第07講模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見八種模型

目錄

【模型一平移型模型】..........................................................................1

【模型二軸對稱型模型】.......................................................................3

【模型三四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】.........................................................6

【模型四一線三等角模型】.....................................................................9

【模型五三垂直模型】........................................................................14

【模型六旋轉(zhuǎn)型模型】........................................................................18

【模型七倍長中線模型】......................................................................23

【模型八截長補短模型】......................................................................29

【模型一平移型模型】

模型歸納：

解題思路：①由平行線的性質(zhì)得角度相等；②通過線段

力口、減公共線段，得線段相等.

例題：（2025?陜西寶雞?一模）如圖，點、B,E,C,尸在同一直線上，AB=DE,ZA=ZD,AB//DE.求

證：AC//DF.

【答案】證明見解析

【知識點】同位角相等兩直線平行、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合G4SA或者A4S）、兩直線平行同位角

相等

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)"兩直線平行，同位角相等"得

ZABC=ZDEF,證明△ABC絲ASA）得NACB=/DEE,根據(jù)平行線的判定即可得證.解題的關(guān)鍵

是掌握全等三角形的判定和性質(zhì).

【詳解】證明：0AB/7DE,

?ZABC=NDEF,

在VABC和山防中，

ZA=ZD

<AB=DE,

ZABC=ZDEF

0AABC^ADEF（ASA）,

SZACB=ZDFE,

<3\AC//DF.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在AACD和ACEB中，點A、B、C在一條直線上，ND=NEAD//EC,AD=EC.求證：AACD咨ACBE.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NEC?,再根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證明AACD絲ACBE.

【詳解】?,-AD//EC,

:.ZA=AECB,

在AACD和ACEB中，

ZA=ZECB

<AD=EC,

ZD=NE

/XACD^△CB￡(ASA).

【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理和平行線的性質(zhì)，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)

鍵.

2.(2024上?新疆和田?八年級統(tǒng)考期末)如圖，點A、D、C、產(chǎn)在同一條直線上，AD=CF,AB=DE,

BC=EF.

⑴求證：AABC當ADEF；

⑵若NA=65。，ZB=82°,求/產(chǎn)的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)33°

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定

是解題的關(guān)鍵.

(1)先證明AC=OB,然后根據(jù)SSS證明2ADEF即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出N尸=NACB,進而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】(1)證明：-.AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AZ)=CF,

：.AC=DF,

在AABC和ADEF中，

AB=DE

<BC=EF,

AC=DF

.-.△ABC^Ar>EF(SSS),

(2)解：由(1)可知，AABC冬ADEF,

：.NF=ZACB,

vZA=65°,/B=82。，

ZACB=180°-(ZA+ZB)=180°-(65°+82°)=33°,

.-.ZF=ZACB=33O.

【模型二軸對稱型模型】

模型歸納:

公共邊公共角對頂角

解題思路：①找公共邊;②找公共角或?qū)斀?

例題：(24-25八年級上?安徽淮南?期末)如圖，AB與C。相交于點E,AB=CD,小=四.求證：ZA=ZC.

【答案】見解析

【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)

【分析】根據(jù)"SAS”可得出四ACEB,則可得出答案.

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：-.-AB=CD,DE=BE

:.AB-BE=CD-DE,

即：AE=CE

在和ACEB中，

AE=CE

-NAED=ZCEB,

DE=BE

.?.△AED之△CEB（SAS）,

.-.ZA=ZC（全等三角形對應(yīng)角相等）.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25九年級下?云南昆明?階段練習）如圖，點/是線段的中點，AC=3D,MC=M￡>.求證：NC=/D.

【答案】見解析

【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

證明^ACM^BDM（SSS）,即可得證.

【詳解】證明：,??點M是線段AB的中點，

:.MA=MB,

在△ACM與ABDM中，

MA=MB

<AC=BD,

MC=MD

:.AACM^ABDM（SSS）,

：.ZC=ZD.

2.（24-25八年級上?福建福州?期末）如圖，點2,M,N,C在同一直線上，BM=CN,AB=AC,求證:

AM=AN-

A

【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明2△4C7V.證明

△ABM^AACTV(SAS),即可解決問題.

【詳解】證明：,；A5=AC,

；.NB=NC,

AB=AC

在AABM與加好中,NB=NC,

BM=CN

.-.AABM絲AAC7V(SAS),

■.AM=AN.

3.(2024上?山西陽泉?八年級統(tǒng)考期末)如圖1是小寧制作的燕子風箏，燕子風箏的骨架圖如圖2所示,

AB=AE,AC=AD,ZBAD=ZEAC,ZC=40°,求，。的度數(shù).

圖1圖2

【答案】40°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明/胡。=/皿＞,再證明AA4c絲AEW,即可得到

ZD=ZC=4O°.

