PAGE1專題01向量基本定理與動(dòng)點(diǎn)最值內(nèi)容早知道?第一層鞏固提升練題型一：空間基底基礎(chǔ)題型二：基底求參題型三：基底坐標(biāo)題型四：平面基底表示向量題型五：求長(zhǎng)度型最值題型六：動(dòng)點(diǎn)數(shù)量積型最值與范圍題型七：動(dòng)點(diǎn)距離最值范圍型題型八：動(dòng)點(diǎn)型軌跡題型九：動(dòng)點(diǎn)角度范圍型：線線角題型十：動(dòng)點(diǎn)角度范圍型：線面角題型十一：動(dòng)點(diǎn)范圍型：折線距離題型十二：存在型動(dòng)點(diǎn)題型十三：空間向量綜合難題?第二層能力提升練?第三層高考真題練鞏固提升練題型01空間基底基礎(chǔ)?技巧積累與運(yùn)用如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得

．其中，把叫做空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．1．若為空間的一個(gè)基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是（

）A． B．C． D．2．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的有（

）A． B．3．已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，用基底表示向量.題型02基底求參1．已知是空間的一個(gè)基底，向量，，，若能作為基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知是空間的一組基，若是空間的另一組基，則不可以為（

）A． B． C． D．3．若是空間的一個(gè)基底，且不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B．1 C．0 D．-2題型03基底坐標(biāo)1．已知是空間中一組基底，若向量，則稱向量在基底下坐標(biāo)為.若向量在基底下坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知，，則在上的投影向量為B．若兩個(gè)不同平面，的法向量分別是，，且，，則C．若，則A，B，C，G四點(diǎn)共面D．若向量，（x，y，z都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為3．若向量在空間的一組基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)是．題型04平面基底表示向量?技巧積累與運(yùn)用用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．1．如圖，在四面體中，點(diǎn)在棱上，且滿足，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，則用向量，，表示向量應(yīng)為（

）A． B．C． D．2．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正四面體中，O為的中心，D為的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．3．如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在OA上，且，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則.題型05求長(zhǎng)度型最值?技巧積累與運(yùn)用1.在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，則兩點(diǎn)間的距離___．2.1．已知正四面體的棱長(zhǎng)為6，空間中一點(diǎn)滿足，其中，，，且.則的最小值為（

）A． B．4 C．6 D．2．已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，平面，，，點(diǎn)滿足，其中，，，則（

）A．當(dāng)為底面的中心時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為C．當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最大值為6D．當(dāng)時(shí)，為定值3．已知正四面體的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AM，CN上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為.題型06動(dòng)點(diǎn)數(shù)量積型最值與范圍?技巧積累與運(yùn)用空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量，，則向量的模長(zhǎng)與在向量方向上的投影的乘積叫做，的數(shù)量積，記作．即．零向量與任意向量的數(shù)量積為0．（2）由數(shù)量積的定義，可以得到：；_．1．在正三棱錐中，，點(diǎn)為空間中的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．3．如圖，在多面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），底面底面，且，則的最小值與最大值分別為（

）A． B． C． D．題型07動(dòng)點(diǎn)距離最值范圍型?技巧積累與運(yùn)用空間中動(dòng)線段的距離和的最值問(wèn)題，可以類比平面中的距離和的最值處理利用對(duì)稱性來(lái)處理于轉(zhuǎn)化，另外異面直線間的公垂線段的長(zhǎng)度可利用點(diǎn)到平面的距離來(lái)處理.1．如圖，在直三棱柱中，為腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，且，側(cè)面為正方形，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．2．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，M為棱的中點(diǎn)，G為側(cè)面的中心，點(diǎn)P，Q分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．3．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，，點(diǎn)H在平面ABC內(nèi)，則當(dāng)點(diǎn)O與H間的距離取最小值時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．題型08動(dòng)點(diǎn)型軌跡?技巧積累與運(yùn)用求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.1．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．2．如圖，棱長(zhǎng)為4的正四面體，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．3．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．題型09動(dòng)點(diǎn)角度范圍型：線線角?技巧積累與運(yùn)用設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則兩直線所成的角為(),；1．在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．2．在正四棱錐中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則當(dāng)，兩點(diǎn)間距離最小時(shí)，直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．已知空間四邊形，，，，.則對(duì)角線與所成角的正切值的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型10動(dòng)點(diǎn)角度范圍型：線面角?技巧積累與運(yùn)用幾何常考查的夾角：設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則直線與平面所成的角為(),；線面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，需要引入變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解；二是定義法，常常需要作出輔助線，找到線面角，求出最值，常用知識(shí)點(diǎn)有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；1．如圖，正方體中，，，，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（

