解方程組的數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在解線性方程組時(shí)，若方程組中有一個(gè)方程是其余方程的線性組合，則該方程組（）。

A.無(wú)解

B.有唯一解

C.有無(wú)窮多解

D.解不確定

2.矩陣的初等行變換不改變矩陣的（）。

A.行秩

B.列秩

C.秩

D.行向量組

3.線性方程組Ax=b中，若矩陣A的秩為r，增廣矩陣的秩為r+1，則該方程組（）。

A.有唯一解

B.有無(wú)窮多解

C.無(wú)解

D.解不確定

4.在線性方程組Ax=b中，若矩陣A為滿秩矩陣，則該方程組（）。

A.無(wú)解

B.有唯一解

C.有無(wú)窮多解

D.解不確定

5.線性方程組Ax=b的解集是（）。

A.一個(gè)點(diǎn)

B.一條直線

C.一個(gè)平面

D.無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的集合

6.若線性方程組Ax=b有解，則其解集的幾何意義是（）。

A.兩條直線的交點(diǎn)

B.兩個(gè)平面的交線

C.三個(gè)平面的交點(diǎn)

D.兩個(gè)平面和一條直線的交線

7.在解線性方程組時(shí)，若方程組中有一個(gè)方程是全零向量，則該方程組（）。

A.無(wú)解

B.有唯一解

C.有無(wú)窮多解

D.解不確定

8.若線性方程組Ax=b的解集是空集，則矩陣A的秩（）。

A.小于b的維數(shù)

B.等于b的維數(shù)

C.大于b的維數(shù)

D.與b的維數(shù)無(wú)關(guān)

9.在解線性方程組時(shí)，若方程組中有一個(gè)方程是其余方程的線性組合，且增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩相等，則該方程組（）。

A.無(wú)解

B.有唯一解

C.有無(wú)窮多解

D.解不確定

10.若線性方程組Ax=b的解集是無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的集合，則矩陣A的秩（）。

A.小于x的維數(shù)

B.等于x的維數(shù)

C.大于x的維數(shù)

D.與x的維數(shù)無(wú)關(guān)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些方法是解線性方程組的常用方法？（）

A.高斯消元法

B.克拉默法則

C.迭代法

D.矩陣分解法

2.線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是？（）

A.矩陣A的秩等于增廣矩陣的秩

B.矩陣A的秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)

C.向量b可以由矩陣A的列向量線性表示

D.矩陣A是滿秩矩陣

3.下列哪些性質(zhì)是線性方程組的解集具有的性質(zhì)？（）

A.解集是一個(gè)點(diǎn)

B.解集是一條直線

C.解集是一個(gè)平面

D.解集是無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的集合

4.在解線性方程組時(shí)，下列哪些情況會(huì)導(dǎo)致方程組無(wú)解？（）

A.矩陣A的秩小于增廣矩陣的秩

B.矩陣A的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)

C.向量b不能由矩陣A的列向量線性表示

D.矩陣A是奇異矩陣

5.下列哪些方法可以用來(lái)判斷線性方程組解的唯一性？（）

A.矩陣A的行列式不為零

B.矩陣A的秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)

C.線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組只有零解

D.矩陣A是滿秩矩陣

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若線性方程組Ax=b有解，且矩陣A的秩為r，則其解集的維數(shù)為______。

2.在解線性方程組時(shí)，若方程組中有一個(gè)方程是全零向量，則該方程組的解集是______。

3.若線性方程組Ax=b的解集是空集，則矩陣A的秩與增廣矩陣的秩的關(guān)系是______。

4.若線性方程組Ax=b的解集是無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的集合，且矩陣A的秩為r，則其解集的維數(shù)為______。

5.在解線性方程組時(shí)，若方程組中有一個(gè)方程是其余方程的線性組合，且增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩相等，則該方程組的解集是______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解下列線性方程組：

\[

\begin{cases}

x_1+2x_2+3x_3=1\\

2x_1+5x_2+7x_3=4\\

3x_1+4x_2+5x_3=2

\end{cases}

\]

2.解下列線性方程組：

\[

\begin{cases}

x_1-x_2+x_3=2\\

2x_1+x_2-3x_3=1\\

-x_1+2x_2+x_3=3

\end{cases}

\]