【詳解】解：^\ZBAD=ZEAC,

ZBAD+ZZMC=ZE4C+ZDAC,

即/BAC=/EW.

在△胡。與△石4。中，

AB=AE,

"ABAC=ZEAD,

AC=AD,

.-.VBAC^V￡4D（SAS）.

.■.ZC=Z￡）.

0ZC=4O°,

:.ZD=ZC=40°.

【模型三四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】

方法模型總結(jié)：若四邊形中有兩對鄰邊D

相等(如圖)，常連接這兩對鄰邊的交點

構(gòu)造全等三角形解題.

例題：如圖，在四邊形A3C。中，CB_LAB于點3,CD_LAZ)于點。，點E,尸分別在A3,上，AE=AF,

CE=CF.

⑴若AE=8,CD=6,求四邊形AECP的面積；

(2)猜想SDAB,aEC尸，SDFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】⑴48

(2)0￡>AB+0￡CF=20DFC,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接AC,證明fflACEEHACF,則根據(jù)三角形面積公式求得SEIAC尸與SEIACE,根據(jù)S

四邊形AECF=SEL4CF+SEL4CE求解即可；

(2)由0ACEEBAC尸可得MCA=I3EC4,^FAC^EAC,SAFC^SAEC,根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角

性質(zhì)可^BDFC+SBEC=SFCA+^\FAC+SECA+SEAC=SDAB+SECF.可得EIZM2+SECF=2ZDFC

⑴

解:連接AC,如圖，

AEB

AE=AF

在朋CE和她。尸中,CE=CF

AC=AC

盟ACE甌ACF(SSS).

BS^\ACE=S^\ACFf回E4C=團EAC.

國C斑AB,CD^AD,

國CD=CB=6.

EISEL4CF=SEIACE=^AECB=工x8x6=24.

aS四邊形AECB=S0ACB+S0ACE=24+24=48.

⑵

0DAB+0ECF=20DFC

證明：fflEIACE0EL4CF,

00FCA=E￡CA,SFAC=SEAC,SAFC=BAEC.

00DFC與MFC互補，回BEC與EAEC互補，

0EDFC=0BEC.

0EDFC=I3FCA+SFAC,0B￡C=0￡CA+EEAC,

^DFC+^\BEC=EFCA+0MC+0ECA+0EAC

=SDAB+^\ECF.

00DAB+fflECF=20DFC

【點睛】

本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.在四邊形A3OC中，AC=AB,DC=DB,0CAB=6O°,0CDB=12O°,E是AC上一點，尸是A3延長線上一點,

且CE=BF.

(2)在圖中，若G在AB上且aEZ)G=60。，試猜想CE,EG,8G之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論.

⑶若題中條件“回CA8=60°,回。。8=120°改為EICAB=a,fflCZ)B=180o-a,G在AB上，回即G滿足什么條件時,

(2)中結(jié)論仍然成立？

【答案】⑴見解析；

(2)CE+BG=EG,理由見解析；

(3)當aE￡>G=90jga時，(2)中結(jié)論仍然成立.

【解析】

【分析】

(1)首先判斷出NC=N￡>3尸，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出ACDE三ABDb,即可判斷出

DE=DF.

(2)猜想CE、EG、3G之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出

AAB￡>=AACD,即可判斷出/BD4=NCZM=60。；然后根據(jù)NEDG=60。，可得NCDE=NADG,

ZADE=ZBDG,再根據(jù)NCDE=ZBDF，判斷出ZEDG=ZFDG,據(jù)此推得ADEG=ADFG，所以EG=FG,

最后根據(jù)=3尸，判斷出CE+3G=EG即可.

(3)根據(jù)(2)的證明過程，要使CE+3G=EG仍然成立，則/EOG==NCDA=gNCD2,即

ZEDG=-(180o-a)=90°--a,據(jù)此解答即可.

22

⑴

證明：?.,NG4B+/C+NCD3+ZASD=360°,ZC4B=60°,NCDB=120。,

.-.ZC+ZAfiD=360°-60°-120°=180°,

又ZDBF+ZABD=180。，

:"C=NDBF,

在ACDE和ABOF中，

CD=BD

<ZC=ZDBF

CE=BF

ACDE=NBDF(SAS),

:.DE=DF.

⑵

解：如圖，連接AO,

猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.

證明：在A4BD和AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

\ABD=AACD(SSS),

ABDA=ZCDA=-ZCDB=-xl20°=60°,

22

又?.?/EDG=60°,

:.ZCDE^ZADG,ZADE=/BDG,

由(1),可得ACDE^ABDF,

:.ZCDE=ZBDF,

：.NBDG+NBDF=60。,

即/FDG=60°,

:.ZEDG=ZFDG,

在ADEG和ADFG中，

DE=DF

<ZEDG=ZFDG

DG=DG

ADEG=M)FG(SAS),

EG=FG,

又?；CE=BF,FG=BF+BG,

:.CE+BG=EG；

(3)

解：要使CE+3G=EG仍然成立，

則ZEDG=ABDA=ZCDA=-ZCDB,

2

即ZEDG=1(180°-a)=90°-1a,

.,.當/E￡>G=9(r-ga時，CE+3G=EG仍然成立.

