間斷機(jī)率分配學(xué)習(xí)目標(biāo)了解隨機(jī)變量及機(jī)率分配的觀念。計(jì)算間斷隨機(jī)變量的期望值、變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。熟悉二項(xiàng)分配、超幾何分配及波松分配之意義與特性。應(yīng)用二項(xiàng)分配、超幾何分配及波松分配在日常生活中。利用Excel求算二項(xiàng)分配、超幾何分配及波松分配并繪制圖形。目錄1.1隨機(jī)變量(randomvariable)1.2間斷機(jī)率分配(discreteprobabilitydistribution)1.3常用的間斷機(jī)率分配1.1隨機(jī)變量隨機(jī)變量(randomvariable)

系以樣本空間為定義域，以實(shí)數(shù)為值域的函數(shù)。依其取值的形式，區(qū)分為兩種：第一種若取值為有限或無(wú)限且與自然數(shù)有一對(duì)一的對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)之為間斷型隨機(jī)變量(discreterandomvariable)。如不良品的數(shù)目、某一營(yíng)業(yè)日進(jìn)入銀行的顧客數(shù)皆是間斷型隨機(jī)變量；而第二種就是連續(xù)型隨機(jī)變量(continuousrandomvariable)，此取值在某一區(qū)間或區(qū)間集合的所有數(shù)值，如重量、時(shí)間、溫度等。

X(),其中S,X()R注:隨機(jī)變量可區(qū)分間斷隨機(jī)變量與連續(xù)隨機(jī)變量間斷隨機(jī)變量(discreterandomvariable)

若隨機(jī)變量之可能數(shù)值個(gè)數(shù)是可數(shù)的(countable)，則不管有限或無(wú)限，則稱(chēng)此隨機(jī)變量為間斷隨機(jī)變量。2101.1隨機(jī)變量(續(xù))圖1.1隨機(jī)變量X:表正面?zhèn)€數(shù)（正,正）（正,反）（反,正）（反,反）樣本空間隨機(jī)變量1.1隨機(jī)變量(續(xù)1)表1.1間斷隨機(jī)變量(discreterandomvariable)1.1隨機(jī)變量(續(xù)2)表1.2連續(xù)隨機(jī)變量(continuousrandomvariable)1.2間斷機(jī)率分配1.2.1機(jī)率質(zhì)量函數(shù)(probabilitymassfunction;p.m.f.)1.2.2累積機(jī)率函數(shù)(cumulativedistributionfunction;c.d.f.)1.2.3間斷隨機(jī)變量之期望值(expectedvalue)1.2.4間斷隨機(jī)變量之變異數(shù)1.2.5標(biāo)準(zhǔn)化(standardize)隨機(jī)變量1.2.1機(jī)率質(zhì)量函數(shù)機(jī)率質(zhì)量函數(shù)(probabilitymassfunction；p.m.f.)：設(shè)間斷隨機(jī)變量X其可能數(shù)值為x1，…，xn，對(duì)應(yīng)X的每一個(gè)可能數(shù)值有機(jī)率值f(xi)與之對(duì)應(yīng)。若f(x)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：0f(xi)1，對(duì)每一個(gè)可能數(shù)值xi。

則稱(chēng)

f(x)為隨機(jī)變量X之機(jī)率質(zhì)量函數(shù)。注：(i)f(x)=P(X=x)(點(diǎn)機(jī)率)(ii)f(x)的圖形可以長(zhǎng)條圖表示

(iii)由f(x)的圖形可以找出眾數(shù)Mo(iv)隨機(jī)變量以大寫(xiě)“X”表示,觀測(cè)值以小寫(xiě)“x”表示1.2.1機(jī)率質(zhì)量函數(shù)例：隨機(jī)變量X的機(jī)率質(zhì)量函數(shù)f(x)=cx2,x=1,2,3,4。

(1)求c值使得f(x)滿(mǎn)足機(jī)率質(zhì)量函數(shù)性質(zhì)。

(2)求P(X=2)解：(1)f(x)=1f(1)=f(2)+f(3)+f(4)=1 c+4c+9c+16c=1c=1/30

使得f(x)滿(mǎn)足機(jī)率質(zhì)量函數(shù)性質(zhì)

