PAGEPAGE16.3連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度（2）教學(xué)目標(biāo)：了解幾種常用分布（均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布）及其應(yīng)用；教學(xué)重點(diǎn)： 正態(tài)分布； 教學(xué)難點(diǎn)： 正態(tài)分布。授課時(shí)數(shù)：2課時(shí).教學(xué)過(guò)程過(guò)程備注4.3.3常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)1．均勻分布新知識(shí)若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為（6.15）則稱隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，記作．容易證明，且．根據(jù)概率密度的定義，易得均勻分布的分布函數(shù)為當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量的概率密度和分布函數(shù)圖像分別如圖6－4和圖6－5所示．圖6－4圖6－5如果，則對(duì)任意滿足的有．這表明，在區(qū)間內(nèi)的任一小區(qū)間取值的概率與該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該小區(qū)間的具體位置無(wú)關(guān)，這就是均勻分布的概率意義．在實(shí)際生活中，有許多隨機(jī)變量服從均有分布．例如，乘客在公共汽車站候車的時(shí)間服從均勻分布；在數(shù)值計(jì)算中，精確到0.1時(shí)由四舍五入所引起的誤差也服從區(qū)間上的均勻分布．講授10′知識(shí)鞏固例4一位乘客到某公共汽車站等候汽車，如果他不知道汽車通過(guò)該站的時(shí)間，則他的候車時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量．假設(shè)該汽車站每隔10分鐘有一輛汽車通過(guò)，試求（1）該乘客的等候時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率；（2）該乘客的等候時(shí)間超過(guò)6分鐘的概率．解依題設(shè)知，該乘客的候車的時(shí)間服從區(qū)間上的均勻分布，概率密度為（1）該乘客的等候時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是．（2）該乘客的等候時(shí)間超過(guò)6分鐘的概率是．引領(lǐng)學(xué)生完成15′2．指數(shù)分布新知識(shí)如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為（6.16）其中為常數(shù)，則稱從參數(shù)為的指數(shù)分布，記作．它的分布函數(shù)為指數(shù)分布常用來(lái)作為各種“壽命”分布的近似．例如，無(wú)線電元件的壽命；動(dòng)物的壽命；隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都常假定服從指數(shù)分布．講授20′知識(shí)鞏固例4某臺(tái)計(jì)算機(jī)在報(bào)廢前使用的總時(shí)間（單位：）是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為求這臺(tái)計(jì)算機(jī)在報(bào)廢前能夠使用1000以上的概率．解根據(jù)概率密度的性質(zhì)，，因此，，．“這臺(tái)計(jì)算機(jī)在報(bào)廢前能夠使用1000以上”是指“”，所以．學(xué)生自主完成25′3．正態(tài)分布新知識(shí)如果隨機(jī)變量的概率密度為(6.17)其中為常數(shù)，且，則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記．其分布函數(shù)為．正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形如圖6－6，它具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1曲線關(guān)于對(duì)稱；性質(zhì)2在內(nèi)嚴(yán)格上升，內(nèi)嚴(yán)格下降，在處取最大值；性質(zhì)3是曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在及上曲線是凹的，在上曲線是凸的；性質(zhì)4，曲線以軸為漸近線；性質(zhì)5參數(shù)表明圖形的對(duì)稱中心，參數(shù)決定圖形的尖峰（平坦）程度．如果固定參數(shù)，改變的值，則圖形沿著軸平移（如圖6－6）；如果固定參數(shù)，改變的值，由于最大值，可知當(dāng)越小時(shí)圖形變得越尖（如圖6－7），因而落在附近的概率越大．圖6－6圖6－7正態(tài)分布在概率論中起著非常重要的作用，在各種分布中居于首要地位．實(shí)際中的許多隨機(jī)變量都近似服從正態(tài)分布．例如某年齡段的人的身高；學(xué)生考試成績(jī)；青磚的抗壓強(qiáng)度；測(cè)量的誤差等隨機(jī)變量都近似服從正態(tài)分布．這些分布都具有“中間大，兩頭小”的特點(diǎn)．一般情況下這種量可以看成是許多微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素共同作用的結(jié)果，而每一種因素都不能起到壓倒一切的主導(dǎo)作用．具有這種特點(diǎn)的隨機(jī)變量一般都可以認(rèn)為是服從正態(tài)分布的．當(dāng)正態(tài)分布中的參數(shù)時(shí)，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)分別記作(6.18)(6.19)它們的圖形如圖6－8和圖6－9所示．圖6－8圖6－9標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度具有以下性質(zhì)：（1）曲線關(guān)于軸對(duì)稱；（2）在內(nèi)嚴(yán)格上升，內(nèi)嚴(yán)格下降，在處取最大值；（3）是曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在及上曲線是凹的，在上曲線是凸的；（4），曲線以軸為漸近線．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．一般正態(tài)分布可以通過(guò)線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．設(shè)的分布函數(shù)為令，得．所以．由此得到一個(gè)重要的定理．若，則．(6.20)因此，若，則．(6.21)(6.22)由于的計(jì)算一般是很困難的，所以編制了它的近似值表（附錄：附表1）供讀者使用．由于，故表中只給出取正值時(shí)的值．因此標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值可以通過(guò)查表得到，對(duì)一般的正態(tài)分布，則需要利用來(lái)進(jìn)行計(jì)算．講授50′知識(shí)鞏固例6設(shè)，求(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．解(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．例7設(shè)，求（1）；（2）；（3）確定最小的，使．解（1）；（2）；（3）要使，因?yàn)?，所以只需，即需，由此得．故的最小值?4.935．引領(lǐng)學(xué)生完成80′新知識(shí)由例5中(4)—(6)的計(jì)算結(jié)果可知，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量幾乎全落在范圍內(nèi)(約占99.74%)．將這些結(jié)果推廣到一般正態(tài)分布，即如果，就有；；．根據(jù)上述結(jié)果可知，當(dāng)時(shí)，幾乎是必然要出現(xiàn)的事件