【點睛】

本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意

推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

【模型四一線三等角模型】

方法模型總結(jié)：如圖，NB=NC=E尸

/I,由三角形內(nèi)角和及平角的有

關(guān)性質(zhì)易得N2=N3，N4=N5,/~學(xué)一

DD

再加上任一組對應(yīng)邊相等，易證兩三角形全等.

例題：【探究】如圖①，點8、C在/M4N的邊AM、⑷V上，點E、P在/版W內(nèi)部的射線AD上，4、Z2

分別是AABE、ZkCA尸的外角.若AB=AC,N1=N2=/B4C,求證：AABE^ACAF.

【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形A8C中，AB=AC,點D在邊BC上，CD=2BD,點E、F

在線段AD上，Zl=Z2=ZBAC,若"IBC的面積為9,貝I與ACDF的面積之和為.

【答案】探究：見解析；應(yīng)用：6

【分析】探究：根據(jù)NA=NS4E+/ABE,ZBAC=ZCAF+ZBAE,得出NABE=NC4F,根據(jù)/1=/2,

得出/AEB=NCFA,再根據(jù)AAS證明即可；

應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：SbABE~SEAF，進而得出尸+3支.=乂.0，根據(jù)CD=25。，AABC

2

的面積為9,得出〃「凱小=6’即可得出答案.

【詳解】探究

證明：^ZA=ZBAE+ZABE,ZBAC=ZCAF+ZBAE,

又團NB4C=N1,

^1ZABE=ZCAF,

團N1=N2,

團NAEB=/CFA,

在"IB石和△CA尸中,

NAEB=/CFA

<NABE=ZCAF

AB=AC

I?]AABE^AC4F（AAS）；

應(yīng)用

解：

國S“BE=Sqf'

團S&CDF+SqF=SAACD,

0CD=2BD,&4BC的面積為9,

回SSCD=§S熱BC=6,

0AABE與ACDF的面積之和為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.已知CO是經(jīng)過N3C4頂點C的一條直線，。4=。.￡、/分別是直線8上兩點，且/3￡右=/€'￡4=/&.

⑴若直線8經(jīng)過NBG4的內(nèi)部，且E、F在射線8上，請解決下面問題：

①如圖1,若/BG4=90。，Ztz=90°,求證：BE=CF；

②如圖2,若Na+/3C4=180。，探索三條線段EF,BE,AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖3,若直線8經(jīng)過NBCA的外部，Za=ZBCA,題(1)②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給

予證明；若不成立，請你寫出正確的結(jié)論再給予證明.

【答案】⑴①見解析；②EF=BE-AF,見解析

(2)不成立，EF=BE+AF,見解析

【分析】(1)①利用垂直及互余的關(guān)系得到NACP=/CBE,證明ABCE回VC4F即可；②利用三等角模型

及互補證明NACF=NCBE,得至UABCE團VC4F即可；

(2)利用互補的性質(zhì)得到N￡BC=NACF,證明ABCE回V0F即可.

【詳解】(1)①證明：0EE±CD,AFrCD,ZACB=90°,

0ZBEC=ZAFC=90°,

0ZBCE+ZACF=90°,ZCBE+ZBCE=90°,

回ZACF=NCBE,

在"GE和vc4r中,

'NEBC=ZFCA

，ZBEC=ZCFA,

BC=CA

0ABCE0VC4F(AAS),

團BE=CF；

②解：EF=BE-AF.

證明：^\ZBEC=ZCFA=Za9Za^-ZACB=180°,

0ZCBE=180。一ZBCE-Za,ZACF=ZACB-ZBCE=1800-Za-ZBCE,

國ZACF=NCBE,

在ABCE和VC4F中，

ZEBC=ZFCA

<ZBEC=ZCFA,

BC=CA

團ABCE團VC4F(AAS),

@BE=CF,CE=AF,

BEF=CF-CE=BE-AF；

(2)解：EF=BE+AF.

理由：^\ZBEC=ZCFA=Za,Za=ZBCA,

又國NEBC=NBCE=NBEC=180。,ZBCE+ZACF+ZACB=180°,

團NEBC+NBCE=ZBCE+ZACF,

⑦ZEBC=ZACF,

在△5怎和VC4F中，

NEBC=ZFCA

</BEC=NCFA,

BC=CA

團△BCE團VC4F(AAS),

國AF=CE,BE=CF,

團EF=CE+CF,

國EF=BE+AF.

【點睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠熟練運用三等角模型快速證明三角形全等是解題關(guān)

鍵.