(2)P(X=2)=f(2)=4/30注:f(x)圖形為長(zhǎng)條圖,從此圖形可得知眾數(shù)Mo=4

例1.1丟擲一個(gè)均勻的銅板三次丟擲一個(gè)均勻的銅板三次，定義隨機(jī)變量X為出現(xiàn)正面的個(gè)數(shù)，求X的機(jī)率分配。解：假設(shè)以H表示正面和T表示反面，此隨機(jī)試驗(yàn)共有8個(gè)樣本點(diǎn)，且每一樣本點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)率皆為1/8，X的可能數(shù)值為0,1,2,3，其事件與X的可能數(shù)值之對(duì)應(yīng)情形如圖1.2所示。因此，隨機(jī)變量的機(jī)率分配為 例1.1丟擲一個(gè)均勻的銅板三次(續(xù))

P(X=0)=f(0)=P({(T,T,T)})=1/8 P(X=1)=f(1)=P({(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H)})=3/8 P(X=2)=f(2)=P({(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H)})=3/8P(X=3)=f(3)=P({(H,H,H)})=1/8

每一個(gè)可能數(shù)值之機(jī)率值皆介于0與1之間，且機(jī)率總和等于1。注:眾數(shù)Mo=1,2隨機(jī)變量例1.1丟擲一個(gè)均勻的銅板三次(續(xù)1)圖1.2隨機(jī)變量X的機(jī)率分配樣本空間機(jī)率f(x)(H,H,H)3(H,H,T)(H,T,H)2(T,H,H)(H,T,T)1(T,H,T)(T,T,H)0(T,T,T)1.2.2累積機(jī)率函數(shù)累積分配函數(shù)(cumulativedistributionfunction;c.d.f.)：假設(shè)X為間斷隨機(jī)變量，則小于或等于某一可能數(shù)值x的機(jī)率，稱(chēng)為X的累積分配函數(shù)，通常以F(x)表示之。其定義為F(x)=P(Xx)

且具有下列之性質(zhì)對(duì)每一個(gè)可能數(shù)值x而言，0F(x)1。若x1＜x2，則F(x1)F(x2)。若a＜b，則P(a＜xb)=F(b)－F(a)。則P(axb)=F(b)－F(a-)。P(X=c)=P(Xc)–P(X<c)=F(c)–F(c-)注：累積分配函數(shù)向下累積函數(shù),其圖形為階梯圖形1.2.2累積機(jī)率函數(shù)例：隨機(jī)變量X的機(jī)率質(zhì)量函數(shù)f(x)=cx2,x=1,2,3,4。

(1)求c值使得f(x)滿(mǎn)足機(jī)率質(zhì)量函數(shù)性質(zhì)。

(2)求P(X=2),F(2)解：(1)f(x)=1f(1)=f(2)+f(3)+f(4)=1 c+4c+9c+16c=1c=1/30

f(x)=1/30x2,0<f(x)

1,x=1,2,3,4

所以c=1/30使得f(x)滿(mǎn)足機(jī)率質(zhì)量函數(shù)性質(zhì)

(2)P(X=2)=f(2)=4/30F(2)=P(X2)=f(1)+f(2)=5/30注:畫(huà)出此累積分配函數(shù)F(x)之圖形為階梯圖形例1.2續(xù)例1.1丟擲一個(gè)均勻的銅板三次，定義隨機(jī)變量X為出現(xiàn)正面的個(gè)數(shù)，求X的累積機(jī)率分配。解：X的累積機(jī)率分配如下注:P(x=2)=F(2)–F(2-)=F(2)–F(1)=7/8–1/2=3/8例1.2續(xù)例1.1(續(xù))

因此，X之累積機(jī)率函數(shù)為圖形為階梯形狀1.2.3間斷隨機(jī)變量的期望值期望值(expectedvalue)：

其中，f(x)為X之機(jī)率質(zhì)量函數(shù)。注:期望值為加權(quán)平均數(shù),=E(X)=xi/N=xi(1/N),f(xi)=1/N,i

為算術(shù)平均數(shù)定理:如(1)

