xx1海淀區(qū)2025年高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B（2）B（3）D（4）A（5）C（6）A（7）C（8）A（9）D（10）D二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）11（11）5100（12）(1,)

（13）5960（13）5960（14）(3,)（15）①②④說(shuō)明：兩空題每個(gè)空2分4分4分，有錯(cuò)的則給０分15題對(duì)一個(gè)給2分，對(duì)兩個(gè)給3分，都對(duì)給2x2x解：（Ⅰ）因?yàn)閒()xe(xx1)(2x1)e

(x2x1)2x2e(所以f(0)2，又f(0)1，所以曲線yfx()在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y2x1

……1分……2分……3分

……4分……5分（Ⅱ）因?yàn)閒()xe(x1)(x2)，xR，

(x2x1)2xx令f(x)0，解得x1或x2，

……6分隨著x的變化，f(x)與f'(x)的變化情況如下表：x(,1)1(1,2)2(2,)高二數(shù)學(xué)參考答案第1頁(yè)（共5頁(yè)）36所以(36所以()14.PA20145所以EX()084842843841f(x)00f(x)↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1)和(2,)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).

……8分……9分解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“從表中提供的AI大模型中任取一個(gè)，幻覺(jué)率低于2%”，……1分9（Ⅱ）隨機(jī)變量X的取值范圍是{0,1,2,3}，

……2分……3分PX(PX(0) ，6CCC320C9384CC2118C3984

12PX(1)36PX(3)PX(2) PX(2) ，3C93C3 8414584 3184……5分隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，X012P208445841884181（Ⅲ）來(lái)自乙公司.（18）（共11分）解：（Ⅰ）當(dāng)a1時(shí)，fx()x2xlnx，所以f'()x2xlnx1，

……6分

……8分……10分……1分記gx()f'(x)2xlnx1，其定義域?yàn)?0,)，1212x1所以g'(x)2 ，……2……2分xxxx高二數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)（共5頁(yè)）111111111a令g令g'(x)0，得x1，……3分2隨著x的變化，gx()與g'()x的變化情況如下表： 1 1x(0,1)22(1,)2g'()x0gx()↘極小值↗11所以gx()的最小值為g( )ln2，……4……4分……5分22所以切線l的斜率的最小值為ln2.（Ⅱ）因?yàn)閒'(x)2xalnxaa2a2xa令g(x)f'(x)2xalnxa，g'(x)2 ，xxxx因?yàn)閍0，所以g'(x)0，gx()在(0,)單調(diào)遞增.又因?yàn)間(ea)2eaa(111)2ea12e110,g(1)2a0，

……6分……7分……8分 所以存在x所以存在x0(e1,1)，使得g(x0)0,即f'(x0)0隨著x的變化，f(x)與f'(x)的變化情況如下表：x11

(ea,x0)0(x0,1)f'()x0f(x)↘極小值↗所以f(x)存在極小值.（Ⅲ）a2.

……9分

……11分高二數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)（共5頁(yè)）11n1n，為奇數(shù)，y,s}，其中（Ⅲ）設(shè)xn1n，為偶數(shù)，（19）（共10分）解：（Ⅰ）P(3)數(shù)列：①1，2，3；②1，3，2；

③3，1，2；④3，2，1（任取兩個(gè)）……3……3分（Ⅱ）當(dāng)n3時(shí)，因?yàn)閍1,a2,a31,2,3，a1a2a1a22或a1a32，所以a1,a21,3或a1,a31,3，所以a11,3．

……4分當(dāng)n4時(shí)，因?yàn)?,2,,n；2,1,3,4,5,,n；nn,1,n2,,1；n1,nn,2,n3,n4,,1均是Pn()數(shù)列，所以a1可以為1,2,n1,n．假設(shè)，存在3a1n2，則此時(shí)1a12n．,},}記B{a12,a14,a16,記C{a12,a14,a16,

t，其中ta，a，11由條件②，a12之后必有a14，a16，……，直到集合B中某一個(gè)數(shù)出現(xiàn)在數(shù)列An的最后兩項(xiàng)中；同理集合C中必有某一個(gè)數(shù)出現(xiàn)在數(shù)列An的最后兩項(xiàng)中．由于集合B，C中的數(shù)均與a1同奇偶，所以an1，an同奇偶．不妨設(shè)an1，an均為奇數(shù)，考慮數(shù)列An中最后一項(xiàng)偶數(shù)，必不能滿足條件②，矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤．……6分所以a所以a11,2,n1,n．nn，為奇數(shù)，

nn，為偶數(shù)．由（Ⅱ）知，an1，an必為一奇一偶．考慮{1,3,5,,x}在數(shù)列An中出現(xiàn)的先后順序，與（Ⅱ）同理，首次出現(xiàn)的必為最小值1或最大值x，高二數(shù)學(xué)參考答案第4頁(yè)（共5頁(yè)）5頁(yè)）,y}22種．b2k,y}22種．b2k12k12k!(k(2kC2k121)!22k12424．x11接下來(lái)依次出現(xiàn)剩下的數(shù)中的最小值或者最大值，共22種先后順序．同理，{2,4,6,

y在數(shù)列中出現(xiàn)的先后順序共先確定{1,3,5,,x}分別為第幾項(xiàng)，注意到該集合恰有一個(gè)數(shù)在最后兩項(xiàng)中，x11x11所以共C2C122種方法，n2n22x11x11y1x1xy1n2 2所以bn 2所以bnCn2C12222C222．當(dāng)n2k1時(shí)，x2k1，y2k2，b2k1Ckk21322k2；當(dāng)n2k時(shí)，x2k1，y2k，b2kCkk21222k1，k2,3,4,．(2k2)!bCk122k1(k1)!(k1)!b2k1Ckk2132(2k3)!2k222k22k2