2.(2024上糊南株洲?八年級校聯(lián)考期末)(1)如圖①，已知回44BC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線加經(jīng)

過點于r>,CE_L〃?于E,求證EiaABD絲△C4E；

(2)拓展國如圖②，將(1)中的條件改為回AABC中，AB=AC,D.A、E三點都在直線加上，并且

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,a為任意銳角或鈍角，請問結(jié)論￡>E=3D+CE是否成立？如成立，請證明；

若不成立，請說明理由；

(3)應(yīng)用團如圖③，在AABC中，/BAC是鈍角，AB=AC,ABAD>ZCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,

直線機與BC的延長線交于點/，若BC=2CF,AABC的面積是12,求與△CEF的面積之和.

【分析】（1）先證明/BD4=/AEC=/B4C=90。，NDBA=NCAE,然后根據(jù)AAS即可證明△"￡>絲AC4E；

（2）先證明/DBA=/C4E,再證明AABD絲AC4E（AAS）,再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）同（2）可證AABLgACIEIAAS）,得出=5,舊，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于

底的比，得出S^CF即可得出結(jié)果.

【詳解】解：（1）0ZBDA=ZAEC=Z.BAC=90°,

0Zfi4D+ZC4E=9O°,>ADBA+ABAD=90°,

SZDBA=ZCAE,

在△AB。和VC4E中，

ABDA=ACEA

<NABD=ZCAE,

AB=AC

0△ABD^AC4￡'（AAS）；

（2）成立，證明如下：

SZBDA=ZAEC=ABAC=a,

0ZBAD+ZC4E=180°-<z,S.ZDBA+ZBAD^l80°-a,

^ZDBA^ZCAE,

在△ABD和VC4E中，

ZBDA=ZCEA

<NABD=ZCAE,

AB=AC

0AABD^AC4E（AAS）,

B1BD=AE,CE=DA,

團DE=AE+DA=BD+CE.

（3）同（2）可證AABZ在AC4E（AAS）,

回S2ABD=S?C￡A>

設(shè)“LBC的底邊2c上的高為h,則△ACT的底邊C/上的高為h,

國SABC=工BC?fi=12,SACF=—CF-h,

AADC2△ACr2

0BC=2CF,

國S&KCF=6,

團,^AACF=S^CEF+S^CEA=^AC￡F+SAABD=6,

與△CEF的面積之和為6.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)以及不同底等高

的兩個三角形的面積之比等于底的比，結(jié)合題目所給條件，得出/。忘=/位犯是解決問題的關(guān)鍵.

【模型五三垂直模型】

方法模型總結(jié)：在三垂直模型中，利用余角的性質(zhì)尋求

兩直角三角形中一組角相等，再加上任一組對邊相等，

易證兩直角三角形全等，常見的模型如下：

例題：（24-25八年級下?廣東東莞?開學(xué)考試）如圖（1）ZACB=90,AC=BC,BELCE于E,AD1CE

于。.

⑴求證：△ACD四△CBE；

⑵如圖（2）其它條件不變的前提下，將CE所在的直線旋轉(zhuǎn)到VABC的外部，若3E=3cm,AD=9cm,

求DE的長.

【答案】⑴見解析

（2）12cm

【知識點】同（等）角的余（補）角相等的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（A4S）綜合（A&4或者A4S）

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)同角的余角相等可得NCBEn/AC。，然后利用AAS即可證明△ACE＞四△CBE；

（2）同理可證△ACD/根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CD=3cm,CE=9cm,問題得解.

【詳解】（1）證明：國3ELCE于E,ADLCE于。,

BZBEC=ZCDA=90°,

SZACB=90°,

團ZBCE+NCBE=ZBCE+ZDCA=90°,

^\ZCBE=ZACDf

團AC=BC,

回AACD均CBE(AAS)；

(2)解：回3￡_LCE于石，AD_LCE于O,

BZBEC=ZCDA=90°

團NAC5=90。，

團ZBCE+ZCBE=ZBCE+ZDCA=90°,

@NCBE=NDCA,

團AC=BC,

回△ACgC阻AAS),

⑦BE=CD,CE=AD,

0BE=3cm,AD=9cm,

團CD-3cm,CE=9cm,

^DE=CE+CD=12cm.

【變式訓(xùn)練】

1.在0ABe中，0BAC=9O°,AC=AB,直線MN經(jīng)過點A,且CDIWN于，BE3MN于E.

圖1圖2

⑴當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，ZEAB+ZDAC^度；

(2)求證：DE=CD+BE-,

⑶當直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CZ)、8E具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系,

并加以證明.

【答案】⑴90。

⑵見解析

⑶CD=BE+DE,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由13A4c=90?？芍苯拥玫?胡B+/ZMC=90。；

(2)由CZfflMN,BE5\MN,得&4。。=回8胡=即%。=90。，根據(jù)等角的余角相等得到EI￡>CA=I3EAB,根據(jù)44s

可證EIDCAEBEAB,所以AD=CE,DC=BE,即可得至！JDE=E4+A。=OC+BE.