若g(X)=X2,E(g(X))=E(X2)=x2f(x)

(2)若g(X)=C(常數(shù))

,E(g(X))=E(C)=Cf(x)=Cf(x)=C

(3)若Y=g(X)=aX+b則E(Y)=E(g(X))=aE(X)+b期望值的意義對(duì)一隨機(jī)現(xiàn)象，我們常想粗略地知道其值究竟多大？期望值(expectation,或稱(chēng)expected

value,mean)，就是常被拿來(lái)扮演這種以一單一的值，來(lái)代表一隨機(jī)現(xiàn)象中之變量大小的角色。對(duì)一隨機(jī)變量而言,因無(wú)法掌握隨機(jī)的量之大小，我們才想要有一代表值，而期望值就是常被拿來(lái)當(dāng)做隨機(jī)變量之代表值，期望值象是隨機(jī)變量分布的一核心，隨機(jī)變量的可能值，散布在期望值的左右。釋例：某商人在夜市擺一種游戲，袋中有紅球5個(gè)，白球3個(gè)，藍(lán)球2個(gè)，抽獎(jiǎng)?wù)咦源谐槌鲆磺颍舫橹屑t球可得10元，抽中白球可得100元，抽中藍(lán)球可得200元，試問(wèn)抽獎(jiǎng)?wù)呖色@獎(jiǎng)金的期望值。（解：75元）例1.3一間斷隨機(jī)變量X之機(jī)率函數(shù)f(x)定義如下試求X的期望值？解：根據(jù)(1.1)式，X的期望值為

此為一母體資料0,1,1,2的母體平均數(shù)計(jì)算方式。例1.4教師出教科書(shū)之情況表1.3為某學(xué)校400名教師出版教科書(shū)冊(cè)數(shù)之次數(shù)分配表，試求教師出版教科書(shū)之平均冊(cè)數(shù)？表1.3教師出版教科書(shū)冊(cè)數(shù)之次數(shù)分配表例1.4教師出教科書(shū)之情況(續(xù))解：如果我們讓代表教師出版教科書(shū)冊(cè)數(shù)，然后其相對(duì)次數(shù)視為其出版冊(cè)數(shù)的發(fā)生機(jī)率，那么就可視為一個(gè)間斷的隨機(jī)變量，因此根據(jù)(1.1)式計(jì)算，其期望值為1.2.4間斷隨機(jī)變量之變異數(shù)變異數(shù)(variance)之定義 其中，f(x)為X之機(jī)率函數(shù)。1.2.4間斷隨機(jī)變量之變異數(shù)(續(xù))因?yàn)闄C(jī)率分配系經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期重復(fù)相同的隨機(jī)試驗(yàn)所得到的結(jié)果，根據(jù)大數(shù)法則，其機(jī)率值等于真實(shí)的機(jī)率值，因此變異數(shù)即代表母體變異數(shù)。注:E(X2)=x2f(x)

