五年級(jí)數(shù)學(xué)奧數(shù)精品講義1-34講

第一講消去問題（一）

第二講消去問題（二）

第三講一般應(yīng)用題

第四講盈虧問題（一）

第五講盈虧問題（二）

第六講流水問題

第七講等差數(shù)列

笫八講找規(guī)律

能力測(cè)試（一）

第九講加法原理

第十講乘法法原理

第十一講周期問題（一）

第十二講周期問題（二）

第十三講巧算（-）

第十四講巧算（二）

第十五講數(shù)陣問題（一）

第十六講數(shù)陣問題（二）

能力測(cè)試（二）

第十七講平面圖形的計(jì)算(-)

第十八講平面圖形的計(jì)算(二)

第十九講列方程解應(yīng)用題（■）

第二十講列方程解應(yīng)用題（二）

第二十一講行程問題（一）

第二十二講行程問題（二）

第二十三講行程問題（三）

第二十四講行程問題（四）

能力測(cè)試（三）

第二十五講平均數(shù)問題（一）

第二十六講平均數(shù)問題（二）

第二十七講長(zhǎng)方體和正方體（一）

第二十八講長(zhǎng)方體和正方體（二）

第二十九講數(shù)的整除特征

第三十講奇偶性問題

第三十一講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

第三十二講分解質(zhì)因數(shù)（一）

第三十三講分解質(zhì)因數(shù)（二）

第三十四講牛頓問題

能力測(cè)試（四）

第一講消去問題（一）

在有些應(yīng)用題里；給出了兩個(gè)或者兩個(gè)以上的未知數(shù)量間的關(guān)系；要求出這些未知數(shù)的數(shù)量.我們?cè)诮忸}時(shí);

可以通過比較條件?；分析對(duì)應(yīng)的未知數(shù)量變化的情況；想辦法消去其中的一個(gè)未知量；從而把一道數(shù)量關(guān)系較復(fù)

雜的題目變成比較簡(jiǎn)單的題目解答出來.這樣的解題方法：我們通常把它叫做“消去法”.

例題與方法

在學(xué)習(xí)例題前；我們先進(jìn)行一些基本數(shù)量關(guān)系的練習(xí)；為用消去法解題作好準(zhǔn)備.

⑴買1個(gè)皮球和1個(gè)足球共用去40元；買同樣的5個(gè)皮球和5個(gè)足球一共用去多少元?

（2）3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克；1袋大米和1袋面粉共重多少千克？

（3）6行桃樹和6行梨樹一共120棵；照這樣子計(jì)算8行桃樹和8行梨樹一共有多少棵？

（4）學(xué)校買了4個(gè)水瓶和25個(gè)茶杯；一共用去172元；每個(gè)水瓶18元；每個(gè)茶杯多少元？

例1學(xué)校第一次買了3個(gè)水瓶和20個(gè)茶杯；共用去134元；第二次又買了同樣的3個(gè)水瓶和16個(gè)差杯；共

用去118元.水瓶和茶杯的單價(jià)各是多少元？

例2買3個(gè)籃球和5個(gè)足球共、用去480元；買同樣的6個(gè)籃球和3個(gè)足球共用去519元籃球和足球的單

價(jià)各是多少元？

練習(xí)與思考

1、1袋黃豆和1袋綠豆共重50千克；同樣的7袋黃豆和7袋綠豆共重（）千克.

2、買5條毛巾和5條枕巾共用去90元；買1條毛巾和1條枕巾要（）元.

3、買4本字典和4本筆記本共、用去了68元；買同樣的9本字典和9本筆記本一共要（）元.

4、9筐蘋果和9筐梨共重495T克：找這樣計(jì)算；2筐蘋果和2筐梨共重（）T克.

5、媽媽買了5米畫布和3米白布；一共用去102元.花布每米15元；白布每米多少元？

6、果園里有14行桃樹和20行梨樹；桃樹和梨樹一共有440棵.每行梨樹15棵：每行桃樹多少棵？

8、食堂第一次運(yùn)來6袋大米和4袋面粉；一共重400千克；第二次又運(yùn)來9袋大米和4袋面粉；一共重550

千克.每袋大米和每袋面粉各重多少千克？

9、3豹味精和7包糖共重3800克；同樣的3包味精和14包糖共重7300克.每包味精和每包糖各重多少克？

10、育新小學(xué)買了8個(gè)足球和12個(gè)籃球；一共用去了984元；青山小學(xué)買了同樣的16個(gè)足球和10個(gè)籃球；

一共用去1240元.每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元？

11、買15張桌子和25把椅子共用去3050元；買同樣的5張桌子和20張椅子；需要1600元.買一張桌子和

一把椅子需要多少元？

12、3頭牛和6只羊一天共吃草93千克：6頭牛和5只羊一天共吃草130千克.每頭牛每天比每只羊多吃多少

千克?

第二講消去問題（二）

例1、7袋大米和3袋面粉共重425千克同樣的3袋大米和7袋面粉共重325千克.求每袋大米和每袋面粉

的重量.

3..三頭牛和8只羊每天共吃青草93千克：5頭牛和15只羊每天吃吉草165千克.一頭牛和一只羊每天各吃

青草多少千克？

練習(xí)與思考

1.3個(gè)皮球和5個(gè)足球共245元；同樣的6個(gè)皮和10個(gè)足球共（）元.