(3)同(2)易證EIDCAIiaEAB,得到A￡>=CE,DC=BE,由圖可知AE=A。+OE,所以CD=BE+DE.

(1)

團團BAC=90°

0aEAB+0DAC=18O°-0BAC=180°-90°=90°

故答案為：90°.

⑵

證明：SCD^MN^-D,BEBiMN于E

0EL4DC=[3BEA=0BAC=9OO

0[3DAC+0DCA=9OOM0DAC+0EAB=9O°

回SDCA^EAB

El在EIQCA和I3E4B中

AADC=ZBEA=90°

-ZDCA=/EAB

AC=AB

0EDC400EAB(AAS)

^AD=BEKEA=DC

由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE.

(3)

EICDEIMN于。，BEEIMN于E

0SADC^BEA^BAC^90°

0R]/MC+M)CA=90°且回D4C+回區(qū)42=90°

0SDCA=^iEAB

13在回。CA和EIEAB中

ZADC=NBEA=90°

<ZDCA=ZEAB

AC=AB

^BDCA^EEAB(44S)

^\AD=BE^.AE=CD

由圖可知：AE=AD+DE

0CD=BE+DE.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線

段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì).

2.(2024上?吉林遼源?九年級統(tǒng)考期末)如圖,在U1BC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,

且AD_LMV于，BELMN^E.

③

⑴當直線九W繞點C旋轉(zhuǎn)到①的位置時,求證：①△ADC四△CEB；@DE=AD+BE-,

⑵當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到②的位置時,求證：DE=AD-BE；

(3)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到③的位置時,試問OE、AD.8E具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出這個等量

關(guān)系，不需要證明.

【答案】⑴①見解析；②見解析

(2)見解析

⑶DE=BE—AD臧AD=BE—DE,BE=AD+DE).

【分析】本題考查了幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識點的應(yīng)用，

解此題的關(guān)鍵是推出證明和全等的三個條件.題型較好.

(1)①已知己有兩直角相等和AC=3C,再由同角的余角相等證明=即可證明

AADC均BEC(AAS)；

②由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AD=CE，BE=CD,從而得證；

(2)根據(jù)垂直定義求出ZBEC=ZACB=ZA￡>C,根據(jù)等式性質(zhì)求出NAC￡>=CBE,根據(jù)AAS證出△ADC和

&CEB全等,再由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AD=CE,BE=CD,從而得證；

(3)同樣由三角形全等尋找邊的關(guān)系，根據(jù)位置尋找和差的關(guān)系.

【詳解】(1)①證明：0ZACB=90°,ZADC=90°,ZBEC=9Q°

0ZACD+ZDAC=90°,ZACD+ZBCE=90°,

田/DAC=/BCE,

在△ADC與ABEC中，

ZADC=ZBEC=90°

，ADAC=ZBCE,

AC=BC

團AAD8ABEC(AAS)；

②由①知，△ADC~BEC,

團AD=CE,BE=CD,

團DE=CE+CD,

⑦DE=AD+3E；

(2)證明：團于，BE人MN于E,

⑦ZADC=ZBEC=ZACB=9。。,

團NC4D+NACD=90。，ZACD+ZBCE=90°,

@NCAD=/BCE,

在ZW)。與ABEC中，

ZADC=ZBEC=90°

<NDAC=/BCE,

AC=BC

團△45C%CEB(AAS).

0AD=CE,BE=CD,

^\DE=CE-CD=AD-BE.

(3)解：同(2)理可證AADC絲ACE^AAS).

0AD=CE,BE=CD,

B1CE=CD—DE

SAD=BE-DE,DE=BE-AD；

當MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，AD.DE、BE所滿足的等量關(guān)系是=4>(或=DE,

BE^AD+DE).

【模型六旋轉(zhuǎn)型模型】

模型歸納:…

旋轉(zhuǎn)型

對頂角等角士同角一等角

解題思路：①找對頂角；②通過角度加減，得等角.

例題：如圖，AB=AC,AE=AD,ZCAB=ZEAD=a.

(1)求證：/\AEC=AADB；

(2)若。=90。，試判斷8。與CE的數(shù)量及位置關(guān)系并證明;

(3)^ZCAB=ZEAD=a,求NCE4的度數(shù).

