6,0)對稱10.復數z=cosθ+isinθ(其中i為虛數單位，θ∈R)，則(

)A.|z|=1

B.|z+4?3i|的最大值為6

C.當θ=56π時，復數z對應的點在第四象限

D.當θ=π4時，11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分別是AA1，CC1，C1A.存在點Q，使PQ//平面MBN

B.MN與PB為異面直線

C.線段QR的最小值是2

D.經過M，B，C，N四點的球的表面積為9π

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(?2,2)，b=(m+1,2m)，c=(2,?1)，若(2a+13.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，先投中者獲勝，一直到有人獲勝或者每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為13，乙每次投籃投中的概率為12，且各次投籃互不影響.若甲先投，則甲獲勝的概率為______．14.已知△ABC中，AB=AC=4，BC=2，將頂點C繞棱AB旋轉到C′，當CC′=22時，三棱錐A?BCC′的體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某中學為研究本校高一學生在市聯(lián)考中的數學成績，隨機抽取了100位同學的數學成績作為樣本，得到以[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140]分組的樣本頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)求直方圖中a的值，并估計本次聯(lián)考該校數學成績的中位數；

(2)現在從分數在[80,90)和[90,100)的學生中采用分層隨機抽樣的方法共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的兩人恰好一人分數在[80,90)內，另一人分數在[90,100)內的概率．16.(本小題15分)

如圖.在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=BC=2，M是PB的中點．

(1)求三棱錐P?ABC的表面積；

(2)求二面角M?AC?B的平面角的正弦值．17.(本小題15分)

已知直三棱柱ABC?A1B1C1，AB⊥AC，D，E分別是邊AB，B1C1的中點．

(1)證明：DE//平面ACC1A1；

(2)若三棱錐C118.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，m=(a,b+c)，n=(3sinC+cosC,1)，m?n=2b+3c．

(1)求A；

(2)已知BM=2MC，AM=2．

(i)若S△ABC=9219.(本小題17分)

甲、乙兩人玩擲骰子游戲，由甲先擲一次骰子，記向上的點數為a，接下來甲有2種選擇：

①甲直接結束擲骰子，換由乙擲骰子一次，向上的點數記為b，若a+b≤6，則乙贏，否則甲羸，游戲結束；

②甲再擲一次骰子，向上的點數記為c，若a+c>6，則乙贏，游戲結束；

若a+c≤6，甲結束擲骰子，換由乙擲骰子一次，向上的點數記為d，若a+c+d≤6，則乙贏，否則甲贏，游戲結束．

問：(1)若甲只擲骰子1次，求甲贏的概率；

(2)若甲擲骰子2次，求甲贏的概率；

(3)當甲第一次擲骰子向上的點數為多少時，甲選擇①贏得游戲的概率更大？

答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】把z=1+i代入z?z，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【解答】