1.2.4間斷隨機(jī)變量之變異數(shù)(續(xù)1)標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)：其中，f(x)為X之機(jī)率函數(shù)。1.2.4間斷隨機(jī)變量之變異數(shù)(續(xù)2)線性函數(shù)X的期望值與變異數(shù)為E(X+a)=E(X)+aE(aX)=aE(X)E(aX+b)=aE(X)+bVar(X+a)=Var(X)Var(aX)=a2Var(X)Var(aX+b)=a2Var(X)E(C)=C,Var(C)=0例1.5續(xù)例1.3試求隨機(jī)變量X的變異數(shù)。解：根據(jù)(1.2)式，X的變異數(shù)為此為一母體資料0,1,1,2之母體變異數(shù)計(jì)算方式。例1.6接續(xù)例1.4接續(xù)例1.4，試求某學(xué)校教師出版教科書(shū)冊(cè)數(shù)之變異數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差？解：因此，某學(xué)校教師出版教科書(shū)冊(cè)數(shù)之平均數(shù)為1.5725冊(cè)，變異數(shù)為1.1897，標(biāo)準(zhǔn)差為1.09冊(cè)。1.2.5標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量透過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化(standardize)，使得隨機(jī)變量能夠予以客觀的比較。標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量定義為,Z=(1/)X+(-/)標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量之期望值與變異數(shù)例1.7續(xù)例1.4請(qǐng)將某學(xué)校教師出版教科書(shū)冊(cè)數(shù)之隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化。解：因期望值為1.5725，標(biāo)準(zhǔn)差為1.0908，故當(dāng)X=0時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)化的值為同理，可以求得當(dāng)時(shí)之相對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化的值如表1.4所示。例1.7續(xù)例1.4(續(xù))表1.4教師出版教科書(shū)冊(cè)數(shù)之標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量1.3常用的間斷機(jī)率分配1.3.1二項(xiàng)分配(Binomialdistribution)1.3.2超幾何分配(Hypergeometricdistribution)1.3.3二項(xiàng)分配與超幾何分配1.3.4波松分配(Poissondistribution)1.3.5二項(xiàng)分配與波松分配1.3.1二項(xiàng)分配二項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)包括n次相同的試驗(yàn)(trial)。每次試驗(yàn)互相獨(dú)立。每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，稱(chēng)為成功和失敗事件。每次試驗(yàn)成功的機(jī)率為p，即失敗的機(jī)率為1–p。1.3.1二項(xiàng)分配(續(xù))若隨機(jī)變量X定義為n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則隨機(jī)變量可能數(shù)值為0,1,….,n，而每一可能數(shù)值發(fā)生之機(jī)率值說(shuō)明如下：令S代表成功事件，F(xiàn)代表失敗事件，1.X=0，表示每次試驗(yàn)都是出現(xiàn)失敗的結(jié)果，即

因?yàn)槊看卧囼?yàn)互相獨(dú)立，根據(jù)乘法法則可得1.3.1二項(xiàng)分配(續(xù)1)X=1，表示次試驗(yàn)中只有一次成功，其他n-1次都是出現(xiàn)失敗的結(jié)果?，F(xiàn)在先考慮這一次成功出現(xiàn)在第一次試驗(yàn)，即此事件發(fā)生之機(jī)率為同理可知，這一次成功出現(xiàn)在第i次試驗(yàn)，而其他次都是出現(xiàn)失敗的事件之機(jī)率皆為。因此，1.3.1二項(xiàng)分配(續(xù)2)以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)X=x，其機(jī)率值為1.3.1二項(xiàng)分配(續(xù)3)二項(xiàng)機(jī)率函數(shù)假設(shè)隨機(jī)變量X為二項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，p為成功的機(jī)率，則X的機(jī)率函數(shù)f(x)可以表示為上述隨機(jī)變量X稱(chēng)為二項(xiàng)隨機(jī)變量，n和p為二項(xiàng)隨機(jī)分配之參數(shù)。一般以X~B(n,p)表示之。注:當(dāng)n=1時(shí),X為伯努力分配(Bernoullidistribution)，p.m.f.為

f(x)=px(1-p)1-x,x=0,1P(X=1)=p,P(X=0)=(1-p)1.3.1二項(xiàng)分配(續(xù)4)二項(xiàng)隨機(jī)變量之期望值與變異數(shù)

E(X)=npVar(X)=np(1–p)注:X之p.m.f.f(x)的分布

(1)0<p<?

單峰右偏

(2)p=?

單峰對(duì)稱(chēng)

(1)?<p<1

單峰左偏二項(xiàng)分配與大數(shù)法則二項(xiàng)分布的起源與賭博有密切的關(guān)系。當(dāng)然二項(xiàng)分布的應(yīng)用不限于賭博，其他如藥效的檢定、產(chǎn)品好壞的檢定…等莫不涉及。大數(shù)法則：在二項(xiàng)分布的機(jī)率模型假定之下，只要實(shí)驗(yàn)的次數(shù)n

夠大，則事件發(fā)生的次數(shù)比x/n，從機(jī)率的觀點(diǎn)來(lái)看，就會(huì)很接近p

值。這是機(jī)率論萌芽初期的一個(gè)重要定理，它由JakobBernoulli（1654～1705年）首先證得完整，而在他死后發(fā)表于1713年。Bernoulli的大數(shù)法則首先把這種基于定義、理想中的的數(shù)學(xué)產(chǎn)物p

