專題6.5計數(shù)原理全章十大基礎(chǔ)題型歸納（基礎(chǔ)篇）

【人教A版（2019）］

題型1分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用

1.（2023上?遼寧朝陽?高二?？计谀┲袊嗣窠夥跑姈|部戰(zhàn)區(qū)領(lǐng)導和指揮江蘇、浙江、上海、安徽、福建、

江西的武裝力量.某日東部戰(zhàn)區(qū)下達命令，要求從江西或福建派出一架偵察機對臺海空域進行偵查，已知江

西有小架偵察機，福建有n架偵察機，則不同的分派方案共有（）

A.（zn+7?）種B.nm種C.zn種D.n種

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解.

【解答過程】根據(jù)題意，由分類加法計數(shù)原理，不同的分派方案共有（爪+幾）種.

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面

對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（）

A.48B.18C.24D.36

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理列式計算作答.

【解答過程】正方體的兩個頂點確定的直線有棱、面對角線、體對角線，

對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2X12=24（個）；

對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對“，這樣的“正交線面對“有12個，

不存在四個頂點確定的平面與體對角線垂直，

所以正方體中“正交線面對”共有24+12=36（個）.

故選：D.

3.（2023上?高二課時練習）用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可以組成多少個十位數(shù)字大于個位數(shù)字的兩位

數(shù)？

【解題思路】根據(jù)題意，由分類加法計數(shù)原理代入計算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】十位數(shù)字大于個位數(shù)字的兩位數(shù)可以分成四類：

十位為5,有51、52、53、54共4個；

十位為4,有41、42、43共3個；

十位為3,有31、32共2個；

十位為2,只有21一個.

根據(jù)加法原理，十位數(shù)字大于個位數(shù)字的兩位數(shù)共有4+3+2+1=10個.

4.（2023?全國?高二課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道、本地臺10個頻道和其他省市

46個頻道的節(jié)目.

（1）當這些頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機共可以選看多少個不同的節(jié)目？

（2）如果有3個頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺電視機共可以選看多少

個不同的節(jié)目？

【解題思路】利用分類加法計數(shù)原理進行求解

【解答過程】（1）當所有頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機選看的節(jié)目可分為3類：

第一類，選看中央臺頻道的節(jié)目，有12個不同的節(jié)目；

第二類，選看本地臺頻道的節(jié)目，有10個不同的節(jié)目；

第三類，選看其他省市頻道的節(jié)目，有46個不同的節(jié)目.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一臺電視機共可以選看12+10+46=68個不同的節(jié)目.

（2）因為有3個頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，即這3個頻道轉(zhuǎn)播的節(jié)目只有1個，

而其余頻道共有（12+10+46-3）個正在播放互不相同的節(jié)目，

所以一臺電視機共可以選看1+（12+10+46-3）=66個不同的節(jié)目.

題型2卜分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用。|

1.（2023上?江西南昌?高二江西師大附中?？计谥校┯?,2,3,4可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)

為（）

A.16B.24C.36D.48

【解題思路】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理進行計算即可.

【解答過程】先從4個數(shù)中選1個排在百位，有4種；

然后從剩下的3個數(shù)中選1個排在十位，有3種；

最后從剩下的2個數(shù)中選1個排在個位，有2種；

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為4x3x2=24.

故選：B.

2.（2023下?新疆烏魯木齊?高二?？计谥校┘住⒁?、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩,

每人只能去一個地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（）

A.65B.81C.64D.60

【解題思路】分析可知，每個人都有三種選擇，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【解答過程】甲、乙、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，

每個人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數(shù)為3,=81種.

故選：B.

3.（2023?全國?高二專題練習）（1）有4名學生報名參加數(shù)學、物理、化學競賽，每人限報一科，有多

少種不同的報名方法？

（2）有4名學生參加爭奪數(shù)學、物理、化學競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？

（3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？

【解題思路】明確每件事情是如何完成的，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求得答案.

【解答過程】（1）有4名學生報名參加數(shù)學、物理、化學競賽，每人限報一科，

可分4步完成，每一步有一名學生選報，有3種選法，

故共有3X3X3X3=34=81種不同的報名方法；

（2）有4名學生參加爭奪數(shù)學、物理、化學競賽冠軍，

每項冠軍都被4名同學中的其中一名獲得，故有4種可能，

因此共有4x4X4=43=64種不同的結(jié)果；

（3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，

每封信都有4種不同的投法，分3步完成，每步投一封信，每步有4種可能，

因此共有4x4X4=43=64種不同的投法.