(y

【答案】(1)見詳解；(2)BD=CE,BD0CE；(3)90°--

【分析】(1)根據(jù)三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；

(2)由(1)&4EC130ADB可知CE=BD且CESBD；利用角度的等量代換證明即可;

(3)過A分別做AMHCE,AN^BD,易知AF平分團￡);匕進而可知EICE4

【詳解】(1)^CAB^EAD

SS\CAB+SBAE=^EAD+S\BAE,

團SCAE^BAD,

0AB=AC,AE=AD

在EIAEC和EIAOB中

AB=AC

"ZCAE=ZBAD

AE=AD

0SAECSMDB(SAS)

(2)CE=BD且CE^BD,證明如下:

將直線CE與AB的交點記為點O,

由(1)可知EAECliaADB,

0CE=BD,SACE=^\ABD,

EBBO尸=EL40C,ma=90。，

00BFO=ECAB=[aa=90°,

0CESBD.

(3)過A分另1]做AA/EICE,AMBBD

由⑴知EAECEHADB,

團兩個三角形面積相等

故AMCE=ANBD

^\AM-AN

0AF平分團C

由（2）可知回3bC二回瓦IOa

回回。尸。=180°-a

1

00CM=-0Z）FC=90°—一CC

【點睛】本題考查了全等三角形的證明，以及全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵；

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在“8C中，AB=BC,財2。=120。，點D在邊AC上，且線段3。繞著點2按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

120。能與BE重合，點尸是即與A8的交點.

（1）求證：AE—CD；

（2）若回。BC=45。，求麗PE的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）0BF￡=1O5°.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明0AB￡H3CBO（SAS）,進而得證；

（2）由（1）得出aDBC=MBE=45。，BD=BE,回即。=120。，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行求解即可.

【詳解】（1）證明：回線段8。繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。能與3E重合，

aBD=BE,SEBD=120°,

^AB=BC,EABC=120。，

^BABD+^DBC^E1ABD+EIABE=120°,

00￡）BC=0ABE,

00AB￡00CB￡>（SAS）,

0A￡=C￡）；

（2）解：由（1）知回DBC=0ABE=45°,BD=BE,0EB￡>=12O°,

00BE￡)=0BD￡=(180°-120°)=30°,

00BFE=18O°-回BEQ-^ABE

=180°-30°-45°=105°.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是

解題的關(guān)鍵.

2.在R/0A8C中，fflACB=90。，CA=CB,點。是直線A8上的一點，連接CD,將線段CO繞點C逆時針

旋轉(zhuǎn)90。，得到線段CE,連接ER

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖1,當點。在線段上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為;線段瓦)、AB,即的數(shù)量關(guān)

系為;

(2)猜想論證

當點。在直線AB上運動時，如圖2,是點。在射線A8上，如圖3,是點。在射線BA上，請你寫出這兩

種情況下，線段8。、AB,即的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；

(3)拓展延伸

若A8=5,BD=1,請你直接寫出0AOE的面積.

【答案】(1)AR32E,AB^BD+BE；(2)圖2中BE=AB+B￡),圖3中，BD=AB+BE,證明見解析；(3)

72或2

【分析】(1)首先通過SAS證明EACDaiBCE,然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；

(2)仿照(1)中證明aACDHSBCE,然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(3)首先求出BE的長度，然后利用即可求解.

【詳解】解：⑴如圖1中，

0EL4C￡)=0BC￡,

國CA=CB,CD=CE,

WACD^\BCE(SAS),

^\AD=BE,回C8E=0A,

國CA=CB,^ACB=90°,

團姐=團。"=45°,

團團C3E=EIA=45°,

她3泥=90°,

她苑BE,

^\AB=AD+BD,AD=BE,

[?L4B=BD+BE,

故答案為ABABE,AB=BD+BE.

(2)①如圖2中，結(jié)論：BE=AB+BD.

理由：00ACB=0DC￡=9O",

^ACD=^BCE,

國CA=CB,CD=CE,

WACD^BCE(SAS),

^\AD=BEf

^\AD=AB^BD,AD=BE,

^\BE=AB+BD.

②如圖3中，結(jié)論：BD=AB+BE.

團媯CO=團BCE,

國CA=CB,CD=CE,

^ACD^\BCE(SAS)

^\AD=BEf

^\BD=AB+AD,AD=BE,

回BD=AB+BE.

(3)如圖2中，0A3=5,BD=7,

貂E=AO=5+7=12,

團5國4。，

^\S^\AED=-?AD^EB=-x12x12=72.

22

如圖3中，0A5=5,80=7,

回BE=AD=BD-AB=7-5=2,

團B斑AD,

050AEZ)=-?AD?EB=-x2x2=2.

22

【點睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵.

【模型七倍長中線模型】

例題：（2023秋?山東濱州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，3。是AABC的中線，AB=10,BC=6,求中線3D的

取值范圍.

【答案】2<BD<8

【分析】延長2D到使=證明兩邊之和大于BE=23D,兩邊之差小于3￡=2比）,證明三角形

全等，得到線段相等，等量代換得2<%><8.