和實(shí)際的、實(shí)驗(yàn)的結(jié)果x/n

相連起來(lái)；雖然大數(shù)法則并不保證長(zhǎng)期實(shí)驗(yàn)的比值x/n一定會(huì)愈來(lái)愈靠近原先假定的機(jī)率p，但至少保證這個(gè)比值靠近p

值的機(jī)率，會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加而靠近1。也就因?yàn)橛写吮ＷC，我們常常以長(zhǎng)期實(shí)驗(yàn)所得的比值代替理想中的p

值。我們說(shuō)某藥的治愈率為0.6，其所代表的意義正是如此。資料來(lái)源：曹亮吉—二項(xiàng)分布與大數(shù)法則理論與實(shí)際相連例1.8超級(jí)市場(chǎng)消費(fèi)情形一家超級(jí)市場(chǎng)發(fā)現(xiàn)在促銷(xiāo)活動(dòng)期間，每位顧客會(huì)消費(fèi)超過(guò)1,000元的機(jī)率為80%。現(xiàn)有5位顧客，請(qǐng)問(wèn)這5位顧客于促銷(xiāo)期間會(huì)消費(fèi)超過(guò)1,000元的人數(shù)之機(jī)率分配為何？其期望值和變異數(shù)又為何？解：此隨機(jī)試驗(yàn)具有下列之性質(zhì)包含5個(gè)試驗(yàn)，每位顧客之消費(fèi)視為一試驗(yàn)。每次試驗(yàn)互相獨(dú)立，每位顧客消費(fèi)之情況不會(huì)互相影響。每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，消費(fèi)超過(guò)1,000元（視為成功）或沒(méi)有超過(guò)1,000元（視為失?。?。每次試驗(yàn)成功的機(jī)率為，消費(fèi)超過(guò)1,000元的機(jī)率為0.8。例1.8超級(jí)市場(chǎng)消費(fèi)情形（續(xù))

由于符合二項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)之性質(zhì)，故為二項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)?，F(xiàn)定義隨機(jī)變量X為5位顧客于促銷(xiāo)期間會(huì)消費(fèi)超過(guò)1,000元的人數(shù)。所以，其機(jī)率分配為n=5、p=0.8的二項(xiàng)式分配。根據(jù)(1.5)式，其各可能數(shù)值之機(jī)率值分別為根據(jù)(1.6)與(1.7)式，其期望值和變異數(shù)分別為二項(xiàng)分配定理:

若X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且X,Y是獨(dú)立。

當(dāng)W=X+Y,則W~B(n1+n2,p)注:若X1,X2,…,Xn

為獨(dú)立且均為伯努力分配(即

B(1,p)),當(dāng)W=X1+X2+…+Xn

則W~B(n,p)

此X1,X2,…,Xn

以i.i.d.B(1,p),

其中i.i.d.為independentidenticaldistribution縮寫(xiě)二項(xiàng)分配例:

某人A打靶命中率為p=0.4,令X表此人打5發(fā)命中個(gè)數(shù)。某人B打靶命中率為p=0.4,令Y表此人打3發(fā)命中個(gè)數(shù)。令W表A,B兩人命中個(gè)數(shù)總和

