安徽省部分示范高中2024-2025學年高三第三次聯(lián)考數(shù)學

試卷

一、單選題(本大題共8小題)

1.已知集合/={x[l<x<2},B={x\x<a},若4=8,則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.(2,+co)B.(F,2)C.(-oo,2]D.[2,+oo)

2

2.在復平面內，復數(shù)z與T一對應的點關于實軸對稱，則2=()

1-1

A.l+2iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.函數(shù)〃x)=(x-2)3cosox.若存在QER,使得/(x+a)為奇函數(shù)，則實數(shù)刃的值

可以是()

A./B.里C.烏D.烏

4423

4.現(xiàn)將12個相同的小球全部放入4個不同的盒子里，每個盒子至少放2個小球，

則不同的放法共有()

A.24種B.35種C.56種D.70種

5.已知。力是正實數(shù)，若函數(shù)〃》)=("-D(ei-e)40對任意xeR恒成立，貝|

4

7-〃的最大值為()

b

A.—B.-C.1D.e

e2

6.若函數(shù)/(x)=log/+loga+iX是減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

(指(石-1J「1八D.時

12J12JL2J

7.設等差數(shù)列{g}的前〃項和為S",且%>0,4邑+1+1,將數(shù)列{%}與數(shù)

202

列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列{g},則￡一=()

Z=1Ci

A40n80c20n40

A.——B.—C.—D.——

41412121

8.已知拋物線C:/=x的焦點為尸，準線與x軸交于點尸，直線/過焦點廠且與C

交于A,8兩點，若直線/P的斜率為卜則以理=()

A.1B.2C.4D.8

二、多選題(本大題共3小題)

9.已知王<工2<%，樣本數(shù)據(jù)工：占戶2，9，S[：X]+-2,工2+「39±±，則

9

()

A.E的平均數(shù)一定等于S2的平均數(shù)B.岳的中位數(shù)一定小于$2的中位數(shù)

C.凡的極差一定大于$2的極差D.R的方差一定小于$2的方差

10.已知函數(shù)1(x)=sinx|cosx|+cosxkiiu|,則下列說法正確的是()

A./(x)的周期為］

B.〃x)的圖象關于x=￡對稱

C./(x)在［0,可上恰有3個零點

D.若/(s)(o>0)在0,1上單調遞增，則。的最大值為g

11.設aeR,函數(shù)/(力=工3-3依+°3,貝ij()

A.y(x)有兩個極值點

B.若a>0,則當x>0時，/(%)>-1

C.若/⑴有3個零點，則。的取值范圍是(0,血)

D.若存在s/eR,滿足f(s-f)+/'(s+f)=2/(s),則W=0

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知具有線性相關性的變量x，九設其樣本點為4(尤”%)?=1,2,3,…,20),經(jīng)驗

2020

回歸方程為步=-2x+&,若￡占=60,￡%=40,貝!］&=.

1=11=1

13.在三棱錐中，R4_L平面/BC,若C4=2CB,且P8=3,則三棱錐

的體積的最大值為.

22

14.已知片，片分別為雙曲線二-勺=1(。>0,b>0)的左、右焦點，過片的直

ab

線/與雙曲線的右支交于A、8兩點(其中A在第一象限)，△/4心的內切圓半徑

為外，45片外的內切圓半徑為2，若q=2々，則直線/的斜率為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.兩個箱子里面各有除顏色外完全相同的黑球和白球若干個，現(xiàn)設計一個抽球游

戲，規(guī)則如下：先從第一個箱子中隨機抽一個小球，抽后放回，記抽中黑球得4

分，抽中白球得1分，且抽中黑球的概率為g;再從第二個箱子中隨機抽一個小

3

球，抽后放回，記抽中黑球得1分，抽中白球得3分，且抽中黑球的概率為一.記一

4

次游戲后，得分總和為X分.

⑴求X的分布列和數(shù)學期望；

⑵若有3人玩該游戲各一次，求恰有2人游戲得分不低于4分的概率.