2.5盒鉛筆和9盒鋼筆共19（）支；同樣的2盒鉛筆和6盒鋼筆共10（）支.3盒鉛筆和3盒鋼筆共（）支;

1盒鉛筆和1支鋼筆共（）支.

3.育才小學(xué)體育組第一次買了4個(gè)籃球和3個(gè)排球；共用去了141元；第二次買了5個(gè)籃球和4個(gè)排球;

共用去180元.每個(gè)籃球和每個(gè)排球各多少元？

1.3筐蘋果和5筐梨共重138千克；5筐同樣的蘋果和3筐同樣的共重134千克.；每筐革果和每筐梨各重

多少千克？

5.某食堂第一次運(yùn)進(jìn)大米5袋；面粉7袋：共重1350千克：第二次運(yùn)進(jìn)大米3袋；面粉5袋；共重850

T?克.一袋大米和一袋面粉各重多少千克？

6.3件上衣和7條褲子共430元；同樣的7件上衣和3條褲子共470元.每件上衣和每條棵子各多少元？

7.2千克水果糖和5千克餅干共64元；同樣的3千克水果糖和4千克餅干共68元.每千克水果糖和每千克

餅干各多少元？

8.5包科技書和7包故事書共620本；6包科技書和3包故事書共420本.每包科技書比每包故事書少多少

本？

9.3個(gè)水瓶和8個(gè)茶杯共92元：5個(gè)水瓶和6個(gè)茶杯共102元.每個(gè)水瓶和每個(gè)茶杯各多少元？

10.甲有5盒糖；乙有4盒糕共值44元.如果甲、乙兩人對(duì)換一盒；則每人所有物品的價(jià)值相等.一盒糖、

一盒糕各值多少元？

第三講一般應(yīng)用題

在小學(xué)里；通常把應(yīng)用題分為“一般應(yīng)用題”和“典型應(yīng)用題I”兩大類.“典型應(yīng)用題”

有基本的數(shù)量關(guān)系、解題模式；較復(fù)雜的問題可以通過“轉(zhuǎn)化”；向基本的問題靠攏.我們已經(jīng)學(xué)過的“和差問題”、

和''倍差問題”等等；都是“典型應(yīng)用題”.“一般應(yīng)用題I”沒有各頂?shù)臄?shù)量關(guān)系；也沒有可以以來的解題模

式.解題時(shí)要具體問題具體分析；在認(rèn)真審題；理解題意的基礎(chǔ)上；理清一知條件與所求問題之間的數(shù)量關(guān)系；

從而確定解題的方法.對(duì)于比較復(fù)雜的問題；可以借助線段圖、示意圖、直觀演示等手段幫助分析.

例題與方法

例1、把一條大魚分成魚頭、魚身、魚尾三部分；魚尾重4千克；魚頭的重量等于魚尾的重量加身一般的重

量：而魚身體、的重量等于魚頭的重量加上魚尾的重量.這條魚重多少千克？

例2、一所小學(xué)的五年級(jí)有四個(gè)班；其中五（1）班和五（2）班共有81人；五（2）班和五（3）班共有83人五

（3）班和五（4）班共有86人：Z（1）班比五（4）班多2人.這所學(xué)校五年級(jí)四個(gè)班各有多少人？

例3、甲、乙兩位漁夫在和邊綽魚；甲釣了5條；乙釣了3條；吃魚時(shí)；來了一位客人和甲、乙平均分吃這

條魚.吃完后來客付了8角錢作為餐費(fèi).問：甲、乙兩為漁夫各應(yīng)得這8角錢中的幾角？

例4、一個(gè)工地用兩臺(tái)挖土機(jī)挖土；小挖土機(jī)工作6小時(shí)；大挖土機(jī)工作8小時(shí)；一共挖土312方.已知小挖

土機(jī)5小時(shí)的挖土量等于大挖土機(jī)2小時(shí)的完土量；兩種挖土機(jī)每小時(shí)各挖土多少方？

例5、甲、乙、丙三人用同樣多的錢合買西瓜.分西瓜時(shí)；甲和丙都比乙多拿西瓜7.5千克結(jié)果甲和丙各給

乙1.5元錢.每千克西瓜多少元|?

例6、小紅有一個(gè)儲(chǔ)蓄筒；存放的都是硬幣；其中2分幣比5分幣多22個(gè).而按錢數(shù)算；5分幣比2分幣多

4角.已知這些硬幣中有36個(gè)1分幣.問：小紅的儲(chǔ)蓄筒里共存了多少錢？

練習(xí)與思考

（第1?4題13分；其余每題12分；共100分.）

1.有一段木頭；不知它的長(zhǎng)度.用一根繩子倆量它；繩子多】5米；如果將繩子對(duì)折以后再來量；又不夠04

米.同：這段繩子長(zhǎng)多少米？

2.甲、乙兩人拿出同樣多的錢合買一段花布；原約定各拿花布同樣多.結(jié)果甲拿了6米；乙拿了14米.這

樣；乙就要給甲12元錢.每米花布的單價(jià)是多少元？

3.甲、乙丙合三人各出同樣多的錢合買蘋果若干千克.分蘋果時(shí)；甲和丙都比乙多拿7.8千克蘋果；這樣

甲和丙各應(yīng)給乙6元錢.每千克蘋果多少錢？

?1.學(xué)校買了2張桌子和5把椅子；共付了330元.每張桌子的價(jià)錢是每把椅子的3倍.每張桌子多少元？

5.某校六年級(jí)有甲、乙、丙丁四個(gè)班；不算甲班；期于三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班；期于三個(gè)班