(1)求W之分配

(2)求兩人都沒(méi)命中機(jī)率

(3)求兩人命中個(gè)數(shù)期望值解:(1)X~B(5,0.4),Y~B(3,0.4),且X,Y是獨(dú)立。

當(dāng)W=X+Y,則W~B(8,0.4)(2)P(W=0)=C80(0.4)0(0.6)8=

(0.6)8

(3)E(W)=80.4=3.2

1.3.2超幾何分配超幾何分配：當(dāng)一個(gè)有限母體之總數(shù)為N，其包含k個(gè)成功的元素、N–k個(gè)失敗的元素。從母體中以不放回的方式抽取n個(gè)樣本，定義隨機(jī)變量X為此n個(gè)樣本中成功的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量X之機(jī)率分配稱(chēng)為超幾何分配，N、n、k為超幾何分配之參數(shù)。一般以X~HG(N,n,k)表示之。1.3.2超幾何分配（續(xù)）圖1.5超幾何隨機(jī)試驗(yàn)與二項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)比較表1.3.2超幾何分配（續(xù)1)超幾何函數(shù)超幾何隨機(jī)變量之期望值與變異數(shù)例1.9行動(dòng)電話(huà)系統(tǒng)市場(chǎng)概況根據(jù)調(diào)查顯示，某省大哥大與遠(yuǎn)傳電信為消費(fèi)者心目中的前二名行動(dòng)電話(huà)系統(tǒng)業(yè)者。假設(shè)現(xiàn)有10位行動(dòng)電話(huà)使用者，其中7位使用某省大哥大，3位使用遠(yuǎn)傳電信。茲從這10人中隨機(jī)抽取3人，定義隨機(jī)變量為抽取的3人中使用遠(yuǎn)傳電信的人數(shù)，試問(wèn)恰有2人使用遠(yuǎn)傳電信的機(jī)率為何？X之期望值與變異數(shù)又為何？解：令抽取一個(gè)使用遠(yuǎn)傳電信的人視為成功事件，且定義隨機(jī)變量為抽取的3人中使用遠(yuǎn)傳電信的人數(shù)，則X的可能數(shù)值為0,1,2,3，根據(jù)(1.8)式，其機(jī)率值分別為例1.9行動(dòng)電話(huà)系統(tǒng)市場(chǎng)概況（續(xù)）例1.9行動(dòng)電話(huà)系統(tǒng)市場(chǎng)概況(續(xù)1)

因此，恰有2人使用遠(yuǎn)傳電信的機(jī)率為7/40。 且根據(jù)(1.9)式和(1.10)式，X之期望值與變異數(shù)分別為例1.9行動(dòng)電話(huà)系統(tǒng)市場(chǎng)概況（續(xù)2）二項(xiàng)分配與超幾何分配例:

個(gè)袋子有10個(gè)球,其中有6個(gè)紅球,4個(gè)白球。今隨機(jī)抽出3個(gè)球,令X表抽出紅球個(gè)數(shù),在下列情況下,求P(X=2)。

(1)抽出放回(利用二項(xiàng)式分配)(2)抽出不放回(利用超幾何分配)解:(1)抽出放回

X~bin(3,0.6)P(X=2)=C32(0.6)2(0.4)1=0.432

(2)抽出不放回

X~HG(10,6,3)

P(X=2)==0.51.3.3二項(xiàng)分配與超幾何分配超幾何隨機(jī)試驗(yàn)與二項(xiàng)試驗(yàn)最主要之差別在于超幾何隨機(jī)試驗(yàn)之試驗(yàn)彼此不獨(dú)立。若令則1.3.3二項(xiàng)分配與超幾何分配(續(xù))當(dāng)有限母體之總數(shù)很大或抽取之樣本數(shù)相對(duì)很小時(shí)，以放回或不放回方式抽取樣本，其結(jié)果差異不大。所以，當(dāng)時(shí)，可利用二項(xiàng)分配作為超幾何分配之近似分配。二項(xiàng)分配與超幾何分配之關(guān)聯(lián)1.3.3二項(xiàng)分配與超幾何分配(續(xù))例:

某大學(xué)財(cái)金系所有學(xué)生1000人,其中男生有400人,女生有600人。今隨機(jī)抽出5人,求只有2個(gè)女生機(jī)率。解:令X表隨機(jī)抽出5人中女生個(gè)數(shù)

X~HG(1000,600,10)P(X=2)=

=0.2306

因?yàn)?/1000<0.05XB(5,600/1000)

P(X=2)=(0.6)2(0.4)3=0.23041.3.3二項(xiàng)分配與超幾何分配(續(xù)1)表1.6三個(gè)機(jī)率分配比較表1.3.4波松分配(Poisson)波松隨機(jī)過(guò)程之性質(zhì)某一區(qū)間特定事件發(fā)生之次數(shù)與另一區(qū)間特定事件發(fā)生之次數(shù)彼此獨(dú)立。在每一個(gè)極小區(qū)間內(nèi)特定事件發(fā)生的次數(shù)超過(guò)一次之機(jī)率幾乎為0，換言之，特定事件發(fā)生的次數(shù)最多一次。任意兩相等區(qū)間內(nèi)特定事件發(fā)生之機(jī)率相等，且特定事件發(fā)生之機(jī)率與區(qū)間的「長(zhǎng)度」成正比。1.3.4波松分配（續(xù)）波松機(jī)率函數(shù)已知某區(qū)間內(nèi)特定事件發(fā)生的平均次數(shù)為