解：∵z=1+i，

∴z?z=1?i2.【答案】A

【解析】解：因為(1,2)是角α終邊上一點，

所以tanα=2，

則tan2α=2tanα1?tan2α=41?4=?3.【答案】C

【解析】解：8名同學的第一個解答題的得分，得分為：10，5，7，8，7，9，4，2，

將數據按升序排列可得：2，4，5，7，7，8，9，10，

∵8×75%=6，

∴這組數據的75%分位數8+92=8.5．

故選：C．

將數據按升序排列，結合百分位數的定義運算求解．4.【答案】D

【解析】解：取DD1的中點G，連接GA，GF，GE，

因為E，G分別是CC1，DD1的中點，CC1//DD1，

所以DG=12DD1，CE=12CC1，

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，CC1//DD1，CC1=DD1

所以DG/?/CE，DG=CE，

所以四邊形DGEC為平行四邊形，

所以GE//DC//AB，GE=DC=AB，

所以四邊形AGEB為平行四邊形，所以AG//BE，

故∠GAF為異面直線AF與BE所成角或其補角，

設正方體的棱長為2，

因為E，F，G分別是CC1，CD，DD1的中點，5.【答案】D

【解析】解：若m/?/n，n?α，則m/?/α或m?α，所以A選項錯誤；

若m/?/α，m//β，則α與β平行或相交成任意角，所以B錯誤；

若m⊥n，n?α，則m與α相交或m?α或m/?/α，所以C選項錯誤；

若m?α，n⊥α，則m⊥n，所以D正確．

故選：D．

舉反例可判斷ABC；由線面垂直的性質定理可判斷D．

本題考查空間中各要素的位置關系，屬基礎題．6.【答案】C

【解析】解：由題意代入數據，可得ω?=1524×128+924×136=131，

s27.【答案】B

【解析】解：因為0<α<π，則0<α2<π2，

又因為cosα2=1010，則sinα2=31010，

所以sinα=2sinα28.【答案】A

【解析】解：設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，

則πl(wèi)=2πr，所以l=2r，

所以圓錐的高為?=l2?r2=3r，

由斜二測畫法可知O′A=r，O′B=r2，∠AO′B=45°，

所以三角形O′AB的面積為12×r×12r×22=28，解得r=1．

所以圓錐的高為?=3r=3，

若圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個底面半徑為12的圓錐，

9.【答案】AB

【解析】解：由題圖知：函數f(x)的最小正周期T=2π3，

則ω=2π2π3=3，A=2，所以函數f(x)=2cos(3x+φ)．

將點(π2,2)代入解析式中可得2=2cos(3×π2+φ)，

即sinφ=1，則φ=2kπ+π2(k∈Z)，

因為0<φ<π，所以φ=π2，故A，B正確；

f(x)=2cos(3x+π2)=?2sin3x，

∴f(π6)=?2sin(3×π6)=?2≠0，

所以f(x)的圖象關于點(π6,0)不對稱，故C不正確；

因為f(π3)=?2sin(3×π3)=010.【答案】ABD

【解析】解：對于A，|z|=cos2θ+sin2θ=1，選項A正確；

對于B，由A可知復數z在復平面對應點軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，

|z+4?3i|表示的是點(?4,3)到以原點為圓心，1為半徑的圓上點的距離，

其最大值為點(?4,3)到原點的距離加半徑，即(?4)2+32+1=6，選項B正確；

對于C，當θ=5π6時，復數z=?32+12i，對應的點為(?32,12)，在第二象限，選項C錯誤；

對于D，當θ=π4時，復數z=22+211.【答案】ABD

【解析】解：對A，存在，當Q為A1D1的中點時，PQ/?/平面MBN，如圖，連接PQ，A1C1，

由M，N，P分別是AA1，CC1，C1D1的中點，所以PQ//A1C1//MN，

由PQ?平面MBN，MN?平面MBN，所以PQ/?/平面MBN，正確；

對B，如圖，連接A1B

由A1B/?/PN，而A1B∩MB=B，MB，PN分別在兩個平行的平面內，所以MN與PB為異面直線，正確；

對C，建立如圖所示的空間直角坐標系，

所以A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，N(0,2,1)，M(2,0,1)，

設點Q(2x,0,2)，BR=λBN，則0≤x≤1，0≤λ≤1，BR=(?2λ,0,λ)，

所以點R的坐標為(2?2λ,2,λ)，

所以|QR|=(2?2λ?2x)2+4+(λ?2)2，

所以當x=1?λ=0，λ=1時，|QR|取最小值，最小值為5，C錯誤；

對D，設經過M，B，C，N四點的球的球心O坐標為(a,b,c)，

所以OB=OCOM=ON12.【答案】?1

【解析】解：因為向量a=(?2,2)，b=(m+1,2m)，

所以2a+b=(m?3,2m+4)，

又因為(2a+b)//c，

所以?1×(m?3)=2(2m+4)，

13.【答案】1327【解析】解：甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，先投中者獲勝，

一直到有人獲勝或者每人都已投球3次時投籃結束，

設甲每次投籃投中的概率為13，乙每次投籃投中的概率為12，

各次投籃互不影響．投籃1次甲獲勝概率為13，

投籃3次甲獲勝概率為23×12×13=19，

投籃5次甲獲勝概率為23×12×2314.【答案】2【解析】解：AC′=AC=AB=4，BC′=BC=2，

由CC′=22，得BC′2+BC2=CC′2，則∠C′BC=90°，

取CC′中點O，連接AO，BO，則BO=2,AO=AC2?OC2=14，

顯然BO2+AO2=16=AB2，則AO⊥BO，

又AO⊥CC′，BO∩CC′=O15.【答案】a=0.01，中位數為108；

815．【解析】(1)由頻率分布直方圖可得(0.006+0.012+0.04+0.026+a+0.006)×10=1，

解得a=0.01，

本次聯(lián)考該校數學成績在[80,90)的頻率為0.006×10=0.06，

在[90,100)的頻率為0.012×10=0.12，

在[100,110)的頻率為0.04×10=0.4，

因為0.06+0.12=0.18<0.5，0.06+0.12+0.4=0.58>0.5，

所以中位數在[100,110)之間，設為m，

則0.06+0.12+(m?100)×0.04=0.5，

解得m=108，

所以本次聯(lián)考該校數學成績的中位數為108；

(2)成績在[80,90)的人數與成績在[90,100)的頻率的人數之比為1：2，

抽取的6人中成績在[80,90)的有2人，成績在[90,100)的頻率的有4人，

假設成績在[80,90)的2人分別記為A1，A2，成績在[80,90)的4人分別記為B1，B2，B3，B4.隨機抽取兩人的樣本空間為：

{A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,

A2B4，B1B16.【答案】6+2+4；【解析】(1)因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

