第02講簡單幾何體（核心考點講與練）

考點考而

空間幾何體的表面積、體積

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

⑴多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D'D'

圖形A

ABARAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交于一點,但不一定相

側(cè)棱平行且相等延長線交于一點

等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

⑵旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

?S：o

￡

圖形a

1

互相平行且相等，

母線相交于一點延長線交于一點

垂直于底面X

軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開

矩形扇形扇環(huán)

圖X

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

<------>/\

<------>

1

142%；

側(cè)面展開圖11/DA/2b乃

2irr!格,

S圓錐側(cè)=兀rl

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2兀rls圓臺側(cè)=癡（1+%）］

3.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體

V=sh

S表面積=S側(cè)+2s底&

（棱柱和圓柱）

錐體

S表面積S側(cè)+S底V==s_gji

5----

（棱錐和圓錐）

臺體

，=J（S上+S下+48甬）為

S表面積S側(cè)S上S下

（棱臺和圓臺）

4H

球S=4-員

3---

［方法技巧）

1.求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多

的表面積面體的表面積

求旋轉(zhuǎn)體可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要

的表面積搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系

求不規(guī)則

通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱

幾何體的

體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積

表面積

2.求體積的常用方法

直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算

割補法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)

則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算

選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任

等體積法

一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換

3.幾何體的外接球：一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球

的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.

幾何體的內(nèi)切球：求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點，多面體的各側(cè)

面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.

4.截面問題：在高考立體幾何考點中涉及到空間幾何體的截面的地方較多，如:判斷截面的形狀、計算出

空間幾何體的截面周長或面積、或者求與之相關(guān)的體積問題、以及最值問題都在考察之列，但是要順利地

解決前面所提到的諸多問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出截面，并判斷其形狀.

柱體

一、單選題

1.（2021?上海市文來中學高二期中）若一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45。且腰和上底

均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（）

A.B.C.2+后D.1+也

22

2

2.（2018?上海市控江中學高二期末）若一圓柱的側(cè)面積等于其表面積的則該圓柱的母線長與底面半徑

之比為（）

A.1：1B.2：1C.3：1D.4：1

3.（2021?上海市控江中學高二期中）已知圓柱的上、下底面的中心分別為。I、和，過直線。。2的平面截

該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的側(cè)面積為（）

A.8%B.8&萬C.12萬D.10也兀

二、填空題

4.（2021.上海市控江中學高二期中）已知正方形邊長為1,把該正方形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的

幾何體的體積為

三、解答題

5.（2021.上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二階段練習）如圖，邊長為4的正方形ABB/1為圓柱的軸截面，C是

圓柱底面圓周上一點

A

（1）求證ACJ_平面

（2）求圓柱的表面積和體積.

岑受房＞錐體

一、填空題

1.（2019?上海虹口?高二期中）已知正四棱錐的底面邊長是2,側(cè)棱長是行，則該正四棱錐的全面積為.

2.（2022?上海.復(fù)旦附中高二期中）若一個圓錐的母線長為4,其側(cè)面積為過圓錐軸的截面面積的2萬倍，

則該圓錐的高為.

3.（2021.上海中學高二期中）半徑為2的半圓卷成一個圓錐，則該圓錐的體積為

4.（2021?上海市松江二中高二期中）如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面

內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則圓錐的母線長為

5.（2021?上海市控江中學高二期中）已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為

6.（2021?上海?華東師范大學第三附屬中學高二期中）已知一個圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓

錐的母線與其底面所成的角的大小為.

7.（2021.上海.格致中學高二階段練習）將表面積為36萬的圓錐沿母線將其側(cè)面展開，得到一個圓心角為竽

的扇形，則該圓錐的軸截面的面積S=.

一、填空題

1.（2021?上海市實驗學校高二期中）已知三個球的半徑4、鳥、&滿足&+&=3&,則它們的表面積S?

、S3滿足的等量關(guān)系是.

2.（2021.上海市寶山中學高二期中）一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為兀，則球的表面積

為.

3.（2019?上海青浦?高二期末）球的半徑為12cm,球的一個截面與球心的距離為4CM,則截面的半徑為

cm.

4.（2021?上海?高二專題練習）已知球的體積為36萬，則該球大圓的面積等于.

5.（2021?上海市甘泉外國語中學高二期中）上海的緯度大約是北緯31。，已知地球的半徑大約是6370km,

則北緯31。緯線的長度是__km（精確到個位）.

6.（2022?上海市嘉定區(qū)第二中學高二期末）已知球的表面積是16萬，則該球的體積為.

7.（2021?上海市南洋模范中學高二期中）直三棱柱ABC-A耳G的側(cè)棱長為2,側(cè)棱A4到平面的

距離不小于1,從此三棱柱中去掉以此側(cè)棱AA為直徑的球所占的部分，余下的幾何體的表面積與原三棱

柱的表面積相等，則所剩幾何體的體積最小值為.