4.（2023下?高二課時練習）己知0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字.

（1）可以組成多少個不重復(fù)的三位數(shù)字？

（2）可以組成多少個允許重復(fù)的三位數(shù)字？

【解題思路】根據(jù)分步乘法原理，結(jié)合特殊位置法求解即可；

【解答過程】（1）解：分3步：

①先選百位數(shù)字，由于0不能作為百位數(shù)，因此有5種選法；

②十位數(shù)字有5種選法；

③個位數(shù)字有4種選法.

所以，由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5x5x4=100個.

（2）解：分3步：

①先選百位數(shù)字，由于0不能作為百位數(shù)，因此有5種選法；

②十位數(shù)字有6種選法；

③個位數(shù)字有6種選法.

所以，由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5x6x6=180個.

題型3N排列數(shù)的計算與證明O1

1.（2023下.內(nèi)蒙古烏蘭察布.高二?？茧A段練習）5Ag+4Ag等于（）

A.107B.323

C.320D.348

【解題思路】根據(jù)排列數(shù)計算即可；

【解答過程】5A1+4A^=5x5x4x34-4x4x3=348.

故選：D.

2.（2023下?黑龍江哈爾濱?高二?？茧A段練習）鬻=（）

A.-B.—C.-D.-

82792

【解題思路】用排列數(shù)公式展開，約分化簡即可求解.

r而刀型、才禾口】A8+A8_8X7X6X5X44-8X7X6X5_4+1_5

口1A1-A1-9X8X7X6X5X4-9X8X7X6X5-9X4-9-27*

故選：B.

3.（2023?全國?高二專題練習）求證：蹄+m穌二:+m（m—1）A曹二/=A?+1（n,meN,且n>m>2）.

【解題思路】利用排列數(shù)計算公式化簡計算等式左邊即可得證.

【解答過程】依題意,左邊=己+叱鬲寄而+血小一1）.而聾看

n!+m(n-l)!+?n(??i-l)(n-l)!(n+?n)-(n-l)!

(n-m)!(n-m)!(n+l-m)!(n-m)l(n+l-m)!

(n+1—m)(n4-m)-(n—1)!m(m—1)-(n—1)![(n+1—m)(n+m)+m(m—1)]-(n-1)!

(n+1—m)!(n+1—m)!(n+1—m)\

(3+1)九.(九一I)―5+1)!__右彷

(n+1-m)!"(n+1-m)!一八九+1一e也'

所以原等式成立.

4.（2023下?高二課時練習）求證:

⑴A4+4A,=Ag；

⑵4片

【解題思路】（1）利用排列數(shù)公式化簡可證得等式成立;

（2）利用排列數(shù)公式化簡可證得等式成立.

【解答過程】⑴證明：A3+4A%（+詈==

n!+mxn!(n-?n+l)xn!+?nxn!_(n+1)!

（2）證明：A?+

(ri-m)!(n-m+1)!(n-m+1)!(ri-m+1)!

題型4q解排列數(shù)方程和不等式

1.（2023下?江蘇淮安?高二校聯(lián)考期中）若A菰=10A>則n=（）

A.1B.6C.7D.8

【解題思路】根據(jù)排列數(shù)公式，將已知條件展開，即可得出答案.

【解答過程】由已知，n>3.

因為A猊=2n(2n—l)(2n-2)=4n(2n—l)(n—1),

A1=n(n—l)(n—2).

則由A鼠=10A卷可得，4n(2n—l)(n—1)=10n(n—l)(n—2),

整理可得4n—2=5n—10,解得n=8.

故選：D.

2.(2023?全國?高三專題練習)不等式線<6X線-2的解集為()

A.{2,8}B.{2,6}

C.{7,12}D.{8}

【解題思路】直接根據(jù)排列數(shù)公式展開，再解不等式，即可得答案.

【解答過程】仁<6

???%2-19%+84<0,解得：7cx<12.

又％<8,x-2>0,

7<%<8,xeN*,即x=8.

故選：D.

3.(2023?全國?高二專題練習)(1)解不等式：3代W2怒+i+6掰；

(2)解方程：4聶+1=14。躅

【解題思路】(1)利用排列數(shù)公式可得出關(guān)于x的不等式，結(jié)合xeN且x23可得出工的取值集合;

(2)由已知得出XCN且％23,根據(jù)排列數(shù)公式可得出關(guān)于x的方程，進而可解得工的值.