的總?cè)藬?shù)是134人.已知乙、丙兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)少1人；甲、乙丙、丁四個(gè)班共有多少

人？

6.李大伯買了15T克特制面粉和35T克大米；共用去31.2元.已知1T克特特制面粉的價(jià)格是1T克大

米的2倍.李大伯買特制面粉和大米各用去多少元？

7.14千克大豆的價(jià)錢與8千克花生的價(jià)錢相等；已知1千克花生比1千克大豆貴12元；大豆和花生的單

價(jià)各是多少元？

8.某車間按計(jì)劃每天應(yīng)加工50個(gè)零件；實(shí)際每天加工56個(gè)零件.這樣；不僅提前3天完成原計(jì)劃加工凌

駕的任務(wù)；而求多加工了120個(gè)零件.這個(gè)車間實(shí)際加工了多少個(gè)零件？

9.用8千克絲可以織6分米寬的綢4米；現(xiàn)在有10千克的絲；要織75分米寬的綢；可以織幾米？

第四講盈虧問題（一）

盈虧問題又叫盈不足問題；是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對(duì)象；如果按某種標(biāo)準(zhǔn)分；則分配后會(huì)

有剩余（盈）；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分；又會(huì)不足（虧）；求物品的數(shù)量和分配對(duì)象的數(shù)量.例如：

小朋友分蘋果；如果每人分2個(gè)：就多余16個(gè)；如果每人分5個(gè)；

就缺少14個(gè).小朋友有多少個(gè)？蘋果有多少個(gè)？

比較兩次分的結(jié)果；第一次余16個(gè)；第二次少14個(gè)；兩次相差1+14=30（個(gè)）.這是因?yàn)榈诙伪鹊?/p>

一次每人多分了5-2=3（個(gè)）蘋果.相差30個(gè)：就說明有30+3=10（個(gè)）小朋友.請(qǐng)小讀者自己算出蘋果的

個(gè)數(shù).

例題與方法

例1、將一些糖果分給幼兒園小班的小朋友；如果每人分3粒；就會(huì)余下糖果17粒；如果每人分5粒；就

會(huì)缺少糖果13粒.問：幼兒園下班有多少個(gè)小朋友|這些糖果共有多少粒？

例2、學(xué)生搬一批磚；每人搬4塊：其中5人要搬兩次：如果么人搬5塊；就有兩人沒有磚可搬.搬磚的學(xué)生

有多少人？這批磚共有多少塊？

例3某校在植樹活動(dòng)中：把一批樹苗分給各班：如果每班分18棵：就會(huì)有余下24棵：如果每班分20棵：正

好分完.這個(gè)學(xué)校有多少個(gè)班？這批樹苗共有多少棵？

練習(xí)與思考

1.小朋友分糖果若每人分4粒則多9粒；若每人呢分5粒則少6粒.問：有多少小朋友？有多少粒糖果？

2.小朋友分糖果；每人分1。粒正好分完；若每人呢分16粒；則有3個(gè)小朋友分不到糖果.問：有多少粒

糖果？

3.在橋上測(cè)量橋面.把繩長(zhǎng)對(duì)折后垂到水面：還余4米；把繩K3折后垂到水面；還氽1米.橋高多少米？

繩長(zhǎng)多少米？

4.某校安排新生宿舍；如果每間住12人；就會(huì)有34人沒有宿舍??；如果每間住14人就會(huì)有空出4間宿

舍.這個(gè)學(xué)校有多少間？要安排多少個(gè)新生？

5.在依次大掃除中：有一些同學(xué)被分配擦玻璃；他們當(dāng)中如果有2人擦4塊；其余的人各擦5塊：就會(huì)多

下12塊玻璃沒有人擦；如果么人擦6塊；剛好擦完.擦玻璃的同學(xué)有多少人？玻璃共有多少塊？

6.有一個(gè)數(shù)；減去3所的差的4倍；等于它的2倍加上36.這個(gè)數(shù)是多少？

7.體育老師和一個(gè)朋友一起上街買足球.他發(fā)現(xiàn)自己身邊的錢；如果買10個(gè)“冠軍”牌足球；還差42元:

后來他向朋友借了1000元；買了31個(gè)“冠軍”牌足球；結(jié)果多了13元.體育老師原來身邊帶了多少元？

8.某小學(xué)生乘汽車去春游；如果每輛車坐65人；就會(huì)有15人不能乘車；如果每輛車多坐5人恰好多余了

一輛車.一共有多少輛汽車？有多少個(gè)學(xué)生？

第五講盈虧問題（二）

上一講：我們講了盈虧問題的一般情形：也就是在量詞分配中恰好洋盈（多余）：一次虧（不足）.事實(shí)上：

在許多問題里；也會(huì)出現(xiàn)兩次都是盈（多余）；或者兩次都是虧：不足）的情況.

