專題01平面向量及其應(yīng)用

一'知識聚焦

向星既有大小又有方向的星，向星的大小叫做摸長

季向呈長度為奉的向墾，方向是任意的

平面向量的概念單位向量長度等于1個單位的向呈

相等向呈長度一且方向相同的向量

同量的共娃或平行方向相同或相反的m鑄向呈，規(guī)定零向量與任一向量平行

向量的加法三角形法則,平行四邊舲去則

平面向量的運(yùn)算向是的減法

向量的數(shù)乘

向出土定理

向量共線與基本定理三點(diǎn)共殘定理

平面內(nèi)任一向量可以由兩個不共維J向呈表示

平面向星

平面向量及其應(yīng)用基底為不共愛的向墾，且基底不唯一

向量的夾角

向量的數(shù)量積

幾何意義

向量的數(shù)壁積

向量數(shù)穌的性質(zhì)

向呈數(shù)呈積的運(yùn)算律

向量的選性運(yùn)算坐標(biāo)表示加、減與姊

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向呈平行的坐標(biāo)表示

向星教理的坐標(biāo)羲示模長、夾角、垂直等

線段的定比分點(diǎn)私定比分點(diǎn)坐標(biāo)

二、題型聚焦

題型9平面向量的夾角問題J

題型10向量平行與垂直計算。

題型11利用向量判斷多邊形形狀］

題型12利用向量判斷三角形四心二）

題型13奔馳定理及其應(yīng)用］

題型14平面向量極化恒等式應(yīng)為

題型15平面向量的最值范圍問履］

題型16平面向量在物理中的應(yīng)用）

知識點(diǎn)1：平面向量的概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

模的特點(diǎn)：（1）向量Z的模⑸20；（2）向量不能比較大小，但㈤是實數(shù)，可以比較大小.

2、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作0,它的方向是任意的.

3、單位向量：長度等于1個單位的向量.

將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同.

4、相等向量：長度相等且方向相同的向量.

5、向量的共線或平行：方向相同或相反的非零向量。規(guī)定：。與任一向量共線.

知識點(diǎn)2：平面向量的運(yùn)算

1、向量的加法、減法、數(shù)乘

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a；

加法求兩個向量和的運(yùn)算

aa結(jié)合律：(a+B)+c=a+(B+c)

三角形法則平行四邊形法則

求。與3的相反向量

減法a-b-a+(-b)

的和的運(yùn)算幾彘義

卜〃卜，

%("Q)=(，/)a；

求實數(shù)力與向量￡的當(dāng)%>0時，蘇與Z的方向相同；

數(shù)乘(Z+=4a+；

積的運(yùn)算當(dāng)丸<0時，與Z的方向相反；

A(a+b)=/la+Ab

當(dāng)7=0時，Aa=d

知識點(diǎn)3：向量共線與基本定理

1、向量共線定理：如果2=4伙；Ie?,貝,反之，如果之〃石且以6,則一定存在唯一的實數(shù)X,使￡=

2、三點(diǎn)共線定理：平面內(nèi)三點(diǎn)2、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實數(shù)4〃，使雙=九次+〃礪，

其中2+〃=1,。為平面內(nèi)一點(diǎn).

3、平面向量基本定理

(1)定義：如果最］是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量有且只有一對

實數(shù)4,4,使0=4華+辦e?

(2)基底：若￡最不共線，我們把忖￡｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

(3)對平面向量基本定理的理解

①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底.同一非零向量在不同基底下的分解

式是不同的.

②基底給定時，分解形式唯一.是被晟唯一確定的數(shù)值.

③aw是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，

則當(dāng)￡與［共線時，^=0；當(dāng)々與后共線時，4=0；當(dāng)［=6時，4=4=0.

④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量.

知識點(diǎn)4：向量的數(shù)量積與向量坐標(biāo)運(yùn)算

1、向量的夾角

11ULLL1ULU111

(1)定義：已知兩個非零向量。和b,作O4=a,OB=b,則N/O3就是向量。與b的夾角.

