2025年山東省青島市青島第五十八中學(xué)一模數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(★★)1.已知集合，，則的子集的個數(shù)為（）

A．3B．4C．8D．16(★★)2.已知，則的虛部為（）

A．B．C．D．2(★)3.已知向量，，若與同向共線，則（）

A．3B．C．或3D．0或3(★★)4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．(★★★)5.已知今天是星期三，則天后是（）

A．星期一B．星期二C．星期三D．星期五(★★★)6.已知，，，則（）

A．B．C．D．(★★)7.已知等差數(shù)列的公差為，前項和為．設(shè)甲：；乙：是遞增數(shù)列，則（）

A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件(★★★★)8.已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖象的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為（）

A．13B．11C．9D．7二、多選題(★★)9.若是樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則（）

A．的極差等于的極差B．的平均數(shù)等于的平均數(shù)C．的中位數(shù)等于的中位數(shù)D．的標(biāo)準(zhǔn)差大于的標(biāo)準(zhǔn)差(★★★★)10.已知等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值.記數(shù)列的前k項和為，（）

A．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值C．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值D．若，，則當(dāng)或14時，取得最大值(★★★)11.已知定義在上的函數(shù)不恒等于，且對任意的，有，則（）

A．B．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D．是的一個周期三、填空題(★)12.已知隨機(jī)變量，則的值為__________.(★★★)13.已知公比不為的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為_______．(★★★)14.雙曲線的兩個焦點(diǎn)為，，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為__________．四、解答題(★★★)15.已知數(shù)列中，為的前項和，，，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.(★★★)16.如圖，在多面體中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，．(1)證明：；(2)若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．(★★★)17.袋中裝有大小相同的4個紅球，2個白球．某人進(jìn)行摸球游戲，一輪摸球游戲規(guī)則如下：①每次從袋中摸取一個小球，若摸到紅球則放回袋中，充分?jǐn)嚢韬笤龠M(jìn)行下一次摸??；②若摸到白球或摸球次數(shù)達(dá)到4次時本輪摸球游戲結(jié)束．(1)求一輪摸球游戲結(jié)束時摸球次數(shù)不超過3次的概率；(2)若摸出1次紅球計1分，摸出1次白球記2分，求一輪游戲結(jié)束時，此人總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．(★★★★)18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為直線：與橢圓：的一個交點(diǎn)，且，.（1）證明：直線與橢圓相切；（2）已知直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn).（i）證明：橢圓的離心率為定值；（ii）記的面積為，若，證明：.(★★★★★)19.已知函數(shù)定義域?yàn)?，，若，，?dāng)時，都有．則稱為在上的“Ω點(diǎn)”．(1)設(shè)函數(shù)．（i）