例1、學(xué)校將一批鉛筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生；每人9支缺15支；每人7支就缺7支.問：三好學(xué)生有多少人；鉛筆

有多少支？

例2、某小學(xué)的部分同學(xué)外出參觀；如果每輛車坐55人就會(huì)余下30個(gè)座位；如果每輛車坐50人；就還可以

坐10人.有多少輛車？去參觀的學(xué)生多少人？

例3、學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校.王強(qiáng)上學(xué)去；如果每分鐘走60米；可以提早10分鐘到校；如果每分鐘作嘔50

米可以提早8分鐘到校.問：王強(qiáng)什么時(shí)候離開家？他家離學(xué)校多遠(yuǎn)？

練習(xí)與思考

（第1-4題13分；其余每題12分；共100分.）

1.同學(xué)們打羽毛球；每?jī)扇艘唤M.每組分6個(gè)羽毛球：少10個(gè)球；每組分4個(gè)羽毛球；少2個(gè)球.問：共、

有多少個(gè)同學(xué)打球？有多少個(gè)羽毛球？

2.學(xué)校將一批鋼筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生；每人8支缺11支；每人7支缺7支.問：三好學(xué)生有多少人？鋼筆有多

少支？

3.某小學(xué)的部分學(xué)生去春游；如果每輛車坐50人；就會(huì)余下30個(gè)座位；如果每輛車坐40個(gè)人；還可以

坐10人.問有多少輛車？去春游的學(xué)生多少人？

4.一筐蘋果分給一個(gè)小組：每人5個(gè)剩16個(gè)：每人7個(gè)缺12個(gè).這個(gè)小組有多少人？共有多少蘋果？

5.一些學(xué)生分練習(xí)本.其中兩人每人分6本；其余每人分4本；就會(huì)多4本：如果有一人分10本：其余每

人分6本；就會(huì)少18本.學(xué)生有多少人？練習(xí)本多少本？

6.一個(gè)學(xué)生從家到學(xué)校；先用每分50米的速度走了2分；如果這樣走下去；他會(huì)遲到8分；后來他改用

每分60米的速度前進(jìn)；結(jié)果早到學(xué)校5分.這個(gè)學(xué)生家到學(xué)校的路程是多少米？

7.筑路對(duì)計(jì)劃每天筑路720米；實(shí)際每天比原計(jì)劃多筑802米；這樣；在規(guī)定完成任務(wù)時(shí)間的前3天；就

只剩下1160米未筑.這條路多長(zhǎng)？

8.老師給幼兒園小朋友分蘋果.每2人3個(gè)蘋果：多2個(gè)宰果；每3人5個(gè)蘋果；少4個(gè)蘋果.問：有多少

小朋友？多少蘋果？

第六講流水問題

想一想：從南京長(zhǎng)江逆流而上去長(zhǎng)江三峽；與從長(zhǎng)江三峽順?biāo)?回南京；哪個(gè)花的時(shí)間少？哪個(gè)花的時(shí)

間多？為什么？

原因很簡(jiǎn)單.在長(zhǎng)江行船與在一個(gè)平靜的湖這行船是不一樣的；因?yàn)殚L(zhǎng)江的水是一直從西向東（也就是從上

游向下游）流著的；船的速度會(huì)受到江水的影響.而在平靜的湖水中行船時(shí)；船的速度不會(huì)受到水流的影響.考慮

船在水流速度的情況下行駛的問題；就是我們這一講要講的流水問題.

船在順?biāo)叫袝r(shí)（比方說；從長(zhǎng)江三峽順流而下到南京）；船一方面按照自己本身的速度即船速（船在靜水中

行駛的速度）行駛：同時(shí)整個(gè)水面又按照水的流動(dòng)速度在前進(jìn)；水推動(dòng)著船向前；所以；船順?biāo)畷r(shí)的航行速度應(yīng)

該等于船本身的速度與水流速度的和.也就是

順?biāo)俣榷?水速

比方說：船在靜水中行駛10千米：水流速度是每小時(shí)5千米：那么：船順?biāo)叫械乃俣染褪敲啃r(shí)10+5=15

（千米）.

同學(xué)們可以想一想；上面的問題中；如果是問“船逆水航行的速度是多少？”答案又該怎么樣呢？船逆水

行駛；情況恰好相反.本來船每小時(shí)行駛10千米；但由于水每小時(shí)又把它往回推了5千米；結(jié)果船每小時(shí)只向上

游行駛了10—5=5(千米).

也就是船在逆水中的速度等于船速度與水速之差.即

逆水速度二船速一水速

例1、一艘每小時(shí)行駛30千米的客輪；在一河水中順?biāo)叫?65千米；水速每小時(shí)3千米.問：這艘客輪

需要航行多少小時(shí)？

例2、一艘船順?biāo)?20千米需要8小時(shí)；水流速度是每小時(shí)15千米；這艘船逆水每小時(shí)行多少千米？

這艘船逆水行這段路程；需要多少小時(shí)？

例3、甲船逆水航行360千米需要18小時(shí)；返回原地需要10小時(shí)；乙船逆水航行同樣的異端水路需要15

小時(shí)；返回原地需要多少小時(shí)？

練習(xí)與思考

1.一只小船以每小時(shí)30千米的速度在176千米長(zhǎng)的河中逆水而行：用了211小時(shí).這只小船返回原處需要

用多少小時(shí)？

2.船在靜水中的速度是每小時(shí)25千米；河水流速位每小時(shí)5千米；一只船往返甲、乙兩港共花了9小時(shí);

兩港相距多少千米？

3.兩地距280千米；一艘輪船在期間航行；順流用t14小時(shí)；逆流用去20小時(shí).求這艘輪船在靜水中的

速度和水流的速度.