(2)范圍：設(shè)6是向量:與方的夾角，則0”把180。.

(3)共線與垂直：若0=0。，則。與b同向；若0=180。，則。與b反向；若0=90。，則。與b垂直.

2、向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為仇則數(shù)量MWcosd叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，

11rr.r..ri1i

記作〃.力，即a=，|Wcos。，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0.a=().

X11|1'|11.Fl

(2)幾何意義：數(shù)量積等于a的長度，與人在a的方向上的投影Wcos。的乘積.

(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)Z,區(qū)都是非零向量，工是單位向量，。為Z與5(或工)的夾角.則

—?—?—?―?I—?I-?—?—?—?

①a-e=e4=K|cosd；②aJ_6oa0=O；

③當(dāng)Q與刃同向時，a-b=卜帆；當(dāng)Q與加反向時，1%二-卜帆

特別地，4?〃=”或卜卜;

@cos(9=cos3=Xr^r；⑤卜㈤三聞就

卜帆11111

(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律

②(4a"=X(a%)=a?,可《為實數(shù))；

a+b]-c=a-c+b-c

④兩個向量a,B的夾角為銳角oa,B>0且a,加不共線;

兩個向量a,書的夾角為鈍角=a,B<0且a,B不共線.

⑤平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

/-?—?\/—?—?\—?2—2/——\2-2-*-*—*—-2——2

a+6?a-6=a-b\a+b]-a+2a-b+ba-b]=a-2a-b+b

知識點(diǎn)5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、向量的線性運(yùn)算坐標(biāo)表示

(1)已知：=(%%)工=(%,%)，貝/+]=(%+%，％+%)，1_]=(再一工2，%一%).

結(jié)論：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

(2)若〃=(%,/),貝U4a=(4x,

結(jié)論：實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

2、向量平行坐標(biāo)表示：已知:=(石,弘)工=(々/2)，則向量W，共線的充要條件是再%-%2乂=0?

3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

IIII

I-Lcos”、卬2+坐

a-b

夾角cos。=

00

力的充要條件

a-b=0xxx2+y,y2=0

I'I'I'I'%%+JiJ<V（x：+y：）（x；+y；）

a,b與a?b的關(guān)系4?22

4、線段的定比分點(diǎn)及九

（1）定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)召⑶M）,巴（和女）,2為實數(shù)，且肝=彳巫，

則點(diǎn)尸坐標(biāo)為（華學(xué)，義上空），我們稱力為點(diǎn)尸分月月所成的比.

（2）點(diǎn)P的位置與力的范圍的關(guān)系：

①當(dāng)彳>0時，即與屜同向共線，這時稱點(diǎn)尸為月耳的內(nèi)分點(diǎn)；

②當(dāng)2<0（4片-1）時，都與近反向共線，這時稱點(diǎn)P為8月的外分點(diǎn).

（3）若尸分有向線段職所成的比為力，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則擊孫+刖；

121+A

特別地產(chǎn)為62的中點(diǎn)。礪=MR+MP].

一2

?題型歸納

【題型1平面向量的概念辨析】

滿分技法

在解決向量的概念問題時，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量

是否也滿足條件.

1.（22-23高一下?新疆?期中）下列說法正確的是（）

A.向量的模是一個正實數(shù)B.零向量沒有方向

C.單位向量的模等于1個單位長度D.零向量就是實數(shù)0

【答案】C

【解析】對于A,零向量的模等于零，故A錯誤；

對于B,零向量有方向，其方向是任意的，故B錯誤；

對于C,根據(jù)單位向量的定義可C知正確；

對于D,零向量有大小還有方向，而實數(shù)0只有大小沒有方向，故D錯誤.故選：C.