16.已知函數(shù)/（x）=aQx~x-Inx+In6；.

（1）當。=e時，求曲線y=〃尤）在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的

面積；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍.

17.如圖，在四棱錐尸-48CD中，尸。，底面AB=\,BC=^,

P/=2亞，側棱尸C與底面48co所成的角為45。，且PC1BC.

(1)求PD；

⑵求平面4PC與平面3PC夾角的余弦值.

18.在平面直角坐標系X0V中，點和是中心為坐標原點，焦點在坐

標軸上的橢圓E上的兩點.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若尸為橢圓E上任意一點，以點P為圓心，|。以為半徑的圓與圓

。:/+卜+6y=5的公共弦為證明：AC血W的面積為定值，并求出該定值.

19.已知無窮數(shù)列｛%｝滿足以下條件：①%=2,當〃22時，2a“=03+2%_1；

②若存在某項。二-4,則必有/e｛l,2,3,???「-：!｝,使得%=q+2（酷2且ieN）.

（1）若％<1,寫出所有滿足條件的知；

⑵若名>1，證明：數(shù)列｛與｝為等差數(shù)列;

（3）設以=-2024,求正整數(shù)左的最小值.

參考答案

1.【答案】D

【詳解】由題意，因為/=即集合A是集合8的子集，所以。22.

故選D.

2.【答案】B

22(l+i)

【詳解】由三可得八一+

故z=1-i,

故選B.

3.【答案】C

【詳解】函數(shù)/(%)=(%-2)3cosox的定義域為R,/(X+Q)=(x+a-2)%os(3+皈)，

存在QER,函數(shù)/(X+。)為奇函數(shù)，則4=2或COS3Z=0,

當Q=2時，/(X+2)=X3COS(69X+2⑼為奇函數(shù)，則函數(shù)＞=cos(ox+2。)是偶函數(shù)，

于是2G=E，左wZ,解得。=@，左EZ,當左=1時，CD=—,C符合，ABD不符合；

22

3

當cosQa=0時，coa=—+kn,keZf此時f(x+a)=(x+a-2)sincox

或/(x+a)=-(x+?-2)3sincox,當且僅當G=0時為奇函數(shù)，與cos3/=0矛盾，

所以實數(shù)。的值可以是

2

故選C.

4.【答案】B

【詳解】先在每個盒子中分別放入一個小球則剩余8個小球，

只需保證4個盒子中分別再放入至少1個小球，則采用隔板法可得有C；=35種放法.

故選擇B.

5.【答案】C

【詳解】由題意可知，y=ax-l為增函數(shù)，y=ei-e為減函數(shù)，且零點分別為L

a

b-l,

因［3=(依一1乂/，一6)40對任意收11恒成立，

貝|J函數(shù)＞=ax—1與＞=3一、一e有相同的零點，

則工=6_1,即6-4=1,

aa

則3=dT=5-。+'5-i,

4

當且僅當仍==，即。=1,6=2時取等號，

ab

4

則7-Q的最大值為1.

b

故選C.

6.【答案】B

【詳解】由題意得，函數(shù)/(x)定義域為(O,+8).

X

,?*/(x)=logflx+loga+\，

/，⑴=—+[=1n(。+1)+-=一(/+。)<0

x]naxln(o+l)xln〃?ln(Q+l)xlno」n(Q+l)

：a>0且awl,ln(a+l)>0,則(廠+叭°,

\na

ln(a2>0-i./s

a2+a>a\，解得-----A-<tz<B

Ina<02

當“=T+6時,a2+a=\,/[x)=帥：")=0,不合題意,

2v7xlna-ln(a+l)

的取值范圍是f.

故選B.