【解答過程】(1)由題意可知，%6%且％23,

因為凰=x(x—1)(%—2),每+i=(x+l)x,=x[x—1),

所以原不等式可化為3久(x-1)(%-2)<2x(x+1)+6x(%-1),整理得(3x-2)(%-5)<0,

所以，3WxW5,所以原不等式的解集為{3,4,5}；

'2%+1>4

(2)易得%>3,所以比23,XEN,

,xEN

由姆x+i=140志得(2x+1)-2%?(2x-l)(2x-2)=140x(x-1)(%-2),

整理得4/-35%+69=0,即(4x-23)(%-3)=0,解得x=3或x=§(舍去).

所以，原方程的解為x=3.

4.(2023下?新疆塔城?高二統(tǒng)考期中)解下列方程或不等式.

(1)3A玄=4A3T

(2)A"+X>2

【解題思路】(1)根據(jù)排列數(shù)的計算公式化簡已知條件，由此求得方程的解.

(2)根據(jù)排列數(shù)的計算公式化簡已知條件，由此求得不等式的解集..

【解答過程】(1)由于3A套=4Afi,

所以里巴=上空，

(8-X)!(10-X)!

整理得/-19X+78=0,

解得x=6或x=13(舍去).

(2)由于A，2+X>2,

所以(x—2)(x—3)+x>2,

整理得(久一2)2>0,

由于X一222,所以X24,

所以不等式的解集為｛xeN*|x>4].

數(shù)的計算與證明

1.(2023下.江蘇南通?高二校考期中)禺+管+僚+最=()

A.35B.56C.70D.84

【解題思路】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)化簡，再應(yīng)用組合數(shù)公式計算即可.

【解答過程】G+第+髭+髭=髭+髭+髭=己+cl+cf=ct+c解造

...c4=7X6X5X4=35

?71X2X3X4'

廢+廢+廢+廢=35.

故選：A.

2.(2023下?山東濱州?高二校聯(lián)考階段練習)已知A:=30(幾eN*,且九22),貝Kg+2*+鬣=(

A.28B.42C.43D.56

【解題思路】先根據(jù)排列數(shù)得出九,再計算組合數(shù)即可.

2

【解答過程】Al=n(n—1)=30,n—n—30=(n—6)(n+5)=0,71GN*n=6,

C?+2岫+鬣=eg+2禺+髭=1+2X6+等=1+12+15=28.

故選:A.

3.(2023上?高二課時練習)根是自然數(shù)，”為正整數(shù)，且m+lWn,求證：C^=—C^+1.

n-m

【解題思路】利用組合數(shù)公式計算即可得到本題答案.

【解答過程】根據(jù)組合數(shù)公式，

可以得至“m+1,俏+1=_+1_rm

n-mnn-m(m+l)!(n-7n-l)!m\(n-rri)\n*

4.(2023?高二課時練習)證明下列各等式.

(\'xC171——m+1pm+1

-n+1匕九+i,

⑵喘+C/1+鬣+2+-+C小二=

【解題思路】(1)直接利用組合數(shù)的階乘公式對右邊化簡即可得到證明；

(2)利用組合數(shù)的性質(zhì)公式CM1=C/+C/T和喘=c°+1,對右邊化簡即可得到證明.

【解答過程】(1)由=知右邊=陪".…=一常=能

所以，左邊=右邊，故原式成立.

(2)由組合數(shù)的性質(zhì)CM】=7+QPT,知左邊=C°+1+G+i+鬣+2+…+Cn+m-l=^n+2+鬣+2+

…+Cn+A-1=鬃+3+…+Cn^m-1=Cn+m

所以，左邊=右邊，故原式成立.

組合數(shù)方程和不等式。I

1.(2023?全國?高二專題練習)已知64=(2餐-6,則廣()

A.3或10B.3C.17D.3或17

【解題思路】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求解即可

【解答過程】因為備4=c瓷-6,故久=3x—6或久+3x—6=34,

即x=3或x=10

故選：A.

2.(2023?江蘇?高二專題練習)若第>C1貝加的取值集合是()

A.{6,7,8,9}B.{6,7,8}

C.{n\n>6},neN*D.{7,8,9}

【解題思路】根據(jù)組合數(shù)的運算公式及性質(zhì)化簡不等式求其解集即可.