2.（23-24高一下?山東泰安?月考）下列命題中，正確的是（）

A.若同=|可，則￡=石B.若同〉即^\a>b

C.若Q=B,則Q//BD.若則a11c

【答案】C

【解析】對于A：若同=問，則2》只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；

對于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯誤；

對于C：若貝U0,各方向相同，C正確；

對于D：若￡/瓜3//鼠如果石為零向量，則不能推出￡,工平行，D錯誤.故選：C.

3.（22-23高一下?吉林四平?月考）（多選）下列說法中正確的是（）

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個非零向量不一定共線

C.單位向量是模為1的向量D.方向相反的兩個非零向量必不相等

【答案】ACD

【解析】對于A,零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項正確；

對于B,根據(jù)共線向量的定義，可知方向相反的兩個非零向量一定共線，故B項錯誤；

對于C,根據(jù)單位向量的定義，可知C項正確；

對于D,方向相同且模相等的兩個向量相等，

因此方向相反的兩個非零向量一定不相等，D項正確.故選：ACD.

4.（23-24高一下?河南鄭州?期中）（多選）下列結(jié)論不正確的是（）

A.若@與B都是單位向量，則）=彼B.直角坐標(biāo)平面上的x軸，了軸都是向量

C.若@與B是平行向量，則］D.海拔、溫度、角度都不是向量

【答案】ABC

【解析】對于A,若3與B都是單位向量，則它們的模都是1，

但方向不一定相同，即3與B不一定相等，故A符合題意；

對于B,直角坐標(biāo)平面上的X軸，y軸都有方向，但是沒有長度，

即直角坐標(biāo)平面上的X軸，y軸不是向量，故B符合題意；

對于c,若3與B是平行向量，則它們的方向可能相反，長度也不一定相等，

即3與B不一定相等，故c符合題意；

對于D,海拔、溫度、角度只有大小沒有方向，故它們都不是向量，故D不符合題意.故選：ABC.

【題型2向量相等與向量共線】

滿分技法

1、向量共線或平行的定義：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）。

規(guī)定：。與任一向量共線.

2、共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量.

5.（23-24高一下?云南?月考）如圖，在。。中，向量團(tuán)，。心，刀是（）

A.有相同起點(diǎn)的向量模相等的向量

C.共線向量相等的向量

【答案】B

【解析】對于A,根據(jù)圖形，可得向量的，OC，a不是相同起點(diǎn)的向量，.二A錯誤;

對于B,因為。是圓心，那么向量防，OC，力的模長是一樣的，，B正確;

對于c,共線向量知識點(diǎn)是方向相同或者相反的向量，...c錯誤；

對于D,相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，，D錯誤，故選：B.

6.（23-24高一下?湖北?月考）已知點(diǎn)O是平行四邊形/BCD的對角線的交點(diǎn)，貝U（）

A.OA^OCB.AB^CDC.OD//BOD.1kH而|

【答案】C

【解析】反為相反向量，故A錯誤；口

在，而為相反向量，故B錯誤；/

歷,前方向相反，故歷〃前，C正確;

因為平行四邊形/BCD不一定為矩形，所以對角線不一定相等，故D錯誤.故選：C

7.（23-24高一下?重慶巴南?月考）如圖，四邊形48c。中，AB=DC，則必有（）

AB

A.AD=CBB.DO=OBC.AC=DBD.OA=OC

【答案】B

【解析】四邊形48CD中，AB=DC＞則/8//0C且AS=DC,

所以四邊形是平行四邊形；則有亞=一瓦，故A錯誤；

由四邊形/BCD是平行四邊形，可知。是中點(diǎn)，則麗=礪，B正確；

由圖可知太王麗，C錯誤；

由四邊形/BCD是平行四邊形，可知。是NC中點(diǎn)，OA=-OC，D錯誤.故選：B.

8.（22-23高一下?新疆烏魯木齊?期中）如圖，在正六邊形/5CDM中，點(diǎn)。為其中點(diǎn)，則下列判斷錯誤

的是（）

A.AB=OCB.1B//DEC.國=網(wǎng)D.AD=FC

【答案】D

【解析】對于A,由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形a3c為平行四邊形，故刀=正，故A正確.

