4.1.1微分方程及其通解與特解教學(xué)目標(biāo)： （1）感知并了解微分方程的概念。（2）理解微分方程的階、通解、特解、初始條件等概念；教學(xué)重點(diǎn)： 微分方程的基本概念教學(xué)難點(diǎn)： 微分方程的通解、特解等概念的理解。授課時(shí)數(shù)：1課時(shí)教學(xué)過(guò)程過(guò)程備注引言介紹本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。教師講授5′知識(shí)回顧已知曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），曲線上任意點(diǎn)M（x，y）處切線的斜率為2x，求曲線的方程． 設(shè)曲線方程為．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有．積分得． 其中C是任意常數(shù)．由于曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），故，解得．所以曲線的方程的方程為引導(dǎo)學(xué)生回答10′新知識(shí)上面的問(wèn)題中所建立方程的特點(diǎn)是，方程中含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分），其解是函數(shù)．像這樣，含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程叫做微分方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的方程叫做常微分方程．本章內(nèi)只討論常微分方程．如，，，，．出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階．上述五個(gè)方程中，和是二階微分方程，其余三個(gè)是一階微分方程．如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程，使其成為恒等式，那么，這個(gè)函數(shù)叫做這個(gè)微分方程的解．由于，故是微分方程的解．但是C是任意常數(shù)，表示的不只是一個(gè)函數(shù)，從幾何意義上看，表示一族拋物線（圖4－1）．因?yàn)橐阎€過(guò)點(diǎn)（1，3），即曲線滿足條件．將條件代入中，得到C=2．故微分方程滿足條件的解為．實(shí)際上，曲線是拋物線族中通過(guò)點(diǎn)的一條（圖4－1）．圖4－1若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)（如），這樣的解叫做微分方程的通解．在通解中，利用給定的條件，確定出任意常數(shù)的值的解（如）叫做微分方程的特解，所給定的條件（如）叫做初始條件．一階微分方程的初始條件一般記成的形式，如．二階微分方程的初始條件一般記成，的形式．教師講授與學(xué)生回答相結(jié)合25′知識(shí)鞏固例1求微分方程滿足初始條件，的特解． 解將微分方程，兩邊積分，得，（1）兩邊再一次積分，得． （2）將初始條件，代入方程（1）和方程（2），得 解得．因此，微分方程滿足初始條件的特解為． 說(shuō)明型的微分方程，都可以采用方程兩邊同時(shí)積分的手段求解．教師講授30′練習(xí)4.1.11.試寫出下列各微分方程的階數(shù).(1)； (2)； (3)；(4)2.求微分方程，，的特解.學(xué)生課上完成42′小結(jié)新知識(shí)：常微分方程的