7.【答案】A

【詳解】因為%>0,4S“=<+i-2??+1+h

當時，則4S._]=端-2a“+1,

兩式相減得4%=-a；-2。用+2%,

整理可得(%+-2)=0,

且?！保尽?，貝Ua”+i+?！保?。，可得??+i~-2=0,即。用一a“=2,

可知等差數(shù)列｛4｝的公差［=2,

當〃=1時，則4%=a；-2%+1=（%+2『-2（%+2）+1,解得%=1；

所以為=1+2（M-1）=2H-1,可知數(shù)列｛七｝為正奇數(shù)列，

對于數(shù)列｛/T｝,

當〃=2左一1（左eN*）時，可得〃2—1=（2左一Ip—1=4?左一1）為偶數(shù)；

當〃=2以左eN*）時，可得〃2_1=4左2一1為奇數(shù)；

所以數(shù)列｛%｝與｛/-1｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛q｝的通項公式為

c?=4M2-1,

,22211

則———;2---=------------=------------

7cti4n-l(2W-1)(2W+1)2n-I2n+I

所以g2=l一工+」一1+…+J_1,140

白c,3353941--7i-

故選A.

8.【答案】C

【詳解】拋物線—的焦點嗎,。)，準線A—,過A作準線的垂線，垂足為

A',作4D_Lx軸于。，

由直線旌的斜率為9得翳血八tan”尸而

\AA\^AF\,\A'P^AD\,

則sm〃E甯4設點，(2)"%),令&FD9P=\,

十日P/P、八AnZR1+COS0PDTEl-cos0p

于正玉一，=a+5)c°se’解付為=匚蓊萬'同理無2=下嬴；'

因止匕|/切=5尸|+|3尸|=X|+X2+?=§(產(chǎn)筆+H)+?

21-cosc/1+cos”

,1+cos0,、2p。A

=P(-----^+D=—=8/2=4,

1-cos20sin20

當夕為鈍角時，同理求得|/切=4,所以|/B|=4.

故選C.

9.【答案】AC

【詳解】對B，邑分別求平均數(shù)，均為西+；+%，故A正確；

凡的中位數(shù)為馬，星的中位數(shù)為當土，大小關系不確定，

不妨設原數(shù)據(jù)為：1.2.5,3,中位數(shù)為2.5,則新數(shù)據(jù)為：1.75,2.75,2,中位數(shù)為2,

故B錯誤；

跖的極差為三-七，邑的極差為當上，故C正確；

由王＜巧強＜五產(chǎn)＜衛(wèi)|三＜工3,且工和S2的平均數(shù)相等，從而s；＞s；,故D錯

誤.

故選AC.

10.【答案】BD

【詳解】①當xe2砒2癡+鼻(左eZ)時，

f(x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx=sin2x,

②當XE2E+],2E+7iJ(左EZ)時，/(x)=sinx(-cosx)+cosxsinx=0,

-3c

③當％w2左兀+兀,2左兀+《-J(左￡Z)時，

/(x)=sinx(-cosx)+cosx(—sinx)=-2sinxcosx=-sin2x

「3兀

④當XG2H+——，2左兀+2兀1(左cZ)時，/(x)=sinxcosx+cosx(-sinx)=0,

兀

sin2x,2A：7i<x<"兀+—

兀

0,2析+—<x<2A：兀+71

因此，/(%)=<左￡Z

.3兀'

一sin2x,2左兀+7i<x<及兀+—

3兀

0,2左兀+—<x<2kn+2兀

所以函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示:

71一2元C

72\2

=2兀__3兀或，Z_Q_71必/九___5式攵

F222

選項：因為萬7171

A/1%+=smXH—cosX+—+COS

222L

=cosx|sinx|-sinx|cosA:|W/(X),故A不正確；

71

B選項:——+X

、4

71

=smsin

22

=cos+sin

所以/(X)的圖象關于x=2對稱，故B正確；

C選項：由/(x)的函數(shù)解析式以及函數(shù)圖像可知：

當x=0時，/(x)=0,當時，/(x)>0,當xe兀時，/(x)=0,

所以f(x)在［0,可上有無數(shù)個零點，故C錯誤；

JTTT

D選項：由①>0,0<x<—,得OWoxW—。，

一22

因為〃5)(0>0)在0,|上單調遞增，所以由/(X)的圖象可知解得

o<@wL

2

則。的最大值為了，故D正確；

故選BD.