，

所以PA⊥BC，

又因為AC⊥BC，AC∩PA=A，AC，PA?面PAC，

所以BC⊥面PAC．

又PC?面PAC，所以BC⊥PC，

又因為PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，

故PA⊥AB，

即△ABC中,AC⊥BC,PA=2,AC=BC=2，

所以AB=22,PC=6，

所以S△PAB=12×22×2=2,S△PBC=12×2×6=6，S△PAC=12×2×2=2,S△ABC=12×2×2=2，

所以三棱錐P?ABC的表面積S=6+2+4；

(2)取AC中點N，取AB中點E，連接MN，ME，EN．

由(1)知PC⊥BC，

因為M是PB的中點，

所以在Rt△PCB中，MC=12PB，

又PA⊥AB，

在Rt△PAB中，MA=12PB，

所以MC=MA，

所以MN⊥AC，

又因為NE/?/BC，AC⊥BC，

所以NE⊥AC，

又因為面MAC∩面ABC=AC，

所以∠MNE為二面角M?AC?B的平面角．

在Rt△MEN中，ME=12PA=217.【答案】證明見解析；

22【解析】(1)證明：取A1C1中點F，連接EF，FA，

則EF為△A1B1C1中位線，

所以EF//A1B1，EF=12A1B1

又AD//A1B1AD=12A1B1，

所以EF/?/AD，且EF=AD，

所以四邊形ADEF為平行四邊形，

所以DE/?/AF，

又因為AF?平面ACC1A1，DE?平面ACC1A1，

所以DE/?/平面ACC1A1；

(2)由題可知AA1⊥AB，AB⊥AC，AA1∩AC=A．

所以AB⊥面AA1C1C，

因為三棱錐C1?A1CB即三棱錐B?A1C1C，

所以V三棱錐B?A1C1C=18.【答案】A=2π3；

(i)c+2b=12；(ii)3【解析】(1)根據題意可知，m?n=2b+3c，得3asinC+acosC+b+c=2b+3c，

∴3asinC+acosC=b+2c，

根據正弦定理得3sinAsinC+sinAcosC=sinB+2sinC，

故3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+2sinC，

∴3sinAsinC=sinC(cosA+2)，

∵C∈(0,π)，sinC≠0，∴3sinA?cosA=2，整理得sin(A?π6)=1，

又∵A∈(0,π),A?π6∈(?π6,56π),A?π6=π2，∴A=2π3；

(2)根據題意可知，BM=2MC，則AM=13AB+23AC，

得|AM|2=(13AB+23AC)2=19AB2+49AC2+49AB?AC，

∵AB=c，AC=b，AM=2，即|AM|=2，

∴4=19c2+49b2+49b?ccos2π3=19c2+49b2?29b?c，

即36=c2+4b2?2bc=(c+2b)2?6bc，

(i)根據題意可知，S△ABC=9219.【答案】712；

35108；

3或4或5或6【解析】(1)如果甲只擲骰子1次，甲贏的情況如下，

如果甲擲出向上的點數為1，乙擲出向上的點數為6，此時有1種情況，

如果甲擲出向上的點數為2，乙擲出向上的點數為6、5，此時有2種情況，

如果甲擲出向上的數點為3，乙擲出向上的點數為6、5、4，此時有3種情況，

依此類推，甲贏的情況共有1+2+3+4+5+6=21種，

根據古典概型概率公式，

將m=21，n=36代入公式，可得甲贏的概率P=2136=712，

綜上，如果甲只擲骰子1次，甲贏的概率為712；

(2)如果甲擲骰子2次，甲贏的情況如下，

①甲第1次擲骰子向上的點數為1，

如果第2次擲骰子向上的點數為1，乙擲骰子向上的點數為6，5，此時有2種情況，

如果第2次擲骰子向上的點數為2，乙擲骰子向上的點數為6、5、4，此時有3種情況，

依此類推

如果第2次擲骰子向上的點數為5，乙擲骰子向上的點數為6、5、4、3、2、1，此時有6種情況，

以上有2+3+4+5+6=20種情況，

②甲第1次擲骰子向上的點數為2，

如果第2次擲骰子向上的點數為1，乙擲骰子向上的點數為6、5、4，此時有3種情況，

如果第2次