4.一架飛機(jī)所帶的燃料；最多可以用6小時(shí)；飛機(jī)去是順風(fēng)；每小時(shí)可以飛1500千米；飛回時(shí)逆風(fēng)；每

小時(shí)可以飛1200T米.這架飛機(jī)最多飛出多少T米；就需耍往回飛？

5.乙船順?biāo)叫?小時(shí)；行了120千米；返回原地用了4小時(shí).甲船順?biāo)叫型欢嗡罚挥昧?小時(shí).甲

船返回原地比去時(shí)多用多少小時(shí)？

第七講等差數(shù)列

(1)1；2；3；4；5；6；7；8；???

(2)2；4；6；8；1()；12；14；16；…

(3)1；4：9；16；25；36；49；…

上面三組數(shù)都是數(shù)列.

數(shù)列中稱為項(xiàng)；第一個(gè)數(shù)叫第一項(xiàng)；乂叫首項(xiàng)；第二個(gè)數(shù)叫第二項(xiàng)……以此類推；最后一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列

的末項(xiàng).項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù).

一個(gè)數(shù)列中；如果從第二項(xiàng)起；每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差都相等；這樣的數(shù)列叫等差數(shù)列.后項(xiàng)與前項(xiàng)的差

叫做這個(gè)等差數(shù)列的公差.

如等差數(shù)列：4；7；10；13；16；19；22；25；28.首項(xiàng)是4；末項(xiàng)是28；共差是3.

這一講我們學(xué)習(xí)有關(guān)等差數(shù)列的知識(shí).

例題與方法

例1、在等差數(shù)列1：5：9：13；17；???；401中401是第幾項(xiàng)？

例2、100個(gè)小朋友排成一排報(bào)數(shù)；每后一個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)多3；小明站在第一個(gè)位

置；小宏站在最后一個(gè)位置.已知小宏報(bào)的數(shù)是300；小明報(bào)的數(shù)是兒？

例3、有一堆粗細(xì)均勻的圓木；堆成梯形；最上面的一層有5根圓木；每向下一層增加一根；一共堆了28

層.最下面一層有多少根？

例4、1+2+3+4+5+6+???+97+98+99+100=?

例5、求100以內(nèi)所有被5除余10的自然數(shù)的和.

例6、小王和小胡兩個(gè)人賽跑；限定時(shí)間為10秒；誰(shuí)跑的距離長(zhǎng)誰(shuí)就獲勝.小王第一秒跑1米；以后每秒

都比以前一秒多跑0.1米：小胡自始至終每秒跑1.5米：誰(shuí)能取勝？

練習(xí)與思考

(每題10分：共100分.)

1.數(shù)列4；7；10；……295：298中298是第幾項(xiàng)?

2.蝸牛每小時(shí)都比前一小時(shí)多爬0.1米；第10小時(shí)蝸牛爬了1.9米；第一小時(shí)蝸牛爬多少米？

3.在樹立俄；10：13；16；…中；907是第幾個(gè)數(shù)？第907個(gè)數(shù)是多少？

1.求自然數(shù)中所有三位數(shù)的和.

5.求所有除以4余1的兩位數(shù)的和.

6.0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+011+013+015+-099的和是多少?

7.梯了最高級(jí)寬32厘米：最底級(jí)寬110厘米；中間還有6級(jí)；各級(jí)的寬度成等差數(shù)列；中間級(jí)寬

多少厘米？

8.有12個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列；第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的和是12；求這12個(gè)數(shù)的和.

9.一個(gè)物體從高空落下；已知第?秒下落距離是4.9米：以后每秒落下的距離是都比前一秒多9.8米50

秒后物體落地.求物體最初距地面的高度.

10.求下面數(shù)字方陣中所有數(shù)的和.

1；2；3；…；98；99；100

2；3；4；…99；100；101

3；4；5；…；100；101；102

100,101,102,-197,198,199

第八講找規(guī)律

你能找出下面各數(shù)列暴烈的規(guī)律嗎？請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填上合適的數(shù)》

(1)8：15；22；()；36：…；

(2)17；1；15；1；13；1；()；()；9；1；…；

(3)45：1；43；3；41；5；()；()；37；9；…;

(4)1；2；4；8；16；()；64；???；

(5)10；20；21；42；43；()；()；174；175；???；

(6)1；2：3；5；8；13：21；()；55.

例L1；2；3：2：3；4；3：4；5；4；5；6；6；7；…從第一個(gè)數(shù)算起；前100個(gè)數(shù)的和是多少？

練習(xí)與思考

(第1題30分；其余每題10分；共100分.)

(1)找規(guī)律；在括號(hào)內(nèi)填上合適的數(shù).

(I)1,3,9,27,(),243;

(2)2,7,12,17,22,(),(),37;

(3)1,3,2,4,3,(),4;

(4)0,3,8,15,24,(),.48;

(5)6,3,8,5,10,7,12.9」),11:

(6)2,3,5,(),(),17,23;

(7)81,64,()；36；()；16；9；4；1；

(8)21；26；19；24；()；()；15；20；

(9)1；8；9；17；26：()；69；

(10)4；11；18；25；()；39；46；

2.一串?dāng)?shù)按下面規(guī)律排列：

1;3：5：2；4；G：3；5；7；4；6：8：5；7；9；…

從第一個(gè)數(shù)算起；前100個(gè)數(shù)的和是多少？

3.有一串黑白相間的珠子(如下圖)；第100個(gè)黑珠前面一共有多少個(gè)白珠?