對于B,因為ABIDE,故而〃而，故B正確.

對于C,由正六邊形的性質(zhì)可得|/必=忸￡|,故|而|=|赤故C正確.

對于D,因為/。，/C交于O,故詼=定不成立，故D錯誤，故選：D.

【題型3平面向量的線性運(yùn)算】

滿分技法

在平面幾何中，利用三角形法則和四邊形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算，需注意向量的起點(diǎn)。

9.（23-24高一下?山西大同?月考）如圖，在矩形/BCD中，AO+OB+AD

C.ADD.BD

【答案】B

【解析】在矩形48。中，AO+OB+AD=AB+AD=B

10.（23-24高一下?四川成都?月考）如圖，向量方=￡,AC=b^CD=c＞則向量而可以表示為（）

111iii

B.a-b+cACC.b-a+cD.b-a-c

【答案】C

【解析】由圖可知BO=BC+CZ)=/C-AB+CT>=6—a+c,故選：C

11.（23-24高一下?福建廈門?期中）已知小丁是實數(shù)，向量3萬不共線，若（＞-2"+（x-1w=0,則

x+y=.

【答案】3

【解析】因為向量2,3不共線,由(歹一2"+(%—1)==〉,

[y-2=0

得1[八，即％=14=2,所以x+y=3.

x-1=0

12.（23-24高一下?河北滄州?月考）已知q,e2是兩個不共線的向量3-4e2,b=kex+2e2,若乙與B共

線，則左=

【答案】-1/-0.5

【解析】由已知最是兩個不共線的向量，則

又因為a與B共線，則1=彳”彳*0）,

1=九k1

即-4=22,解得人=一5

【題型4平面向量的基本定理應(yīng)用】

滿分技法

1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

13.（23-24高一下?江蘇鹽城?期中）已知是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中不能作為

基底的一組是（）

A.,+4和,-24B.,一2%和2,—4%

C.q—26和q+2%D.,+g和6+24

【答案】B

【解析】因為是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則耳、E不共線，

____LTUT/LTUT\LTUT\\=k

對于選項A：若,十%、,一26共線，則6+與=左（，-24）二左，一2左0，可得匕__2『無解，

所以耳+［、2［不共線，可以作為基底向量，故A錯誤;

ITLIT/LT

對于選項B：因為2q-4e2=2,-

可知1-2晟和21-4屆共線，不能作為基底向量，故B正確;

____LTIT/LTUT\LTUT\\=k

對于選項C：若,一24、《+2%共線，則G-2e2=左（6+2?2）=左，+2左4，可得r2—2左，無解，

所以弓-2后、錄+2后不共線，可以作為基底向量，故C錯誤；

..irurzirUTsirur

對于選項D：若,+?2、ex+2e2共線，則ex+e2=k\ex+2e2j=kex+2ke2,無解,

所以，+屆、,+2易不共線，可以作為基底向量，故D錯誤；故選：B.

14.（23-24高一下?山東泰安?期中）如圖，中，點(diǎn)N為4。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在6C邊上，且MC=25M,

以｛方，就｝為一組基底，則疝=（）

3—?1—?2—?1—?2—?1—?3—?1—?

A.——AB+-ACB.-AB——ACC.——AB+-ACD.-AB——AC

44363644

【答案】C

［解析］由圖形可知：MN=MC+CN=-BC--AC=2-(AC-AB}-1-AC=--AB+-ACc.