8.（2021?上海市七寶中學高二期中）球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，與截面垂直的球體直徑被截得

的部分稱作球冠的高.若半徑為R的球面被一個平面截成兩個球冠，這兩個球冠的表面積之差等于截面面積

的2倍，則球心到截面的距離為.（球冠的表面積公式：S=2M其中R是球的半徑，。是球冠

的高）

9.（2021?上海?位育中學高二期中）正三棱錐尸-ABC中，==點E在棱叢上，且PE=3EA,

已知點尸、A、B、C都在球。的表面上，過點E作球O的截面則a截球。所得截面面積的最小值為

10.（2021.上海?華師大二附中高二期中）已知三棱錐A-3co的側(cè)棱兩兩互相垂直，且該三棱錐的外接球

的體積為36萬，則該三棱錐的側(cè)面積的最大值為.

二、解答題

11.（2016?上海?位育中學高二期中）如圖,△ABC中,NACB=90。,NA8C=30。,BC=6,在三角形內(nèi)挖去一

個半圓(圓心。在邊BC上,半圓與AC、AB分別相切于點C、M與BC交于點N),將繞直線BC旋轉(zhuǎn)一

周得到一個旋轉(zhuǎn)體

(1)求該幾何體中間一個空心球的表面積的大??；

(2)求圖中陰影部分繞直線8c旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

12.(2022.上海.復(fù)旦附中高二期中)如圖所示，已知球。的半徑為2,在球。的表面上有三點A、B、C,

且。、N、B、C四點不共面，ZAOB=120°.

c

⑴若COJ_平面AOB，求球心。到平面ABC的距離；

(2)若C。，平面A08,一個經(jīng)過點A、B、C的球O'也經(jīng)過點。，求球O'的表面積;

(3)若線段A3上存在一點D,使得AD=CD,求三棱錐0-38體積的最大值.

二能力拓展

題型一：幾何體的表面積和體積

一、單選題

1.(2022?上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二期末)如圖，在棱長為1的正方體48。。-4月。12中，P、Q、R分

別是棱A8、8C、B片的中點，以，PQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體

ABCD-ABGR的表面上，則這個直三棱柱的體積為（）

2.（2022?上海市嘉定區(qū)第二中學高二期末）《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉.在《九

章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體）體積

的求法.在如圖所示的羨除中，平面ABD4,是鉛垂面，下寬A4'=3m,上寬5D=4m,深3m,平面BDEC

是水平面，末端寬CE=5m,無深，長6m（直線CE到3。的距離），則該羨除的體積為（）

A.24m3B.30m3C.36m3D.42m3

二、填空題

3.（2022?上海?復(fù)旦附中高二期中）正四棱臺的上、下底面分別為邊長為1和2的正方形，側(cè)棱長為1,則

該棱臺的側(cè)面積為.

4.（2022?上海金山?高二期末）我國南北朝時期的數(shù)學家祖曬提出了一個原理“事勢既同，則積不容異”，即

夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面

積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖曬原理的條件，若該圓錐的側(cè)面

展開圖是一個半徑為2的半圓，則該幾何體的體積為.

5.（2022?上海金山?高二期末）將邊長為2的正方形ABCD繞其一邊A3所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓

柱體積為.

6.（2022?上海長寧?高二期末）正四棱錐底面邊長和高均為2,E,EG,“分別是其所在棱的中點，

則棱臺EFGH-ABCD的體積為.

p

BC

7.（2021.上海?西外高二期中）直角坐標系內(nèi)有點尸（2,1）、。（0,2）,將△尸。。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，

則所得幾何體的體積為.

8.（2021?上海?西外高二期中）若球的半徑為1,則球的體積是.

9.（2022?上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二期末）若圓柱的高、底面半徑均為1,則其表面積為.

10.（2022.上海長寧?高二期末）若球的大圓的面積為兀，則該球的表面積為.

11.（2022?上海市控江中學高二期末）如果圓錐的底面圓半徑為1,母線長為2,則該圓錐的側(cè)面積為一.

12.（2022?上海長寧?高二期末）底面半徑為1,母線長為2的圓錐的體積為.

13.（2022?上海市七寶中學附屬鑫都實驗中學高二期末）一個高為2的圓柱，底面周長為2萬，該圓柱的

表面積為.

三、解答題

14.（2021.上海?西外高二期中）如圖，在圓柱。。/中，A8是圓柱的母線，BC是圓柱的底面的直徑，

。是底面圓周上異于反C的點.

⑴求證：C￡>_L平面A8O；

⑵若BD=2,CD=4,AC=6,求圓柱O。/的側(cè)面積.