4.在平面中任意作100條直線；這些直線最多能形成多少個(gè)交點(diǎn)？

5.在平面中任意作20條直線；這些直線最多可把這個(gè)平面分成多少個(gè)部分?

6.

序」12345

算:1+12+33+51+72+5

序」6789???

算］3+111+132+153+17???

根據(jù)上面的規(guī)律；第4()個(gè)序號(hào)的算式是什么？算式T+103”的序號(hào)上多少？

7.小正方形的邊長(zhǎng)是1厘米；依次作出下面這些圖形.

k

□Hz-cEzi_*田二二二3：

已知笫一幅圖的周長(zhǎng)是10厘米.

（1）36個(gè)正方形組成的圖形的周長(zhǎng)是多少厘米？

（2）周長(zhǎng)是70厘米的圖形；由多少個(gè)正方形組成？

已知第一幅圖的周長(zhǎng)是】（）厘米.

（1）36個(gè)正方形組成的圖形的周廠是多少厘米？

（2）周長(zhǎng)是70厘米的圖形；由多少個(gè)正方形組成？

8在方格紙上畫折線（如本講例4圖）；小方格的邊長(zhǎng)是1；圖中的1；2；3；4；…分別表示折線擴(kuò)大第1；

2；3：4：…段.求折線中第100段的長(zhǎng)度.長(zhǎng)度是30的是第幾段？

能力測(cè)試（一）

一、填空題（每空3分；工39分）.

1.在下面的括號(hào)里按照規(guī)律填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字.

(1)1；2；3；4；8；16；()；64；128.

(2)5；10；15；20；25；()；35；40.

(3)4；7；10；13；16；()；22；25.

(4)1；1：2；3；5：8；13；21；()

(5)1024；512；256；()；64；32；16：8；4.

(6)2：5：11：20：32：()：65：86.

(7)1；3：2；4；3；5；()：6；5.

(8)1；4；9；16：25；()；49；64.

1.9個(gè)人9天共讀書1620頁(yè)；平均1個(gè)人1天共讀書（）頁(yè)；照這樣計(jì)算；5個(gè)同學(xué)5天讀書（）頁(yè).

2.如果平均1個(gè)同學(xué)1天植樹（）棵；那么；3個(gè)同學(xué)4天共植樹120棵.

3.買3只足球和9只籃球共用了570元；買9只足球和27只籃球要用（）元.

二、計(jì)算題（每小題5分；共10分）.

2+4+6+8+10+…+22+24+26

2.1+2+3+4+5+6+…+1996+1997+1998

三、應(yīng)用題（第1?4題10其余每題10分；第5題11分；共51分）.

1.李老師將一疊練習(xí)本分給第一組的同學(xué)；如果每人分7本；還多7本.如果每人分9；那么有一個(gè)同學(xué)譯

本也分不到.第一組有多少同學(xué)？這疊練習(xí)本一共有多少本？

2.一只小船在河中逆流航行176千米；用了11小時(shí).一知水流速度是每小時(shí)4千米；這只小船返回原處要

用多少小時(shí)？

3.4只籃球和8只足球共買560元;6只籃球和3只足球共買390元.問：一只籃球和一只足球各買多少元？

4.有10兀鈔票與5兀鈔票共128張；其中10兀比5兀多260兀.兩種面額的鈔票各是多少?gòu)垼?/p>

5.下面是一種特殊數(shù)列的求和方法.

要求數(shù)列2；4；8；16；32；64；-；1024；2048的和;方法如下:

S=2+4+8+16+32+64+…+1024+20482

2S=4+8+16+32+64+…+1024+2048+4096

用下面的式子減去上面的式子；就得到

S=4096-2=4094

即數(shù)列2；4；8；16；32；64；-；1024；2048的和是4094.

仔細(xì)閱讀上面的求和方法；然后利用這種方法求F面數(shù)列的和.

1；3；9；27；81；243；???；177147；531441.

第九講加法原理

在日常生活與實(shí)踐中；我們經(jīng)常會(huì)遇到分組、計(jì)數(shù)的問題.解答這一類問題；我們通常運(yùn)用加法與那里

與乘法原理這兩個(gè)基本的計(jì)數(shù)原理.熟練掌握這兩個(gè)原理；不僅可以順利解答這類問題；而求可以為今后升入

中學(xué)后學(xué)習(xí)排列組合等數(shù)學(xué)知識(shí)打下好的基礎(chǔ).

什么叫做加法原理呢？我們先來看這樣一個(gè)問題：

從南京到上海；可以乘火車；也可以乘汽車、輪船或者飛機(jī).假如一天中南京到上海有4班火車、6班

汽車；3班輪船、2班飛機(jī).那么一天中乘做這些交通工具從南京到上海共有多少種不同的走法？

我們把乘坐不同班次的火車、汽車、輪船、飛機(jī)稱為不同的走法；那么從南京到上海；乘火車有4種

走法；乘汽車有6種走法；乘輪船有3種走法；乘坐飛機(jī)有2種走法.因?yàn)槊恳环N走法都可以從南京到上海；

因此；一天中從南京到上海共有4+6+3+2=15（種）不同的走法.

我們說；如果完成某一種工作可以有分類方法；一類方法中又有若干種不同的方法：那么完成這件任

務(wù)工作的方.法的總數(shù)就等于各類完成這件工作的總和.即N=m+in?+…+（M代表完成一件工作的方法

的總和；mi,nh,…叫表示每一類完成工作的方法的種數(shù)）.這個(gè)規(guī)律就乘做加法原理.