15.（23-24高一下?吉林長春?期中）在矩形48co中，E,歹分別為8C,CA的中點(diǎn)，若衣=加方+〃次

(m,HGR),貝U〃?+2〃的值是()

A.1B.2

【答案】B

【解析】由E,b分別為8C,CD的中點(diǎn)，得衣+方=2詬，芯+75=2萬,

貝!12%+而+而=2次+2/，在矩形48CD中，AB+AD=AC>

__.2—.2—?__._

因止匕3%=k2次+2/，AC=-AE+-AF,\^AC=mAEk+nAFk^

2

所以加=〃=—,根+2〃=3〃=2.故選：B

3

16.（23-24高一下?江蘇無錫?月考）如圖，在。中，點(diǎn)P滿足卮=2而，。是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)O

的直線與邊45,/C分別交于點(diǎn)￡,F.

(2)若麗=4衣(4>0),FC=//ZF(A>0),求;+'的最小值.

【答案】(1)-；(2)3+2收

53

【解析】(1)因為正=2而，

^^,AP=AB+BP=AB+-BC=AB+-CBA+AC)=-AB+-AC,

3333

—?1―?1—?1―?

因為。是線段月產(chǎn)的中點(diǎn)，所以/。=》尸=/8+'C,

236

又因為方=:工，

設(shè)方=無而，貝IJ有亞=1■荏+:不，

X1Q

因為區(qū)0,/三點(diǎn)共線，所以；+二=1,解得x=J,

344

__.9?4AF4

所以A8=—/E,AE=-AB,所以——=-.

49EB5

(2)\^^)AB=AE+EB=AE+AAE=(l+^AE,AC=AF+FC=AF+juAF=(1+jU)AF,

由(1)可知，AO=-AP=i-AB+-AC,所以萬=匕4萬+

23636

因為E,。，廠三點(diǎn)共線，所以?+孚=1,即24+〃=3,

36

bi、1111/11、-c、1八424、1_\u2A.3+2V2

所以丁+一二1(3+—)(24+4)=1(3+丁+—)＞-(3+2-----)=---，

3Z//3\Z〃3

當(dāng)且僅當(dāng)〃=后彳，即2=3-孚,〃=3五-3時取等號,

所以75的最小值為

【題型5向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】

滿分技法

利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決有關(guān)問題的基本思路

1.向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則

應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算,另外解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用.

2.利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解題,主要根據(jù)相等向量的坐標(biāo)相同這一原則,通過列方程（組）進(jìn)行求解.

3.利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示,先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出相應(yīng)系數(shù).

17.(23-24高一下?天津?開學(xué)考試)已知兩點(diǎn)44,1),5(7,-3),^AB+AC=O＞則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

A.(1,5)B.(-3,4)C.(-1,-5)D.(4,-3)

【答案】A

【解析】設(shè)C(xj),則羽=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),就=(")-(4,1)=(1,廣1)，

又益+%=＞所以(3,-4)+(》-4/-1)=(00,

3+x-4=0X=1

,解得

-4+y—1=0y=5

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1,5）.故選：A

18.（23-24高一下?云南昆明?月考）已知向量3=（2,-3）,3=（1,2）,萬=（9,4）,^p=ma+nb,則

n-m=.

【答案】3

【解析】因為向量）=（2,-3）,3=（1,2）,萬=（9,4）,且方=益+以,

[2m+n=9

所以《々c71，解得加=2,n=5,所以〃一加=3.

一3冽+2〃=4

19.(23-24高一下?上海?期中)已知平面上48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(6,5),(2,11尸為直線上一點(diǎn)，且

—1—

AP=-PB,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(5,4)

【解析】設(shè)尸(xj),由萬=；而，BP3AP=PB，可得3(尤-6/-5)=(2-尤,1-刃,

3x—18=2-xIx—5z、

,解得=即P（5,4）.

3y-15=1-y

20.(23-24高一下?重慶?期中)已知G，6是平面內(nèi)兩個不共線的向量，若=5尸=2弓+雞，

PC=e[+e2且A、p＞。三點(diǎn)共線.

(1)求實數(shù)丸的值；

11UL

(2)若e[=(l,0),e2=(0,1).