，令隨機(jī)變量X定義為某區(qū)間內(nèi)特定事件發(fā)生的次數(shù)，則其機(jī)率函數(shù)f(x)為注:(i)此處

為波松分配之參數(shù),一般以X~Poisson()表

示之。

(ii)

表單位時(shí)間平均發(fā)生的個(gè)數(shù)(:個(gè)數(shù)/單位時(shí)間)(iii)X表在(ii)中表單位時(shí)間發(fā)生的個(gè)數(shù)1.3.4波松分配（續(xù)）例:

假設(shè)某銀行客戶(hù)進(jìn)入銀行呈穩(wěn)定的流程,已知此流程每小時(shí)平均進(jìn)入90人。

(1)上午9:00~9:30

=45

進(jìn)來(lái)2個(gè)人機(jī)率:P(X=2)=(452/2!)e-45(2)上午11:00~11:20

=30

都沒(méi)有人進(jìn)來(lái)機(jī)率:P(X=0)=(300/0!)e-30=e-30(3)下午1:00~2:20

=120

至少進(jìn)來(lái)1個(gè)人機(jī)率:P(X1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-e-120

(4)上午11:00某客戶(hù)進(jìn)入后經(jīng)4分鐘仍無(wú)客戶(hù)進(jìn)入之機(jī)率

上午11:00~11:04

=6P(X=0)=(40/0!)e-4=e-41.3.4波松分配（續(xù)1）波松隨機(jī)變量之期望值與變異數(shù)假設(shè)隨機(jī)變量X為波松隨機(jī)變量，則其期望值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

E(X)=

Var(X)=

波松分配的典故SimeonD.Poisson（1781～1840年）是一個(gè)著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家。到了晚年，他熱衷于將數(shù)學(xué)的機(jī)率論用到司法的運(yùn)作上。他在這方面的主要著作是1837年出版的“RecherchessurlaProbabilitédesJugements”。雖然這本書(shū)的主旨是要對(duì)司法運(yùn)作有具體的貢獻(xiàn)，但它包含了許多純粹數(shù)學(xué)的、機(jī)率的理論，所以可以看成是一本以司法應(yīng)用為例的機(jī)率課本，在這本書(shū)的數(shù)學(xué)推演中，Poisson從二項(xiàng)分布的極限得到了這個(gè)日后以他為名的機(jī)率分布。Poisson分布雖然出于Poisson之手，但真正使它為人重視，使它成為統(tǒng)計(jì)學(xué)一部分的可要算是Bortkiewicz了。LadislausvonBortkiewicz（1868～1931年）是出生在俄國(guó)圣彼得堡的波蘭人。他在德國(guó)G?ttingen大學(xué)得到學(xué)位（1893年），并曾在Strassburg做過(guò)研究。在Strassburg時(shí)，他寫(xiě)了一本小冊(cè)子《小數(shù)法則》(DasGesetzderKleinenZahlen)，專(zhuān)門(mén)研究Poisson分布。他不但在理論方面推演了Poisson分布的許多性質(zhì)，并且在應(yīng)用方面，也比較了一些實(shí)際發(fā)生的、有關(guān)于自殺或意外傷害的數(shù)據(jù)。資料來(lái)源：曹亮吉—Poisson分布波松分配的實(shí)例考慮下列現(xiàn)象：每小時(shí)服務(wù)臺(tái)訪客的人數(shù)，每天家中電話(huà)的通數(shù)，一本書(shū)中每頁(yè)的錯(cuò)字?jǐn)?shù)，某條道路上每月發(fā)生車(chē)禍的次數(shù)，生產(chǎn)線上的疵品數(shù)，學(xué)生到辦公室找老師的次數(shù)……。上述現(xiàn)象大致上都有一些共同的特征：在某時(shí)間區(qū)段內(nèi)，平均會(huì)發(fā)生若干次「事件」，但是有時(shí)候很少，有時(shí)又異常地多，因此事件發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它所對(duì)應(yīng)的機(jī)率函數(shù)稱(chēng)為Poisson分配。例1.10新光百貨公司顧客概況新光百貨公司在晚上7:00至10:00期間，平均每半小時(shí)有90位顧客，試問(wèn)該公司在晚上7:00至10:00期間，每分鐘顧客人數(shù)不少于2人之機(jī)率為何？解：令隨機(jī)變量X表示每分鐘內(nèi)顧客的數(shù)目，因?yàn)槠骄堪胄r(shí)有90位顧客，所以平均每分鐘有3位顧客。因?yàn)槊课活櫩偷竭_(dá)百貨公司之事件互相獨(dú)立，故每分鐘顧客人數(shù)之機(jī)率分配為=3的波松分配。根據(jù)(1.11)式，其機(jī)率函數(shù)f(X)為例1.10新光百貨公司顧客概況（續(xù)）