例1書架上有10本故事書；3本歷史書；12本科普讀物.志遠(yuǎn)任意從書架上取一本書；有多少種不同

的取法？

例2一列火車從上上海到南京；中途要經(jīng)過6個(gè)站；這列火車要準(zhǔn)備多少中不同的車票？

例3在4x4的方格圖中（如下圖）；共有多少個(gè)正方形？

例4媽媽；爸爸；和小明三人去公園照相：共有多少種不同的照法?

練習(xí)與思考

L,從甲城到乙城；可乘汽車；火車或飛機(jī).已知一天中汽車有2班；火車有4班；甲城到乙城共有（）

種不同的走法.

2.一列火車從上海開往杭州；中途要經(jīng)過4個(gè)站；沿途應(yīng)為這

列火車準(zhǔn)備一種不同的車票.

3.下面圖形中共有一個(gè)正方形.

4.圖中共有個(gè)角.

書架上共有7種不同的的故事書；中層6本不同的科技書；下層有4鐘不同的歷史書.如果從書架

上任取一本書；有一種不同的取法.

6.平面上有8個(gè)點(diǎn)（其中沒有任何三個(gè)點(diǎn)在一條直線上）；經(jīng)過每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)畫一條直線；共可以畫

條直線.

7.

第7題第8題

8.圖中共有一個(gè)正方形.

9.從2；3；5；7；11；13；這六個(gè)數(shù)中；每次取出兩個(gè)數(shù)分別作為一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母；一共可

以組成個(gè)真分?jǐn)?shù).

10.某鐵路局從A站到F站共有6個(gè)火車站（包括A站和F站）鐵路局要為在A站到F站之間運(yùn)行的

火車準(zhǔn)備種不同的車票；其中票價(jià)不相同的火車票有_____種.

第十講乘法原理

上一講我們學(xué)習(xí)了用“加法原理”計(jì)數(shù)；這一講我們學(xué)習(xí)“乘法原理”.什么是乘法原理呢？我們來

看這樣一個(gè)問題:

從甲地到乙地有3條不同的道路；從乙地到丙地有4條不同的道路.從甲地經(jīng)過乙地到丙地；共有多

少種走法？

我們這樣思考：從甲地到乙地的3條道路中任意選一條都可以從甲地到乙地；再?gòu)囊业卮蟊氐?條

道路中任意選一條都可以從乙地到丙地；那么：從甲地到乙地的3條道地第一條到達(dá)乙地后；可以走從乙

地到丙地的任意一條路；這樣就有了4種不同的走法.從甲地到乙地的第二條、第三條路到達(dá)乙地后；仍可

以從乙地到丙地的4條路中任選一條到丙地：如圖所示：

-2——>

2.，丙

44，

甲杳

I.［丙

2-

A____?>

從圖中可以看出；從甲地到丙地共有3X4=12（種）走法.如果完成一件事情需要幾個(gè)步；完成第一

步有叫種不同的方法；完成第二步有m2種不同的方法：…那么；完成這件工作共有N二叫xm2xmax…x

種不同的方法.這就是乘法原理.

例1書架上有4本故事書；7本科普書；志遠(yuǎn)從書架上任取一本故事書和一本科普書；共有多少種不同

的取法？

例2從2、3、5、7、11這五個(gè)數(shù)字中每次取出2個(gè)數(shù)字；分別作為一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母；一共可以

組從多少個(gè)分?jǐn)?shù)？其中有多少個(gè)真分?jǐn)?shù)？

例3用9、8、7、6這四個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這些位數(shù)的和是多少？

例4如圖；A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、白四種顏色中的某一種染色.若要求相鄰的區(qū)域

染不同的顏色；問：共有多少種不同的染色方法？

A

BCD

例5如圖；小明家到學(xué)校有3條東西向的馬路和5條南北向的馬路.他每天步行從家到學(xué)校（只能向

東或向南走）；最多有多少種不同的走法？

小明家

學(xué)校

練習(xí)與思考

1.從甲地到乙地有兩條河；從乙地到丙地有3條路可走；從甲地經(jīng)乙地到丙地共有___亂走法.

2.書架的上、中、下層各有3本、5本、、4本故事書.若要從每層書架上任取一個(gè)本書；共有一種不

同的取法.

3.有1：2；3；三數(shù)字；一共可以組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

4.兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行乒乓球比賽；每班選3人；每人都要和對(duì)方的每個(gè)選手賽一場(chǎng)；一共要賽一場(chǎng).

5.從5；7：11；13這四個(gè)數(shù)中每次取2個(gè)數(shù)組成分?jǐn)?shù)；一共可以組成一個(gè)分?jǐn)?shù)；其中真分?jǐn)?shù)有個(gè).

6.圖中一共有個(gè)不同的長(zhǎng)方形.

7.一個(gè)口袋里裝有5個(gè)小球；另.一個(gè)口袋里裝有4個(gè)小球.這些小球的顏色互不相同.

（1）從兩個(gè)口袋里任意取一個(gè)小球；有種不同的取法.

（2）從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球：有種不同的取法.

8.某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)三面棋從上到下掛在旗桿上的三個(gè)位置表示信號(hào).每次可掛一面、二面或三面;

并且不同的順序、不同的位置表示不同的信號(hào).一共可以表示種不同的信號(hào).