【詳解】解：如圖，延長至E,使DE=BD,連接CE,

B

回。為AC中點，

0AD=DC,

在△AB。和△CEE>中,

BD=DE

<ZADB=ZCDE

AD=CD

0AABr>^AC￡D（SAS）,

0EC=AB=1O,

在ABCE中，CE-BC<BE<CE+BC,即10—6<BE<10+6,

04<BE<16,

134<25￡><16,

02<BD<8.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全

等三角形.

【變式訓(xùn)練】

10.（24-25八年級上?江西贛州?階段練習）【特例感知】

如圖1,在VABC中，AB=8,AC=6,求邊3C上的中線AD的取值范圍.

BD

圖3

（1）中線AD的取值范圍是.

【類比遷移】

（2）如圖2,在四邊形ABED中，P為BE的中點，點C在AD上，ZBAD+Z￡ZM=180°,AB=AC,DC=DE,

求證："平分/BAC.

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在VABC中，AD是邊BC上的中線，E是AD上一點，連接班并延長交AC于點F,AF=EF,

求證：AC=BE.

【答案】（1）1<AD<7；（2）見解析；（3）見解析

【知識點】確定第三邊的取值范圍、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、倍長中線模型（全等三角形的輔助線問

題）

【分析】本題考查了三角形綜合題和倍長中線問題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)

系等知識.

（1）延長4。到E,使得ED=AD,連接BE,得出V4DC絲VEDB,根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解；

(2)延長DP交.AB延長線于F,得到ABPF鄉(xiāng)AEPD,得到BF=DE=DC,PD=PF,進而求得AF=AD,

可證明結(jié)論；

(3)延長AD到點G,使得DG=AD,連接3G,得出Z\BDGSA,從而得到BG=AC,ACAD=NG,

進而得到3石=36從而證明.AC=BE

【詳解】(1)解：如圖1,延長AD到點E,使得a=AD,連接BE.

圖1

BD=CD,

在△ADC和△ED3中,

CD=BD

<ZADC=ZEDB,

AD=ED

.?.△ADC^A￡?B（SAS）,

:.BE=AC=6,

???AB=8,

8—6<AE<8+6,

即2<2AD<14,

故答案為：1<AZ)<7；

(2)證明：如圖2,延長。尸交AB的延長線于點尸，

圖2

:.AF//DE,

:.ZPFB=ZPDE,ZPBF=ZPED,

尸為BE的中點，

:.BP=PE,

:./\RPF^/\FPD,

BF=DE=DC,PD=PF,

\'AB=ACf

.\AB+BF=AC+DC,

即AF=AD,

AP平分NBA。；

(3)證明：如圖3,延長AD到點G,使。G=AO,連接5G,

圖3

BD=CD

在△3OG和△OM中，＜/BDG=/CDA,

DG=DA

:.^BDG^CDA（SAS）,

/.BG=AC,ZCAD=ZGf

?.,AF=EF,

ZCAD=ZAEF,

?：/BEG=ZAEF,

:./CAD=/BEG,

"G=/BEG,

:.BG=BE,

AC-BE.

2.（2023上?江蘇南通?八年級統(tǒng)考期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,AABC中,

若AB=6,AC=4,求3C邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法:

延長AD到E,使0E=AD,連接BE.請根據(jù)小明的方法思考：

圖1圖2圖3

⑴由已知和作圖能得到VADCAEDB,得到5E=A￡>,在AABE中求得2A￡>的取值范圍，從而求得AD的

取值范圍是

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

⑵如圖2,AE(是AABC的中線，AB=AE,AC^AF,ZBAE+ZCAF=180°,試判斷線段AD與E尸的數(shù)量

關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,在AASC中，D,￡在邊BC上，且3D=CE.求證：AB+AOAD+AE.

【答案】⑴1<4><5

(2)EF=2AD,證明見解析

(3)見解析

【分析】本題考查三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系.

(1)由作圖可得AE=2AD,根據(jù)"SAS”證得VADCAEL?,得到班=AC=4,在AABE中，根據(jù)三角

形的三邊關(guān)系有AB-代入即可求解；

(2)延長AD到M,使得DM=AD,連接則AM=2A。，由(1)同理可證ABDM絲AC4D(SAS),

得到=AC=AF,〃AC,從而ZABM+ABAC=180。，又ZBAC+ZFAE=180°,因止匕ZABM=ZFAE,

進而得證AABM(SAS),故EF=AM=2AD；

(3)取BC的中點為連接AM并延長至N,使AM=M/V,連接BN、DN,證得AAOW均A?M(SAS)得

到AC=NB,證得△、NDM(SAS)得到AE=A?.

延長AD交BN于凡由三角形的三邊關(guān)系得到帥+硒>")+￡W，^AB+AOAD+AE.

【詳解】(1)SDE=AD,

SAE=AD+DE=2AD

EIAO是BC邊上的中線，

0BD=CD,

在△AQC和△￡Z)5中，

CD=BD

<ZADC=ZEDBf

AD=ED

0AADC冬AEDB(SAS),

團BE=AC=4,

國在aABE中,AB-BE<AE<AB+BE,

即6—4<2AD<6+4,

B1<AD<5.