11.【答案】BCD

【詳解】對于A選項，?.■廣3=312一°）,

???當時,r（x）>0,/（x）單調遞增，〃尤）無極值點;

當a>0時，['（X）>0得x>G或x<-&，<0,得-五<x<6,

則f（x）在卜8,-，?）和上單調遞增,在[-上單調遞減,

此時/'（X）有兩個極值點，故A選項錯誤；

對于B選項，當?！?,x>0時，

由上述知，/（X）在（而+8）上單調遞增，在[。,問上單調遞減，

3/3、2

貝U/（x）2f[y[a^=a3-2a^=*一1-1>-L故B選項正確；

對于C選項，當時，”X）單調遞增，/（x）至多只有一個零點，不合題意;

當〃〉0時，若/（x）有3個零點,

3

f(-4a)=-a3+2a^>0

則由單調性可知必然有13，解得.€(0,次).

2<Q

而當“￡（0,返）時，/（-1-?）=-1,f^y/3a^=a3>0,

「?/（x）在區(qū)間卜1-。,一夜），卜&,6）,中分別各有一個零點，故C選項

正確；

對于D選項，??,/（5-/）+/（5+Z）-2/（5）=6^2,

.,./（5-。+/（5+。=2/3等價于8=0或￡=0,.?.5/=0,故D選項正確.

故選BCD.

12.【答案】8

120120

【詳解】由題意可得：于=而￡匕=3,歹=右2弘=2，

2Ul=i2Uj=i

可知經(jīng)驗回歸方程為f=-2x+&過樣本中心點（3,2）,

貝!]2=-6+0,可得G=8.

13.【答案】空/馬拒

33

【詳解】在三棱錐尸一/3C中，尸/,平面/3C,尸3=3,設4B=a,P4=h,則

/+/=9,

以線段45的中點。為原點，直線力5為工軸建立平面直角坐標系，

則/（-I，。）,械,0）,設c（x,y）,由C4=2CB,得4（x-J十句？=&+|>+/,

整理得(X-二5。)2+歹2=4X〃2,點。在以(S0)為圓心，7〃為半徑的圓上,

6963

22

則點C到直線距離的最大值為；a,V/3C面積的最大值為幺，

33

三棱錐/-28c體積的最大值為k='土.〃="一也一"=,

3399

設/=/e(0,9),f(t)=9t2-t3,求導得/'(/)=18/「3d=3/(6-/),

當0<f<6時，f'(t)>0.當6</<9時，f'(t)<0,函數(shù)/⑺在(0,6)上遞增，在(6,9)上

遞減，

因此〃/)max="6)=108,所以三棱錐尸-N8C體積的最大值為迥=型.

93

14.【答案】2啦

【詳解】設2的內切圓的圓心為a，△臺片名的內切圓的圓心為Q,

記邊/耳/工，4B上的切點分別為尸,M，4，

由切線的性質可得：|4P|=|/M|,|可尸|=田41，|巴M|=IB4I，由雙曲線定義可得:

\AFx\-\AF2^2a,即|4P|+1耳尸|-(||+1|)=2a,則

片「|=|片4月42a,又由42c(c=G+一).

IHH1=1+1F2AX\=

則W4|=c+a,|Q4|=c-a,又I。片|=c,IO1041=a,即4(a,0).

同理可得，々鳥的內切圓也與軸相切于點4(。,0).

連接。02，則。?與x軸垂直，設圓&與/相切于點N,連接QMOzN,

過點&作。2r，°陷，記垂足為我，則。陽，/瓦。川，48.