3.解下列線性方程組：

\[

\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1\\

x_1+2x_2+3x_3=2\\

x_1+3x_2+5x_3=3

\end{cases}

\]

4.解下列線性方程組：

\[

\begin{cases}

2x_1+3x_2-x_3=1\\

3x_1+2x_2+2x_3=2\\

x_1+x_2-3x_3=-1

\end{cases}

\]

5.解下列線性方程組：

\[

\begin{cases}

x_1+2x_2-x_3=1\\

2x_1+4x_2-2x_3=2\\

x_1+2x_2-2x_3=0

\end{cases}

\]

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.C

3.C

4.B

5.D

6.A

7.C

8.A

9.C

10.A

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.ABCD

2.AC

3.ABCD

4.AC

5.ABD

三、填空題答案

1.n-r

2.全體實(shí)數(shù)空間

3.A的秩小于增廣矩陣的秩

4.n-r

5.無(wú)窮多個(gè)解

四、計(jì)算題答案及過(guò)程

1.解：

對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換：

\[

\begin{pmatrix}

1&2&3&1\\

2&5&7&4\\

3&4&5&2

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R2-R1*2}

\begin{pmatrix}

1&2&3&1\\

0&1&1&2\\

3&4&5&2

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R3-R1*3}

\begin{pmatrix}

1&2&3&1\\

0&1&1&2\\

0&-2&-4&-1

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R3+2*R2}

\begin{pmatrix}

1&2&3&1\\

0&1&1&2\\

0&0&0&3

\end{pmatrix}

\]

由于增廣矩陣的秩為3，系數(shù)矩陣的秩為2，故無(wú)解。

2.解：

對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換：

\[

\begin{pmatrix}

1&-1&1&2\\

2&1&-3&1\\

-1&2&1&3

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R2-R1*2}

\begin{pmatrix}

1&-1&1&2\\

0&3&-5&-3\\

-1&2&1&3

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R3+R1}

\begin{pmatrix}

1&-1&1&2\\

0&3&-5&-3\\

0&1&2&5

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R2-R3*3}

\begin{pmatrix}

1&-1&1&2\\

0&0&-11&-18\\

0&1&2&5

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R2/-11}

\begin{pmatrix}

1&-1&1&2\\

0&0&1&18/11\\

0&1&2&5

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R1-R3}

\begin{pmatrix}

1&-1&0&-3/11\\

0&0&1&18/11\\

0&1&0&-1/11

\end{pmatrix}

\]

解得：x1=-3/11,x2=-1/11,x3=18/11。

3.解：

對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換：

\[

\begin{pmatrix}

1&1&1&1\\

1&2&3&2\\

1&3&5&3

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R2-R1}

\begin{pmatrix}

1&1&1&1\\

0&1&2&1\\

1&3&5&3

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R3-R1}

\begin{pmatrix}

1&1&1&1\\

0&1&2&1\\

0&2&4&2

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R3-R2*2}

\begin{pmatrix}

1&1&1&1\\

0&1&2&1\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}

\]

解得：x1=1-x2-x3,x2=1-2x3,x3為自由變量。

4.解：

對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換：

\[

\begin{pmatrix}

2&3&-1&1\\

3&2&2&2\\

1&1&-3&-1

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R2-R1*3/2}

\begin{pmatrix}

2&3&-1&1\\

0&-7/2&7/2&1/2\\

1&1&-3&-1

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R1-R2*4/7}

\begin{pmatrix}

2&3&-1&1\\

0&-7/2&7/2&1/2\\

0&13/7&-13/7&-9/7

\end{pmatrix}

\xrightarrow{R3-R2}

\begin{pmatrix}

2&3&-1&1\\

0&-7/2&7/2&1/2\\

0&0&0&-10/7

\end{pmatrix}

\]

由于增廣矩陣的秩為3，系數(shù)矩陣的秩為2，故無(wú)解。

5.解：

對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換：

\[

\begin{pmatrix}

1&2&-1&1\\

2&4&-2&2\\

1&2&-2&0

\end{pmatrix}

\xrightarr