⑴求就；

(ii)若。(-2,4),A,B,C,。恰好構(gòu)成平行四邊形N3CD,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

【答案】⑴2=4；(2)①數(shù)=(3,5)；②(-5,-1)

【解析】(1)AP=AB+BP=ex-e2+2^+Ae2=3^+(2-l)e2

3=t

.則％=4；

Tv1-t

(2)(i)前=加+左=24+%+4+乙=3錄+51，向量數(shù)的坐標(biāo)為(3,5)；

(ii)設(shè)A的坐標(biāo)為(x,y),

?；A,B,C,。恰好為構(gòu)成平行四邊形/BCD

則通=前,AD=(-2~x,4-y),團(tuán)=(3,5)

解得：'A的坐標(biāo)為(一5,-1)

【題型6向量數(shù)量積的計算】

滿分技法

1、定義法求平面向量的數(shù)量積

(1)方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的模和夾角。時，可利用定義法求解，即；力=|」向COS0

(2)適用范圍：已知或可求兩個向量的模和夾角。

2、基底法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別用這組基底表

示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量級的運(yùn)算律和定義求解。

（2）適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時，可將已知模和夾角的兩個不共線的向量作為基底，采

用“基底法”求解。

3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，

IIII

即若。=（七,％），b={x2,y2）,貝1。巧=卬：2+丹上；

（2）適用范圍：①已知或可求兩個向量的坐標(biāo)；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面

直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。

21.（23-24高一下?遼寧?期中）在“3C中，4B=3,BC=4,ZS=60°,則互3.而等于（）

A.12B.6C.-6D.-12

【答案】B

【解析】a4-5C=|&4|-|sc|-cosZJ8=3x4x1=6,故選：B.

22.（23-24高一下?江蘇鎮(zhèn)江?月考）在平行四邊形48CD中，已知48=4,AD=2,4=60°，點(diǎn)P在C。

邊上，滿足萬.益=4，則萬.麗=（）

1

A.——B.0C.-1D.1

2

【答案】B

【解析】作出圖形

設(shè)麗=4皮=2存（04241），由圖可得：AP=AD+AAB>

所以刀.益=（而+/L萬）?萬=瓦?方+2萬2=4

因為在平行四邊形48co中，已知42=4,AD=2,A=60°，

所以萬?益=2x4xcos60°+16X=4,解得2=0,則點(diǎn)P在。點(diǎn),

所以麗=萬-刀=15-益,

貝IJ而加=15.（而_利=而'_疝與=4-4=0,故選：B

23.（23-24高一下?江蘇?月考）在中，滿足13=3,80=4,/C=5,則就.前=

【答案】16

【解析】在"3C中，由/8=3,8。=4,/。=5,

^AB2+BC2=AC2,所以2BC為直角三角形，

以3為原點(diǎn)，以BC,5Z所在的直線分別為xj軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

如圖所示，則B(0,0),C(4,0),/(0,3),可得就=(4,-3),就=(4,0),

所以而就=4x4+(-3)x0=16.

24.(23-24高一下?遼寧?期中)如圖，在四邊形48CD中，E,尸分別在邊4D,2c上，且/E=；AD,

BF=^BC,AB=3，DC=2,方與祀的夾角為60。，則漏.赤=.

【答案】7

【解析】由圖形結(jié)合向量線性運(yùn)算可得：EF=ED+DC+CF,

由=8尸=；5。可得方=-2或+灰-2而，

由而=應(yīng)+方+而可得2訪=2直+2次+2而，

由上面兩式相加得：3EF=2AB+~DC即麗=2''+℃

3

又由/B=3,DC=2,北與皮的夾角為60。，

nT^A8-5c=|Z8|-|5c|cos60°=3x2x1=3,

grppt?-?2,AB+DC2AB+4B,DC2x9+3

所以AB-EF=AB--------------=--------------------=-----------=7.

