第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省長春市農(nóng)安十中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={0,1,2}，B={1,2,3}，C={0,1}，則(A∩B)∪C=(

)A.{0,1} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}2.已知命題p：?x∈R，x3<x，命題q：?x∈R,xA.p和q都是真命題B.￢p和q都是真命題C.p和￢q都是真命題D.￢p和￢q都是真命題3.“a>b>0”是“6a<6A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.(x?1)6展開式中x4的系數(shù)是A.15 B.?15 C.30 D.?305.5天內(nèi)某校當天新增感冒人數(shù)y與每日溫差x(單位：℃)的數(shù)據(jù)如表：x578911y9m151720由于保存不善，有1個數(shù)據(jù)模糊不清，用m代替，已知y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=1.8x+0.6，則m=A.13 B.14 C.15 D.126.盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為E=104.8+1.5M，則E對于M的瞬時變化率為(

)A.1.5×10Mln10B.104.8+1.5Mln107.如圖，現(xiàn)有三個質(zhì)地均勻的骰子，其中正方體骰子六個面分別標以數(shù)字1到6、正四面體骰子四個面分別標以數(shù)字1到4，正八面體骰子八個面分別標以數(shù)字1到8.現(xiàn)進行拋骰子游戲，規(guī)定：第一次拋擲正方體骰子，記骰子朝上的面上的數(shù)字為a，若a為奇數(shù)，則第二次拋擲正四面體骰子，若a為偶數(shù)，則第二次拋擲正八面體骰子，記第二次拋擲的骰子與地面接觸的面上的數(shù)字為b.根據(jù)以上規(guī)定，b=1的概率為(

)A.14 B.38C.316D.18.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f′(x)≤1恒成立，且f(0)=0，則f(x)≤x的解集為(

)A.R B.(?∞,0] C.[1,+∞) D.[0,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=x3+xA.f(x)是增函數(shù) B.f(x)有且僅有1個零點

C.f(x)的圖象關(guān)于原點對稱 D.f(x)既有極大值又有極小值10.已知隨機變量X的分布列為：X012Pm0.4m下列說法正確的是(

)A.E(X)=1 B.E(2X+2)=2

C.D(X)=0.6 D.D(2X+2)=3.211.某比賽共進行2n(n∈N+)局，每局比賽沒有平局，2n局比賽結(jié)束后贏得n局以上的一方獲勝.甲、乙進行該比賽，已知甲每局比賽獲勝的概率為p，每局比賽的結(jié)果相互獨立，記甲在該比賽中獲勝的概率為P2nA.若p=13，則P2=P4 B.若p=16，則當2n=2時，P2n最大

C.若p=56，則當2n=2時，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(4,4)，若P(ξ>a+3)=P(ξ<a+1)，則a=______．13.函數(shù)f(x)=1?2xx2+2在14.若要用鐵皮制作一個容積為πm3的無蓋圓錐形容器，則所需鐵皮的面積取最小值時，該圓錐形容器的高為______四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某高校為了了解大學(xué)生對籃球運動的喜好是否與性別有關(guān)聯(lián)，隨機在該校調(diào)查了100名大學(xué)生，得到的數(shù)據(jù)如表所示：性別籃球運動合計喜歡不喜歡男401050女252550合計6535100(1)求該校喜歡籃球運動的大學(xué)生中性別為男的頻率；

(2)根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，能否認為該校大學(xué)生是否喜歡籃球運動與性別有關(guān)聯(lián)？

附：χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小題15分)

3名數(shù)學(xué)小組成員(包括甲、乙)和4名語文小組成員站成兩排拍照，第一排站3人，第二排站4人．

(1)若數(shù)學(xué)小組成員站在第一排，求不同的排法種數(shù)；

(2)若數(shù)學(xué)小組成員站在第二排，求不同的排法種數(shù)；

(3)若甲、乙均站在第二排且不相鄰，求不同的排法種數(shù)．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(sinx?a)2(sinx+a)．

(1)當a=0時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)當a∈(3,+∞)時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當a∈(1,+∞)時，若f(x)的最大值為4，求a18.(本小題17分)

某商場設(shè)置了兩種促銷方案：方案一，直接贈送消費金額5%的代金券(例如：消費200元，則贈送200×5%=10元的代金券)；方案二，消費每滿100元可進行一次抽獎(例如：消費370元可進行三次抽獎)，每次抽獎抽到10元代金券的概率為p(0<p<1)，抽到4元代金券的概率為1?p，每次抽獎結(jié)果互不影響.每人只能選擇一種方案．

(1)若甲的消費金額為288元，他選擇方案二且抽到的代金券總額為8元的概率為49，求p；

(2)若乙消費了一定的金額并選擇方案二，設(shè)他抽到的代金券總額為X元，當E(X)+D(X)最大時，求p；

(3)若p=16，請你根據(jù)顧客消費金額(消費金額大于0)19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=alnx+1x(x+1)?12．

(1)若f(x)≥0對x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值集合．

(2)設(shè)x1x2…xn=1，xi>0，n∈N?，i=1，2，3，參考答案1.B

2.C

3.A

4.A

5.B

6.D

7.C

8.D

9.AB

10.AC

11.ABD

12.2

13.[0,1]