題型二：新定義

一、單選題

1.（2021.上海?閔行中學高二階段練習）在空間中，過點A作平面萬的垂線，垂足為記8=力（4）,設(shè)

A是兩個不同的平面，對空間任意一點P,。|=%［力（尸）］,。2=力［%（尸）］,恒有產(chǎn)儲=尸。2,貝I（）

A.平面a與平面/3垂直

B.平面a與平面夕所成的（銳）二面角為45°

C.平面a與平面△平行

D.平面a與平面夕所成的（銳）二面角為60。

2.（2021?上海?華東師范大學第三附屬中學高二階段練習）連接空間幾何體上的某兩點的直線，如果把該

幾何體繞此直線旋轉(zhuǎn)角a（0°<a<360。），使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉(zhuǎn)軸.

則正方體的旋轉(zhuǎn)軸共有（）

A.7條B.9條

C.13條D.14條

二、填空題

3.（2021?上海.華師大二附中高二期中）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫

空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2兀與多面體

在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲

率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每

個面角是g,所以正四面體在各頂點的曲率為271-3義1=兀，故其總曲率為4兀，則四棱錐的總曲率為

4.（2021?上海市七寶中學高二期中）球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，與截面垂直的球體直徑被截得

的部分稱作球冠的高.若半徑為R的球面被一個平面截成兩個球冠，這兩個球冠的表面積之差等于截面面積

的2倍，則球心到截面的距離為.（球冠的表面積公式：S=2nRh,其中R是球的半徑，。是球冠

的高）

三、解答題

5.（2016?上海市實驗學校高二期末）（1）如圖，對于任一給定的四面體AAAA，找出依次排列的四個相

互平行的平面%,%,。3，%,使得4€6?=1,2,3,4）,且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等;

（2）給定依次排列的四個相互平行的平面%,?2,%，%，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個

正四面體4&4出的四個頂點滿足：4ea?=l,2,3,4）,求該正四面體A&AA,的體積.

u鞏固練習

一、單選題

1.（2021?上海師范大學第二附屬中學高二期中）以下說法正確的是（）

A.各側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體

B.有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

C.各側(cè)面都是全等的等腰三角形的四棱錐是正四棱錐

D.底面四條邊相等的直棱柱是正四棱柱

2.（2021?上海市文來中學高二期中）一個棱錐被平行于底面的平面所截截面面積恰好是棱錐底面面積的一

半，則截得的小棱錐與原棱錐的高之比是（）

A.1:2B.1:8C.72:2D.夜：4

二、填空題

3.（2021?上海市市西中學高二期中）在水平放置的平面上有一個邊長為3c機的正三角形，那么用斜二測畫

的直觀圖的面積是.

4.（2022?上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二期末）已知圓錐的側(cè)面積為半，若其過軸的截面為正三角形，則

該圓錐的母線的長為.

5.（2021?上海大學附屬南翔高級中學高二期中）圓錐側(cè)面積為全面積的（，則側(cè)面展開圖圓心角等于

6.（2021?上海市金山中學高二期中）2020中國國際防銹、防腐蝕技術(shù)及材料展覽會于9月15日至9月19

日在國家會展中心（上海）隆重舉行，推動了國內(nèi)防銹、防腐蝕材料的技術(shù)升級.如圖為沿海城市海邊的

一個石頭雕塑，該雕塑是由一個體積為324m3的圓柱形石料雕刻而成，其上方是一個半徑為3m的球，下

方是一個正四棱錐.雕刻時，先讓球與圓柱的上底面相切，并使體積達到最大，再讓正四棱錐的體積達到

最大.不計損耗.為測試某新型涂料防止海水侵蝕的效果，現(xiàn)需要在該雕塑表面涂一層涂料，則需要在雕

塑表面涂刷涂料的面積為n?（其中萬23）.

7.（2021?上海市寶山中學高二期中）已知棱錐的高為16,底面積為256,平行于底面的截面面積為121,

則截得的棱臺的高為.

8.（2021.上海交大附中高二期中）如圖，半徑為R的半球內(nèi)接一個圓柱，這個圓柱表面積的最大值為

9.（2021?上海市松江二中高二期中）兩個相同的正四棱錐底面重合組成一個八面體，可放入棱長為2的正

方體中，重合的底面與正方體的某一個面平行，且八面體的各頂點均在正方體的表面上，將滿足上述條件

的八面體稱為正方體的“正子體”.則此正子體的表面積S的取值范圍是

10.（2021.上海.復(fù)旦附中高二期中）己知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的體積為.

11.（2021.上海交大附中高二期末）已知三棱錐A—3CD中，AB=CD=E，AC=BC=AD=BD=^,

則三棱錐A-BCD的體積是.

12.（2020.上海?華師大二附中高二期中）已知一個正四面體的棱長為2,則它的高是；

13.（2021?上海市進才中學高二期中）長方體的12條棱的總長度為56加，表面積為112/,那么長方體

的對角線長為團

三、解答題

14.（2022?上海浦東新?高二期末）已知某圓柱底面半徑和母線