）A． B． C． D．2．在正三棱錐中，且兩兩垂直，是的中點(diǎn)，過(guò)直線作平面，則直線與平面所成角的最大值為（

）.A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)異于，點(diǎn)），則下列結(jié)論不正確的是（）A．異面直線與所成角為60°B．平面C．三棱錐的體積不變D．直線與平面所成角正弦值的取值范圍為4．如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型11動(dòng)點(diǎn)范圍型：折線距離?技巧積累與運(yùn)用計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問(wèn)題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來(lái)解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；1．如圖，在直三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（

）A． B． C． D．2．在正方體中，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，在三角形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（

）A． B． C． D．3．棱長(zhǎng)為2的正方體中，設(shè)點(diǎn)為底面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．題型12存在型動(dòng)點(diǎn)?技巧積累與運(yùn)用先把位置點(diǎn)定性為“已知點(diǎn)”，然后通過(guò)其他條件推導(dǎo)出相關(guān)的平行或者垂直關(guān)系，再借助平行得比例線段，或者垂直得到對(duì)應(yīng)的垂直關(guān)系。1．在正四面體中，點(diǎn)E在棱AB上，滿足，點(diǎn)F為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在某個(gè)位置，使得B．存在某個(gè)位置，使得C．存在某個(gè)位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為D．存在某個(gè)位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為2．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，將沿著直線翻折得到.記二面角的平面角為，當(dāng)?shù)闹翟趨^(qū)間0,π范圍內(nèi)變化時(shí)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．存在，使得B．存在，使得C．若四棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D．若直線與所成的角為，則3．如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，，，則（

）A．存在使得B．存在使得平面C．若長(zhǎng)度為定值，則時(shí)三棱錐體積最大D．當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值的最小值為題型13空間向量綜合難題?技巧積累與運(yùn)用（1）向量法求點(diǎn)面距離：求出平面的法向量，則點(diǎn)到平面的距離公式為.（2）向量法求線面所成角的正弦值：求出平面的法向量，則.1．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，G是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)G到平面的距離為定值B．若，則的最小值為2C．若，且，則點(diǎn)G到直線的距離為D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為2．在正三棱錐中，，，是底面內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)到該三棱錐三個(gè)側(cè)面的距離之和為定值B．頂點(diǎn)，，到直線的距離的平方和為定值C．直線與該三棱錐三個(gè)側(cè)面所成角的正弦值的和有最大值D．直線與該三棱錐四個(gè)面所成角的正弦值的平方和有最大值3．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為4，為邊的中點(diǎn)，將沿折成三棱錐，，B，C，D都在球的球面上．記，，與平面所成的角分別為，，，平面，，與平面所成的角分別為，，，則（

）A．與所成的角為定值 B．球的表面積的最大值為C． D．存在點(diǎn)使得能力培優(yōu)已知空間向量，，兩兩的夾角均為，且，.若向量，滿足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．如圖，正方體透明容器的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．向量在向量上的投影向量為C．將容器的一個(gè)頂點(diǎn)放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等，再向容器中注水，則注水過(guò)程中，容器內(nèi)水面的最大面積為D．向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個(gè)已知正方體，設(shè)其棱長(zhǎng)為1（單位：）．平面與正方體的每條棱所成的角均相等，記為．平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結(jié)論正確的是（

）

A．可能為三角形，四邊形或六邊形B．C．的面積的最大值為D．正方體內(nèi)可以放下直徑為的圓如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．①三棱錐中，點(diǎn)P到面的距離為定值②過(guò)點(diǎn)P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為③直線與面所成角的正弦值的范圍為④當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)沿著棱從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得；②存在點(diǎn)，使得平面；③的面積越來(lái)越??；④四面體的體積不變．其中，所有正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．46.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成角的取值范圍為（

）（參考數(shù)據(jù)：A．， B．，C．， D．，已知正方體棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則（

）A．當(dāng)，時(shí)，直線⊥平面B．當(dāng)，，時(shí)，點(diǎn)M到直線的距離為C．當(dāng)，，時(shí)，的值可能為D．當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為8．（2024·江蘇蘇州·三模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，OB，OD，OO1所在直線分別為軸、軸、軸，建立如何所示空間直角坐標(biāo)系.若該正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，則（

）

A．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為 B．的最小值為C． D．三棱錐體積的最小值為9．（2024·遼寧·三模）已知正四面體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別是，，內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下列四個(gè)命題：①對(duì)于任意點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使；②存在，使直線平面；③當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為④當(dāng)最大時(shí)，頂點(diǎn)到平面的距離的最大值為．其中正確的有．（填選正確的序號(hào)即可）如圖①是直角梯形，，，是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，以為折痕將折起，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)的位置時(shí)，四棱錐的體積最大，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則到距離最小值為．高考真題1．（上海·高考真題）在平行六面體中，M為A