333

【題型7投影向量問題】

滿分技法

求向量的投影(或其數(shù)量)的關(guān)注點(diǎn)和計算方法：

±±±X

1、關(guān)注點(diǎn)：注意。在6上的投影與b在。上的投影不投，審題時要看清；

XX11

2、向量。在6所在直線上的投影是一個向量，向量。在6所在直線上的投影的數(shù)量是一個實數(shù);

25.（23-24高一下?福建莆田?期中）已知向量￡在3的投影向量為-￥且3=（1,-1）,則鼠石=（）

「6

A.GV.---------D.-y/3

42

【答案】D

/、

a-ba一-工b、

【解析】由題意下廠,廣［-b=--?b=-b,所以a.3=-百.故選：D.

bMJ2)

26.（23-24高一下?廣東廣州?期中）已知向量/8=（-1,2）,SC=（4,-1）,則向量％在向量北方向上的

投影向量為（）

2_￡2]_J_1￡_2

A.B.C.D.

5，-55955?55?-5

【答案】D

【解析】由題意可得：k=與+數(shù)=（3,1）,則方.就=-1,阿卜

(AB-AC}12

所以向量正在向量入方向上的投影向量為---?2■AB=--AB=.故選：D.

AB)55,5

27.（23-24高一下?江西?月考）已知向量方=（-1,2）,^=（2,1）,若cos〈，3〉=［^,則在@上的投

影向量為（）

918918

A.B.C.D.

-P5?y5,5

【答案】C

a-b2-ZVio

【解析】由cos〈16〉=，得0(2-2)="+1，

l?llirV5-7F7T-io

兩邊平方解得4=1,或4=7,易知％<2,故4=7舍去,

.."=(1,1),25-6=(-3,3),

一一_________曰、r(2a-bYaa(-3,3)-(-1,2)/1918

故2a-6在a上的投影向量為」^—曰二/：c.(T2)=.故選：C.

\a\\a\(-1)+25'5

28.（23-24高一下?山西?月考）已知￡是單位向量，>刃=_2，則向量￡+5在Z上的投影向量是（）

A.aB.-aC.2?D.-2a

【答案】B

【解析】由題意以及投影向量定義得向量Z+5在［上的投影向量是:

\ab\cos^a+b,a^a=\ab\

++,+?：。=［（2+辦小=（7+標(biāo)）。=-。.故選：B.

\a+b\\a\

【題型8平面向量模有關(guān)的問題】

滿分技法

1、定義法：利用由=牖及|；±獷=［「±2；/+而，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；

2、坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計算公式；

3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余

弦定理等方法求解.

29.(23-24高一下?廣東河源?期中)已知強(qiáng)=30，且就=(-2,1),則博卜()

A.4A/3B.372C.3A/3D.375

【答案】D

【解析】由防=30，得篇=3就，

又就=(-2,1),所以益=3^=(-6,3),

故|萬卜J(-6)、+32=3石.故選:D.

r_(

30.(23-24高一下?廣西南寧?期中)已知向量。=(2,0),b=A,—,若向量B在向量方上的投影向量

c=則欠=()

A.V3B.V?C.—D.1

4

【答案】D

【解析】由已知可得，6在色上的投影向量為咎尚=式)=%=(40),

\a\\a\2x22

又B在］上的投影向量己=所以

31.（23-24一"下,江蘇,月考）已知向量a,b滿足|a|=||=|a|=1,則\3a+b\=（）

A.13B.7C.V13D.V7

【答案】C

111±/一\2c卜VVTo.——I

【解析】由|Q|=|6|=|Q-6|=1得（萬一6）=1,即q-2a?b+b=I2?得。力二^，

所以，師+*J（3?+?2=，9:+6限B+/=J9+3+1Ss故選:C.

32.（23-24高一下?河南濮陽?月考）已知向量Z，3的夾角為與，同=1,慟=2,在中，AB=2a+3b,

LLLIUI±±---------1---?,|,二|

AC=2a-b，BD=-BC,則陷=（）

A.2B.272