9.用0到9這十個(gè)數(shù)字可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

第十一講周期問題（一）

世間萬(wàn)物；千奇百怪；運(yùn)動(dòng)變化；千姿百態(tài).可這貌似“雜亂無章”的世界卻受到各式各樣的規(guī)律支

配著.在這些規(guī)律中；有一種最常見的規(guī)律就是從形形色色的周期現(xiàn)象中提煉出來的規(guī)律.

如果某一事物的變化具有周期性；那么；該事物在經(jīng)歷一段變化后；乂會(huì)呈現(xiàn)原倆的狀態(tài).我們把事

物所經(jīng)歷的這一段；叫該事物變化的周期.例如；在自然數(shù)列中；各位數(shù)字變化的周期是10；星期日出現(xiàn)的

周期是7（天）；用動(dòng)物記年的走器是12（年）等等.

在數(shù)學(xué)中；我們把與周期性有關(guān)的數(shù)學(xué)問題叫做周期問題.解答這類問題；要抓住一下兒點(diǎn)：

1.找出規(guī)律；發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象.

2.把要求的問題和某一周期的變化相對(duì)應(yīng)；以求得問題解決.

例1有249朵花；按5朵紅花；9朵黃花；13朵綠花的順序輪流排列；最后一朵是什么顏色的花？這

249朵花中；紅花、黃花、綠花各有多少朵？

例21997年元旦是星期三：那么；同年12月1日是星期幾？

例3國(guó)慶節(jié)；路旁掛起了一盞越彩燈；小華看到每?jī)杀K.白燈之間有紅、黃、綠燈各一盞.那么；第80

盞燈應(yīng)是什么顏色的？

例47所表示1998個(gè)7連乘；它的結(jié)果末位上的數(shù)字是幾？

例5下面是一個(gè)11位數(shù)；每3個(gè)相鄰數(shù)字之和都是17；你知道“？”表示的數(shù)字是幾嗎?

思考與練習(xí)

1.把1\7化成小數(shù)：請(qǐng)回答：

（1）小數(shù)點(diǎn)后面第80個(gè)數(shù)字是兒？

（2）小數(shù)點(diǎn)后面前80個(gè)數(shù)字H勺和是多少？

2.把1\81化成小數(shù)后；小數(shù)點(diǎn)后面100位數(shù)字之和是多少？

3.今天是星期一；從明天開始第1800天是星期幾？

4.有同樣大小的紅珠、白珠、黑株共有160個(gè)？按4個(gè)紅株；3個(gè)白株；2個(gè)黑株的順序排列著.黑株

共有幾個(gè)？第101個(gè)株子是什么顏色？

5.我國(guó)農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬這12種動(dòng)物按順序輪流代表各年號(hào).

如果1940年是龍年：那么：1996年是什么年？

5.科學(xué)家進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)；每隔6小時(shí)做一次記錄.第10次記錄時(shí)；掛鐘的時(shí)針恰好指向7；問：做第幾

一次記錄時(shí)；時(shí)針指向幾？

7.124蚱表示15個(gè)124連乘；所得積的末位數(shù)字是幾?

8.下面是一個(gè)11位數(shù)；每三個(gè)相鄰數(shù)字之和都是15；你知道問好表示的數(shù)字是幾嗎？這個(gè)II位數(shù)水

多少？

?

第十二講周期問題（二）

例1有13名小朋友編成1到13號(hào)；他們呢依次圍成月毫個(gè)源泉做游戲.現(xiàn)在從1號(hào)開始；每數(shù)到第3

個(gè)人發(fā)一粒糖（每人只拿一次糖）.那么；最后一個(gè)拿到糖的小朋友是幾號(hào)？

例2緊接著1998后面寫一串?dāng)?shù)字；寫下的每個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)數(shù)字的乘積的各個(gè)位數(shù).例如；9X

8-72.在8后面寫1；8；X2-16；在2后面寫6；...得到一串?dāng)?shù)：199826....這串?dāng)?shù)字從1開始往

右數(shù)；第1998個(gè)數(shù)字是幾？

例3把自然數(shù)按下表規(guī)律排列后；可分成A、B、C、D、E五類；例如；3在C類；10在B類.那么985

在哪一行；哪一類？

ABCDE

1234

S765

9111

012

??????1

3

????????

例4把1至8個(gè)數(shù)碼擺成一個(gè)圓圈《現(xiàn)在有一個(gè)小球；第一天從1號(hào)順時(shí)針前進(jìn)203個(gè)位置；第二天

再順時(shí)針前進(jìn)335個(gè)位置；第三天又順時(shí)針前進(jìn)203個(gè)位置；笫四天再舒適鎮(zhèn)前進(jìn)335個(gè)位置；第五天又

順時(shí)針前進(jìn)203個(gè)位置……試問:至少經(jīng)過幾天后;小球又回到1號(hào)位置?

例5下表中：將每列上下兩個(gè)漢字組成一組；例如；第一-組為（學(xué)做）：第二組為（習(xí)接）.那么第649

組是什么？

例6在一根長(zhǎng)10（）厘

學(xué)習(xí)好學(xué)習(xí)好學(xué)習(xí)好???

米的木棍上：自左至右每

做接班人做接班人做???

隔6匣米染一個(gè)紅點(diǎn)；同

時(shí)自右至左每隔5