§1.3中國古代數(shù)學中的算法案例明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當堂測查疑缺04明目標、知重點填要點·記疑點偶數(shù)2第二步較大較小較小相等3．秦九韶算法把一個n次多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改寫成如下形式：(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多項式的值時，首先計算_____________一次多項式的值，即____________(v0＝an)，然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即最內(nèi)層括號內(nèi)v1＝v0x＋an－1v2＝_________，v3＝_________，…vn＝________.這樣，求n次多項式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求______________的值．v1x＋an－2v2x＋an－3vn－1x＋a0n個一次多項式探要點·究所然情境導學探究點一求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法思考1設(shè)兩個正整數(shù)m>n，假設(shè)m－n＝k，那么m與n的最大公約數(shù)和n與k的最大公約數(shù)有怎樣的關(guān)系？為什么？根據(jù)上述所得結(jié)論，寫出求16,12這兩個數(shù)的最大公約數(shù)的過程．答相等．設(shè)m與n的最大公約數(shù)為b，那么m與n可以用b的倍數(shù)表示，不妨設(shè)為m＝ab，n＝cb.k＝m－n＝ab－cb＝(a－c)b，由于cb，(a－c)b的最大公約數(shù)也是b，所以m與n的最大公約數(shù)和n與k的最大公約數(shù)相等．以兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，即16－12＝4，以差數(shù)4和較小的數(shù)12構(gòu)成新的一對數(shù)，對這一對數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即12－4＝8，繼續(xù)這一過程，直到產(chǎn)生一對相等的數(shù)，這個數(shù)就是最大公約數(shù)．整個操作如下：(16,12)→(4,12)→(4,8)→(4,4)．跟蹤訓練1求98與63的最大公約數(shù)．解操作如下：(98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→(21,7)→(14,7)→(7,7)．所以98與63的最大公約數(shù)為7.(2)該算法對應(yīng)的程序如何表述？答程序：a＝input(“a＝〞)；b＝input(“b＝〞)；whilea～＝bifa>ba＝a－b；elseb＝b－a；endendprint(%io(2)，a，b)；思考3古希臘求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法是輾轉(zhuǎn)相除法：用較大的數(shù)除以較小的數(shù)所得的余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成的一對數(shù)，繼續(xù)做上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，這個較小的數(shù)就是最大公約數(shù)．根據(jù)這個算法，你能寫出求288和123的最大公約數(shù)的操作過程嗎？答

(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39)，39能被3除盡，所以3就是最大公約數(shù)．思考1閱讀教材P28～P29，歸納求圓周率的近似值的步驟．答步驟如下：第一，從半徑為1的圓內(nèi)接正六邊形開始，計算它的面積S6.第二，逐步加倍圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，分別計算圓內(nèi)接正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形……的面積，到一定的邊數(shù)(設(shè)為2m)為止，得到一列遞增的數(shù)S6，S12，S24，…，S2m.第三，在第二步中各正n邊形每邊上作一高為余徑的矩形，把其面積(S2n－Sn)與相應(yīng)的正n邊形的面積S2n相加，得S2n＋(S2n－Sn)，這樣又得到一列遞增數(shù)：S12＋(S12－S6)，S24＋(S24－S12)，S48＋(S48－S24)，…，S2m＋(S2m－Sm)．第四，圓面積S滿足不等式S2m<S<S2m＋(S2m－Sm)．估計S的近似值，即圓周率的近似值．思考2怎樣用Scilab語言寫出求π的缺乏近似值的程序？答程序如下：n＝6；x＝1；s＝6*sqrt(3)/4;fori=1:1:5h=sqrt(1-(x/2)^2;s=s+n*x*(1-h)/2;n=2*nx=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2;endprint(%io(2)，n，s)；探究點三秦九韶算法的根本思想思考1怎樣計算多項式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1當x＝5時的值呢？統(tǒng)計所做的計算的種類及計算次數(shù)分別是什么？答

f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3906.根據(jù)我們的計算統(tǒng)計可以得出我們共需要10次乘法運算，5次加法運算．思考2我們把多項式變形為f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再統(tǒng)計一下計算當x＝5時的計算的種類及計算次數(shù)分別是什么？答從里往外計算僅需4次乘法和5次加法運算即可得出結(jié)果．思考3思考2使用的方法就是秦九韶算法，據(jù)此你認為怎樣利用秦九韶算法把求n次多項式f(x)的值轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值？答

f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝……＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，這樣，求n次多項式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值．例2用秦九韶算法求多項式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.16667x3＋0.04167x4＋0.00833x5在x＝－0.2時的值．解

x＝－0.2.a5＝0.00833 v0＝a5

＝0.00833a4＝0.04167 v1＝v0x＋a4

＝0.04a3＝0.16667

v2＝v1x＋a3

＝0.15867a2＝0.5

v3＝v2x＋a2

＝0.46827a1＝1

v4＝v3x＋a1

＝0.90635a0＝1

v5＝v4x＋a0

＝0.81873所以f(－0.2)＝0.81873.反思與感悟利用秦九韶算法計算多項式的值關(guān)鍵是正確地將多項式改寫，然后由內(nèi)向外依次計算，由于下一次的計算用到上一次計算的結(jié)果，只有細心，認真，保證中間的結(jié)果正確才能保證計算準確．跟蹤訓練2用秦九韶算法求多項式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x當x＝3時的值．解

f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2369；v6＝2369×3＋1＝7108；v7＝7108×3＝21324，故x＝3時，多項式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值為21324.當堂測·查疑缺12341．用秦九韶算法計算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或減法)與乘法運算的次數(shù)分別為()A．5,4 B．5,5 C．4,4 D．4,5解析n次多項式需進行n次乘法；假設(shè)各項均不為零，那么需進行n次加法，缺一項就減少一次加法運算．f(x)中無常數(shù)項，故加法次數(shù)要減少一次，為5－1＝4.應(yīng)選D.D1234減數(shù)與差相等12343．f(x)＝2