【解答過程】???第>0，

n!>n!

4!x(n-4)!6!x(n-6)!

{n>6

2

gp|n-9n-10<0,解得$<n<10

(n>6,

VneN*,

,\n=6,7,8,9.

的取值集合為{6,7,8,9}.

故選：A.

3.（2023?高二課時練習）解不等式C壽t>3C/；

【解題思路】根據(jù)給定條件利用組合的意義及組合數(shù)計算公式化簡不等式，再解不等式即可.

【解答過程】在不等式（：尸1>3曙中，0<ml<8,且09日8,機GN,即有1W壯8,mGN,

8!>3X8!

原不等式化為:(m-l)!(9-?n)!m!(8-?n)!，

即」->三，解得小>二，則根=7或8,

9-mm4

所以不等式的解集為{7,8}.

4.（2023上?高二課時練習）解關(guān)于正整數(shù)尤的方程：

⑴吐=雷尸；

⑵片老+咯。=力13.

【解題思路】（1）（2）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)以及公式即可求解.

【解答過程】（1）尤為正整數(shù)，

由=C巖-5可得/—x=5x-5或/—%+5x—5=16,

故——6x+5=0或/+4%-21=0,解得x=1或％=5或x=3或久=—7（舍去）,

又M-x,5x-5均為整數(shù)，且0W/一xW16,0<5x-5<16,

所以x=1或x=3符合要求，%=5不符合要求，

故x=1或x=3

（2）由組合數(shù)的性質(zhì)可得最+2,回常=e+2,0+2+您+2=碇+3

所以由C+C^2=[A、?可得總+3=7AX+3!進而可得1（X+3）!=>i=2,1,=>%（%-

■x十乙4十乙44十J"十344十D5!（x-2）!4x\5!4x（x-l）=30,

解得t=6或%=—5（舍去），

%+2>0

"+所以％之3,故只取久=6,%=—5舍去.

x-3>0

{%-2>0

求二項展開式的特定項或特定項的系數(shù)。I

1.（2023?四川南充?統(tǒng)考一模）二項式1?的展開式中常數(shù)項為（）

A.-60B.60C.210D.-210

【解題思路】直接利用二項式定理展開式的通項求解即可.

【解答過程】展開式的通項為般+1=鷹(3)(-

所以1x(6—/c)+(―1)xk=0=>k=2,

常數(shù)項為《(—2)2=等X4=60,

故選：B.

2.(2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測)在(3-代了的展開式中，源的系數(shù)為()

A.-21B.21C.189D.-189

【解題思路】利用二項展開式的通項公式可得解.

【解答過程】由二項展開式的通項公式得537-/_/廠="37一(—1產(chǎn)枷，令］=3得「=6,

所以產(chǎn)的系數(shù)為第3(-1)6=21.

故選：B.

3.(2023下?天津河東?高二期中)已知(5%-專廣

(1)展開式中的中間一項；

(2)展開式中常數(shù)項的值.

【解題思路】(1)先求出展開式的通項，再求其第4項即可.

(2)令展開式的通項中匯系數(shù)為零，解出r,再代入通項求解即可.

【解答過程】⑴(5%-專)6展開式的通項為Tr+i=4(5x)6-r(-專丫=4-56-「.(一1)『./管，「=

0,1,2,…,6,

展開式一共7項，中間一項為第4項，r=3,

女93

7^.=C1-53?(―I)3-X6~2=-2500x2.

(2)令6-|r=0,解得r=4.

75=第?52.(-1)4,x°=375,故展開式中常數(shù)項的值375.

4.(2023下?高二課時練習)已知在(證-卷)”的展開式中，第6項為常數(shù)項.

⑴求M；

(2)求含%2項的系數(shù)；

(3)求展開式中所有的有理項.

【解題思路】(1)利用二項展開式的通項公式求出通項，令r=5時%的指數(shù)為0,即可得出結(jié)果；

(2)將n的值代入通項，令》的指數(shù)為2,即可求出結(jié)果；

(3)令通項中x的指數(shù)為整數(shù)，求出結(jié)果即可.

n-rrn-2r

【解答過程】(1)解：通項公式為Tr+1=C>x虧?(―3)『?X-3=(―3)，C>

因為第6項為常數(shù)項，所以r=5時，有竽=0,解得n=10.