由(1.14)式，可得因此，每分鐘顧客人數(shù)不少于2人之機(jī)率為例1.10新光百貨公司顧客概況（續(xù)1）圖1.11每分鐘顧客人數(shù)之機(jī)率分配圖波松分配的獨(dú)立性定理:

若X~Poisson(

1),Y~Poisson(

2)且X,Y為獨(dú)立變量。當(dāng)W=X+Y則W~Poisson(

1+2)例:續(xù)前例假設(shè)某銀行客戶(hù)進(jìn)入銀行呈穩(wěn)定的流程,已知此流程每小時(shí)平均進(jìn)入90人。令W表上午9:00~9:30與上午11:00~11:20進(jìn)來(lái)客戶(hù)人數(shù),求兩時(shí)段總共至少進(jìn)來(lái)一人機(jī)率。解:X表上午9:00~9:30進(jìn)來(lái)客戶(hù)人數(shù)

X~Poisson(45)Y表上午11:00~11:20進(jìn)來(lái)客戶(hù)人數(shù)

Y~Poisson(30)

因?yàn)閄,Y獨(dú)立,且W=X+Y則W~Poisson(75)P(W1)=1–P(W<1)=1–P(W=0)=1–e-751.3.5二項(xiàng)分配與波松分配二項(xiàng)分配與波松分配之關(guān)聯(lián)在實(shí)務(wù)應(yīng)用上，當(dāng)n20、np1或n50、np5或n100、np10時(shí)，都可以松波分配機(jī)率值作為二項(xiàng)分配機(jī)率值之近似值。

XPoisson(),=np(期望值)諸如某段時(shí)間內(nèi)電話(huà)打進(jìn)來(lái)的數(shù)目，某段時(shí)間內(nèi)交通意外事件數(shù)目，常以波松分布當(dāng)模式。這都是因其為二項(xiàng)分布極限的原因：每次試驗(yàn)成功的機(jī)率很低(p很小)，但試驗(yàn)的次數(shù)很多(n很大)，因此總共的成功數(shù)，便可以波松分布來(lái)描述了，誤差不致太大。1.3.5二項(xiàng)分配與波松分配例:

假設(shè)有一批產(chǎn)品每1000個(gè)產(chǎn)品中有1個(gè)不良品,今從此批產(chǎn)品隨機(jī)抽出5000個(gè)產(chǎn)品,求只有2個(gè)不良品的機(jī)率。解:令X表此5000個(gè)產(chǎn)品中不良品個(gè)數(shù)

X~B(5000,0.001)P(X=2)=C25000(0.001)2(0.999)4998

因?yàn)閚=5000>20且np=5<7

所以XPoisson(),=np=5

P(X=2)(52/2!)e-51.3.5二項(xiàng)分配與波松分配（續(xù)）表1.7波松隨機(jī)試驗(yàn)與二項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)比較表1.3.5二項(xiàng)分配與波松分配（續(xù)1）表1.8三個(gè)機(jī)率分配比較表1.3.5二項(xiàng)分配與