IT

在四邊形q4KM中，注意到N/y/q=Ng4Q=5，又四邊形內角和為2兀,

則/MQ4=e,在Rt4002氏中，I。。2Hq4l+e4li+弓=3々，

\O.R|=|\-\RM|=|OXM|-1O2N\=r{-r2=r2,

則|QR|二J|O02『-|<W=J（3L=2億，

則直線斜率，即tan0-tanAMOXAX=T~~―r="~~2/"2.

|平|r2

7

15.【答案】（1）分布列見解析，E（X）=]

（2）1

【詳解】（1）由題知，X可能取的值為2,4,5,7.

]_尸（）（；卜（司得,

尸(X=2)=3=4=1-1

2

尸（X=5）=#=；，尸（X=7）0“司―

xX=7

12-2,

（2）由（1）知，得分不低于4分和低于4分的概率均為：

故3人玩該游戲各一次恰有2人游戲得分不低于4分的概率為C；gjq3

8,

2

16.【答案】(1)--(2)[l,+oo)

e-i

【詳解】(1)Qf(x)=ex-lnx+l,f\x)=ex--,k=fr(V)=e-1.

x

Q%l)=e+1,?,?切點坐標為Q,l+e),

，函數(shù)/(x)在點(1”⑴處的切線方程為尸"1=("l)(x—1),即歹=(e—l)x+2,

-2

???切線與坐標軸交點坐標分別為(0,2),(—-,0),

e—\

一1-22

二?所求三角形面積為-X2X|----r|=-----?

2e-1e-1

(2)[方法一]：通性通法

Q/(%)=aex~}-Inx+Ina,f\x)=aex~l--,且a>0.

x

設g(x)=f'{x},則g\x)=aex-x+3>0,

X

g(X)在(0,+功上單調遞增，即f'(x)在(0,+8)上單調遞增，

當。=1時，/'(1)=0,.?/(4加=1⑴=1,成立.

111J--1

當。>1時，一<1，.?.eU<i，，/'(一)/'(l)=a(e“-l)(a-l)<0,

a..e、ia

...存在唯一x0>0,使得/(%)=。/。--工=0,且當xe(O,x0)時八x)<0,當

,x0-11

x￡(%o，+oo)時/'(%)>0,/.ae=一,Intz+x0-1=-Inx0,

x

因此/(x)min=/(%)=ae°~'-lnjf0+lna

-FIntz+XQ-1+Ina22Ina-1+2/—,%。=2Inu+1〉1,

%”o

.：/(x)>l,恒成立;

當0<a<1時，/(l)=a+lnfl<a<l,/./(I)<l,/(x)21不是恒成立.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是［1,+8).

［方法二］【最優(yōu)解】：同構

由/'(x)21得ae*--Inx+lna21,即e山"+*T+Ina+x—1WInx+x,而

lnx+x=elBX+lnx,所以0必"+'7+Ina+x-l2e111*+lnx.

令h(m)=e"1+m,則砥⑼=e"'+1>0,所以在R上單調遞增.

由e*+z+ina+x-iNe-+lnx,可知/"Ina+x-1)2〃(lnx),所以lna+x-12lux,所

以lna“nx-x+l)max.

11—V

令廠(x)=lnx-x+l,則尸'(x)=—-1=-

XX

所以當xe(o,l)時，F(xiàn)(x)>O,F(x)單調遞增；

當xe(l,+⑹時，尸'(x)<0,/(x)單調遞減.

所以風初厘=/⑴=0,則Ina詈0,即

所以a的取值范圍為

［方法三］:換元同構

由題意知。>0,x>0,令ae*-'=t,所以lna+x-1=lnt,所以Ina=ln/-x+l.

于是/(x)=aev-1-Inx+lna=Z-lnx+ln?-x+l.

由于/(x)>1,Z-Inx+InZ-x+1>1<=>f+InZ>x+Inx,而y=x+lnx在xe(0,+oo)時為增

Y

函數(shù)‘故E'即5”分離參數(shù)后有心尸

x~l_xex~x

令g(x)=W所以e

e2x-2

當0<x<l時g'(x)>0,gCr)單調遞增；當x>l時，g'(x)<0,g(x)單調遞減.