(2)解：由(1)可知n=10,令言=2,解得r=2.

所以含小項的系數(shù)為(-3)2-Cf0=405.

(3)解：由題意可知，jo<r<io>

IreN

則r可能的取值為2,5,8.

所以第3項，第6項，第9項為有理項，分別為C/o?(—3)2./,黨,?(一3>,Cfo?(―3尸.x-2.

根據(jù)二項式的特定項求值。|

1.(2023?全國?高三專題練習)(a久一I/展開式中的常數(shù)項為一160，則。=()

A.-1B.1C.±1D.2

【解題思路】寫出該二項展開式的通項公式，令x的幕指數(shù)等于0,求出r的值，即可求得常數(shù)項，再根

據(jù)常數(shù)項等于160求得實數(shù)a的值.

【解答過程】(ax-§6的展開式通項為,+i=C^(ax)6-r(-|)r=(-2)ra6-rC^x6-2r(0<r<6,reN),

.?.令6-2r=0,解得r=3,

二(ax-|)6的展開式的常數(shù)項為乙=(―2)3。6-3出刀6-6=_160a3=_160,

a3=1

/.a=1

故選：B.

2.(2023?全國?高三專題練習)已知的展開式中第3項是常數(shù)項，則n=()

A.6B.5C.4D.3

n-3k?

【解題思路】求出幾+1=(-2)kC^x-,解方程等=0即得解.

【解答過程】解：(五一|)的展開式的通項聯(lián)+1=(-2)1觸丁，

n—6

當k=2時，13=72+1=(-2)2C2%-

則詈=0,解得兀=6.

故選：A.

3.(2023?全國?高二專題練習)已知的展開式中，第4項為-10%.

⑴求正整數(shù)〃的值；

(2)求12—的展開式中鏟的系數(shù).

【解題思路】(1)由二項式定理求得第4項，由已知第4項的系數(shù)與指數(shù)列方程組可得；

(2)寫出展開式通項公式，確定一所在項數(shù)，從而得結(jié)論.

【解答過程】⑴12—)的展開式中，第4項為*x(%2產(chǎn)3x(—y=—質(zhì)/n-9,

可得解得n=5,故正整數(shù)〃的值為5.

n

(2)(/一3的展開式中第r+1項為分+1=帽x(%2)5-rx(_/=(jrx%10-3rx(_1)r,

其中r=0,1,2,3,4,5,令10-3r=4,可求得r=2,

故(—展開式中的小的系數(shù)為(一1尸xCf=10.

4.(2023下?天津?高二統(tǒng)考期中)在(晝+2。”的二項展開式中，

(1)若n=7,且第3項與第6項相等，求實數(shù)x的值；

(2)若第5項系數(shù)是第3項系數(shù)的10倍，求”的值.

【解題思路】(1)當n=7時，求得展開式的通項7；+1=2『<白3-14,根據(jù)題意列出方程，即可求解；

(2)求得展開式的通項耳+1=2『?小/—14,根據(jù)題意，得到方程24.第=10X22.鬃，結(jié)合組合數(shù)的

計算公式，即可求解.

【解答過程】⑴解：當n=7時，可得(2+2x)7展開式的通項T『+i=映妥)7f,(2x)『=2r-53-14,

令丁=2,可得&=22-C我一8,令丁=5,可得及=25?C拉，

因為第3項與第6項相等，可得22-C我-8=25.C>,解得％

(2)解：由二項式(2+2%)”展開式的通項Tr+1=小(專)7-『?(2x)r=2r?黑/一14,

可展開式中第5項的系數(shù)為24.第，第3項的系數(shù)為22.C1

因為第5項系數(shù)是第3項系數(shù)的10倍，可得24.第=10x22.鬣，

即2?第=5?鬣，即2X)0-3)=5*迎二2,

71n4X3X2X12X1

可得幾2—5n—24=0,解得九=8或九=—3(舍去)，

所以n的值為8.

多項式積的展開式中的特定項問題

1.（2023上?湖北?高三校聯(lián)考階段練習）若（4x-m）（x-2>的展開式中的短的系數(shù)為-600,則實數(shù)爪=

（）

A.8B.7C.9D.10

【解題思路】求出（久-2）5展開式的通項公式，進而根據(jù)爐的系數(shù)得到方程，求出答案.

【解答過程】由題意知，展開式的通項公式為墨爐-『（_2）『，

故爐的系數(shù)為4XC式一2尸-mC1（-2）2=-320-40m=-600,

解得m=7.