故答案為：1<相><5

(2)EF=2AD,

理由：如圖，延長AD到使得DM=AD,連接

^\AM=AD-^DM=2AD,

團A。是A/WC的中線，

回BD=CD,

在和△CDA中

BD=CD

<ZBDM=ZCDA

DM=DA

團ABDM^ACZM(SAS),

^BM=AC,

回AC—AF,

國BM=AF,

RABDMACAD,

⑦ZMBD=ZACD,

^\BM//AC,

0ZABM+ZBAC=18O°,

團44E+NC4F=180。,

團ABAC+ZFAE=360°-(/BAE+ZG4F)=360°-180°=180°,

回NABM=NFAE,

在△ABAI和LEAF中

AB=AE

<ZABM=ZEAF,

BM=AF

(EAABM^A￡4F(SAS),

^AM=EF,

^AM=2AD,

BEF=2AD；

(3)取5c的中點為M,連接AM并延長至N,使AM=MV,連接BN、DN,

圖3

團點M是5C的中點，

團CM=BM,

在△ACM和中，

CM=BM

<ZAMC=/NMB

AM=NM

團&ACM絲ANBM(SAS),

^1AC=NB

回BD=CE,

aBM—BD=CM—CE,BPDM=EM,

在△AEM和@!DM中，

EM=DM

<ZAME=ZNMD

AM=NM

團AAEM知NDM(SAS),

^\AE=ND,

延長AD交BN于丹

貝ijAB+6b>AD+OF,且FN+DF>DN,

?AB+BF+FN+DF>AD+DF+DN,

自AB+BN>AD+DN,

即AB+AC>4)+AE.

【模型八截長補短模型】

例題：(24-25八年級上?河南深河?階段練習)如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,ZABC=60°,2BAC與

NAC8的平分線A。，CE交于點、0.

A

⑴求/AOE的度數(shù)；

(2)求證：AC=AE+CD.

【答案】⑴NAOE=60。

(2)見解析

【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、證一條線段等于兩條線段

和差(全等三角形的輔助線問題)

【分析】本題考查角平分線的定義、三角形的外角，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明線段的和差常用"截長

或補短”的方法.

(1)利用三角形的內(nèi)角和求出-4CB的度數(shù)，再利用角平分線得到NC4D、/ACE的大小，最后求出外

角/AOE的度數(shù)；

(2)在AC上B=CD,構(gòu)造AOCO絲APCO,再利用條件證明AE4MAE4O,從而得到AE=AF解題.

【詳解】(1)解：0Z￡L4C=9O°,ZABC=60。，

0ZACB=30°,

回/B4c與—ACS的平分線AD,CE交于點。

0ZC4Z)=|Zfi4c=45°,ZACE=；ZACB=15°,

回NAOE是△AOC的外角，

0ZAOE=ZCAD+ZACE=60°；

(2)證明：在AC上截取CF=CD,連接OF,

dCE平分/ACB,

團/DCO=/FCO,

在ADCO和AFCO中,

CD=CF

"ZDCO=ZFCO,

oc=oc

0△DCO^AFC（9（SAS）,

SZCOD=ZCOF,

團NA。石=60。，

田/COD=/COF=600,

團ZAOF=180。一ZAOE-ZCOF=60°,

⑦ZAOE=ZAOF,

團AD平分/A4C,

^ZEAO=ZFAOf

在△外。和△E4O中

ZEAO=ZFAO

<AO=AO,

ZAOE=ZAOF

I?]^EAO^AFAO(ASA),

團AE=AF,

回AC=AF+CF,

0AC=AE+CD.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24八年級上?安徽安慶?期末）（1）如圖1,四邊形ABCL（中，ZB=ZC=90°,E是2C上一點，AE平

分~NBAD,DE平分/ADC.則線段AS、DC、AD的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；

DCDCD

圖1圖2圖3

（2）如圖2,將（1）中的條件""="=90。"改為"ZB+NC=180。”,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否還

成立，如果成立，請說明理由；如果不成立，請舉出反例；

（3）將（1）中的條件"々="=90。"改為"ZB=NC=120。"，其他條件不變，試探究線段AS、DC、AD.BC

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）AD^AB+CD,（2）成立，理由見解析；（3）AD=AB+CD+^BC,理由見解析

【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、證一條線段等于兩條線段和差（全

等三角形的輔助線問題）、等邊三角形的判定和性質(zhì)

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出合理的輔助線構(gòu)

建全等三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）過點有作￡F14）,根據(jù)EF/AD得出NDFE=ZC,再根據(jù)DE平分工ADC,得出ZFDE=ZCDE,

即可證明△￡>跖/△￡>￡右，最后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，即可得結(jié)果；

(2)在AD上截