14.3615.(1)由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可知，該校喜歡籃球運動的大學(xué)生中性別為男的頻率4065=813；

(2)零假設(shè)H0：該校大學(xué)生是否喜歡籃球運動與性別無關(guān)，

則χ2=100×(40×25?10×25)265×35×50×5016.(1)若數(shù)學(xué)小組成員站在第一排，

則不同的排法種數(shù)為A33A44=144種；

(2)若數(shù)學(xué)小組成員站在第二排，

則不同的排法種數(shù)為A4317.(1)當a=0時，f(x)=(sinx?0)2(sinx+0)=sin3x，

而f(0)=0，則切點為(0,0)，可得f′(x)=3sin2xcosx，

由斜率的幾何意義得斜率為f′(0)=0，故切線方程為y=0．

(2)因為f(x)=(sinx?a)2(sinx+a)，

所以f(x)=(sin2x?2asinx+a2)(sinx+a)=sin3x?asin2x?a2sinx+a3，

故f′(x)=3sin2xcosx?2asinxcosx?a2cosx=cosx(3sin2x?2asinx?a2)，

令g(x)=3sin2x?2asinx?a2，則g(x)=(3sinx+a)(sinx?a)，

因為a∈(3,+∞)，所以3sinx+a>0，sinx?a<0，

可得g(x)<0，令f′(x)<0，x∈(2kπ?,2kπ+)，k∈Z．

令f′(x)>0，x∈(2kπ+π2,2kπ+3π2)，k∈Z，

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2kπ+π2,2kπ+3π2)，k∈Z，

單調(diào)遞減區(qū)間是(2kπ?π2,2kπ+π2)，k∈Z．

(3)令sinx=t∈[?1,1]，則f(x)可化為?(t)=t3?at2?a2t+a3，

而?′(t)=3t2?2at?a2=(3t+a)(t?a)，由題意得a∈(1,+∞)，故t?a<0，

令18.(1)甲的消費金額為288元，他選擇方案二，抽獎2次，

抽到的代金券總額為8元的概率為(1?p)2=49，解得p=13；

(2)設(shè)抽獎次數(shù)為n(n∈N?)，抽到10元代金券的次數(shù)為Y，則Y～B(n,p)，

得E(Y)=np，D(Y)=np(1?p)，

因為X=10Y+4(n?Y)=6Y+4n，

所以E(X)=6E(Y)+4n=6np+4n，D(X)=36D(Y)=36np(1?p)，

E(X)+D(X)=6np+4n+36np(1?p)=n(?36p2+42p+4)，

所以p=?422×(?36)=712時，E(X)+D(X)取得最大值，所以p=712；

(3)①當消費金額(單位：元)在(0,100)時，不能參與方案二，只能選擇方案一；

②當消費金額(單位：元)在[100,+∞)時，設(shè)消費金額為100n+k(n∈N?,0≤k<100)，

當p=16時，由(2)得，方案二的代金券總額的數(shù)學(xué)期望E(X)=6n×16+4n=5n，

方案一的代金券總額為5n+0.05k(n∈N?,0≤k<100)，此時5n≤5n+0.05k，

當消費金額(單位：元)為100n(n∈N19.(1)由題x>0,f′(x)=ax?2x+1x2(x+1)2=ax3+2ax2+(a?2)x?1x2(x+1)2，

令f′(1)=0?a=34，此時f′(x)=34x3+32x2?54x?1x2(x+1)2，

令t(x)=34x3+32x2?54x?1?t′(x)=94x2+3x?54=14(3x?1)(3x+5)，

則t′(x)>0?x>13，t′(x)<0?0<x<13，

則t(x)在(13,+∞)上遞增，在(0,13)上遞減，t(x)min=t(13)=?119<0，

又t(0)=?1<0，t(1)=0，則f′(x)>0?x>1，f′(x)<0?0<x<1，

從而f(x)在(1,+∞)上遞增，在(0,1)上遞減，則f(x)≥f(1)=0，滿足題意；

下面說明a≠34不滿足題意；

若a≤0，則f′(x)<0，從而f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則當x>1時，f(x)<f(1)=0不滿足題意，則a>0．

令g(x)=ax3+2ax2+(a?2)x?1，a>0，

則g′(x)=3ax2+4ax+a?2，對于方程3ax2+4ax+a?2=0，

判別式為4a2+24a>0，設(shè)方程兩根為x0，x1(x0<x1)，

則x0+x1=?43<0，x0x1=a?23a，

若a?2≥0，因x0+x1=?43<0，則x0<x1≤0，

則當x>0時，g′(x)>0，即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

又g(12a)=12a(14a?1)?12<0,g(1)=4a?3>0，則存在x2∈(12a,1)，

使g(x2)=0，則f′(x)>0?x>x2，f′(x)<0?0<x<x2，

則f(x)在(x2,1)上單調(diào)遞增，則f(x2)<f(1)=0不滿足題意，則0<a<2．

當0<a<2，x>0時，g′(x)>0?x>x1，g′(x)<0?