故選：B.

2.（2023下?山東荷澤?高二?？茧A段練習）在（2x+a）（x+，的展開式中，/的系數(shù)為一⑵，則該二項

展開式中的常數(shù)項為（）

A.3204B.-160C.160D.-320

【解題思路】根據(jù)二項式定理即可求解.

【解答過程】（X+§6的展開式的通項為〃+1=讖-X6-k-g）k=讖?2k.x6-2k,

k+172k

若2久-Tk+1=此-2-x-

由keN,得7—2k羊2不成立，

62k

若a-Tk+1=喊-2k-x-

令6-2k=2,解得k=2

則aC看-22=60a=-120

解得a=-2

因為7—2左力0,在一2叫+1中，令6-2k=0,解得k=3,

所以展開式中的常數(shù)項為-2禺-23=-320.

故選：D.

3.（2023上?江蘇蘇州?高三?？奸_學考試）已知（X-2）4=劭+<21%+<22X2+<23*3+

⑴求a。+a2+的值；

（2）求（久+1）（%-2）4的展開式中含久4的系數(shù).

【解題思路】（1）利用賦值法列式計算作答.

（2）求出二項式（4-2>展開式的通項公式，再分情況求解作答.

423

【解答過程】(1)在(％—2)=劭+arx4-a2x+a3x+%/中，令％=1時，劭+%+的+。3+。4=1，

當％=—1時，。0—@1+。2-。3+。4=34=81,兩式相加得。0+。2+。4=41,

所以口0+02+。4的值是41.

(2)二項式(％-2)4展開式的通項公式4+1=q%4-r(-2)r,r<4,rGN*,

于是(％+1)(%-2)4的展開式中含%4的項為%72+=窕?瑪％3(_2)1+C$X4(-2)°=—7x4,

所以。+1)(%-2)4的展開式中含%4的系數(shù)是一7.

4.(2023下?浙江?高二校聯(lián)考期中)已知(a/+3n的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為128,各項系數(shù)

和為一1.

⑴求H和。的值；

(2)求白x-/)觸2+的展開式中的常數(shù)項.

【解題思路】(I)根據(jù)結(jié)論得到方程組,解出即可；

((Cl-T1J=—1

(2)首先對原式整理為(2第—妥)(a/+：)=(2x—x-2)(—2%2+%-1)7,寫出(—2/+%T)，展開式的通

項，再求出其常數(shù)項即可得到答案.

【解答過程】(1)...由條件可得%"f"J!81，

，解得｛J二二2-

(2)(2久-妥)(ax?+1)=(2x—X~2)(—2X2+x-1)7.

*/(~2x2+久T)7展開式的通項為：

27k1k7fc143k

Tk+1=C^(-2x)-(x-)=C^(-2)-x-.

①當14-3k=—1即k=5時，2x-C%一2)2%T=168；

②當14-3fc=2即k=4時,*2,c式-2)3/=280；

所求的常數(shù)項為168+280=448.

題型10一三項展開式的系數(shù)問題。

1.(2023上?江西南昌?高二南昌十中?？茧A段練習)在(3刀3一5/+1)5的展開式中，X5項的系數(shù)為()

A.299B.300

C.-300D.-302

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用組合應(yīng)用問題列式求出爐項的系數(shù).

【解答過程】(3/-5/+1)5的展開式中，久5項是從5個多項式3/-5尤2+1中任取1個用3/,

再余下4個多項式中任取1個用-5/,最后3個多項式都用1相乘的積，

即瑪?3x3?禺(一5%2).F=-300%5,所以％5項的系數(shù)為一300.

故選：C.

2nax2n

2.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)(1+%+x)=a。+i+g％?+—a2nx,則劭+a2+a4H------F

a2n=()

A.3nB.-C.—D.—

222

2naxax2x2n

【解題思路】(1+%+X)=劭+l+2------1-CL2n中，分別令％=1和％=-1，將所得兩個方程

相加即可得到結(jié)果.

2n22n

【解答過程】在(1+x+%)=劭+arx+a2xH------Fa2nx中，

令％=1,得3rl=劭++。2+。3■1------h。2九，

令％=—1,得1=。0—%+。2—。3+…+。2九，

「?3n+1=(cig++。2+。3+…+。2兀)+(。0—+。2—。3+…+。2打)，

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