所以當x=l時，g(尤)=告取得最大值為g⑴=1.所以

e

［方法四］：

因為定義域為(0,+8),且為x)Nl,所以/⑴21,即a+ln/1.

令S(“)="+ln”，貝!|￡(。)=1+工>0,所以5(a)在區(qū)間(0,內)內單調遞增.

a

因為S⑴=1,所以時，有S⑷2S⑴，即〃+ln〃2l.

下面證明當。21時，恒成立.

令T{a}=aex~x-Inx+lntz,只需證當Q21時，7（。）21恒成立.

因為7（0）=?1+1>0,所以？（。）在區(qū)間口,+功內單調遞增，貝!|

a

I

［T（?）］mm=T（l）=^--lnx.

因此要證明時，恒成立，只需證明［T⑷京=e'i-lnx21即可.

由e*Nx+l,lnx4x-l,得e'-1>x,-lnx>l-x.

上面兩個不等式兩邊相加可得ei-lnx21,故時，〃x）21恒成立.

當0<。<1時，因為/⑴=a+lna<l,顯然不滿足/（尤）21恒成立.

所以a的取值范圍為

【整體點評】（2）方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)/（"的單調性，求出其最小值，由

7mhiNO即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；

方法二：利用同構思想將原不等式化成*。+a+lna+x-12*，+lnx,再根據(jù)函數(shù)

6（⑼=*+優(yōu)的單調性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；

方法三：通過先換元，令再同構，可將原不等式化成t+ln此x+lnx,再

根據(jù)函數(shù)>=x+lnx的單調性以及分離參數(shù)法求出；

方法四：由特殊到一般，利用/⑴21可得。的取值范圍，再進行充分性證明即可.

17.【答案】⑴2

⑵這

7

【詳解】（1）因為PD，平面48cD,3Cu平面/BCD

所以尸DLBC,

又PC工BC,PDcPC=P,PD,PCu平面PDC,

所以8C_L平面PDC,又。Cu平面尸DC,

所以BCLQC,

因為尸D，平面ABCD,所以尸C在平面A8CD上的射影為。C,

所以/尸CD為直線PC與底面N5CD所成的角，

因為尸C與底面/BCD所成的角為45。，所以NPCD=45。，又NPDC=90。,

所以尸D=CD,沒PD=t,

因為AB_L3C,AB=1,BC=△,

所以/C=2,AACB=30°,XSCIDC,故N/C￡>=60。，

貝UDN?=戶+2?一2xfx2xcos60°=產(chǎn)一2/+4,

因為因為PO_L平面48C。，4Du平面48CD

所以所以=pf,

所以r+產(chǎn)-2/+4=（2回,

解得/=2或/=-1（舍去），

故尸。=2.

（2）以C為坐標原點，CD,無分別為x、了軸的正方向，過C作垂直于平面

的直線為z軸，如圖建立空間直角坐標系，

則C（0,0,0）,尸（2,0,2）,/（1,后0）,5（0,^,0）,

則屈=（2,0,2）,麗=（1,百,0）,而=（0,君,0）

設平面/PC的法向量為應=（尤

m-CP=2x[+24=0

m-CA=xx+6另=0

令再=A/3,得必=-1,4=—A/3,

則行=（石,-1,-73）為平面/PC的一個法向量，

設平面8PC的法向量為為=（%，%/2）,

ri'CP=2x2+2Z2=0

m-CB=y5y2=0'

令々=1，可得%=0，Z2=-1,

得萬=（1,0,-1）為平面8PC的一個法向量，

設平面4PC與平面5PC的夾角為。,

EnW?司2GV42

貝ijcos0=?一||_|=~r=一7==---

|同同＜7xV27

所以平面4PC與平面5P