2.2.2平行四邊形的判定

要點(diǎn)感知1一組對(duì)邊平行且__________的四邊形是平行四邊形.

預(yù)習(xí)練習(xí)1-1如果〃ABCD和〃ABEF有公共邊AB,那么四邊形DCEF是__________.

要點(diǎn)感知2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是__________四邊形.

預(yù)習(xí)練習(xí)2-1如圖,在四邊形ABCD中，AB=CD,BC=AD,若NA=110。，貝此C=.

知識(shí)點(diǎn)1一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

L如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，AB=BF.添加一

個(gè)條件，使四邊形ABCD是平行四邊形.你認(rèn)為下面四個(gè)條件中可選擇的是（）

A.AD=BCB.CD=BFC.zA=zCD.zF=zCDE

2.如圖，必BCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AB、DC的中點(diǎn)，則圖中共有平行四邊形的個(gè)數(shù)是（）

3.如圖，在四邊形ABCD中，ABIICD,要使得四邊形ABCD是平行四邊形,應(yīng)添加的條件是________.（只

填寫一個(gè)條件，不使用圖形以外的字母和線段）

4.如圖，已知四邊形ABCD中,AB=CD,zBAC=zDCA,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

5.已知：如圖,在四邊形ABCD中，ABIICD,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,BO=DO.求證：四邊形ABCD是

平行四邊形.

知識(shí)點(diǎn)2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

6.四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,zB=50°,則NA=,

7.如圖，以AABC的頂點(diǎn)A為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作弧,再以頂點(diǎn)C為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交

于點(diǎn)D,連接AD、CD.若4=65。，貝！UADC的大小為.

8.已知四邊形ABCD的四條邊長(zhǎng)滿足(AB-CD)2+(AD-BC)2=0,求證：ABllCD.

9.點(diǎn)A、B、9D在同一平面內(nèi),從①ABIICD;②AB=CD;③BCllAD;④BC=AD這四個(gè)條件中任意選兩

個(gè)，能使四邊形ABCD是平行四邊形的有()

A.3種B.4種C.5種D.6種

10.如圖，oABCD中，zABC=60°,點(diǎn)E、F分另1］在CD和BC的延長(zhǎng)線上，AEllBD,EF±BC,EF=A/3,貝!J

AB的長(zhǎng)是__________.

IL如圖，已知BEllDF,zADF=zCBE,AF=CE.求證：四邊形DEBF是平行四邊形.

12.如圖，在0ABCD中，分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊MDE和等邊ABCF,連接BE、DF.求證：四邊形

BEDF是平行四邊形.

13.如圖，在平行四邊形ABCD中，NC=60。，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，BC=2CD.

(1)求證：四邊形MNCD是平行四邊形；

(2)求證:BD=3MN.

14.如圖，在梯形ABCD中,ADIIBC,AD=6,BC=16,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P

停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng).求當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形？

參考答案

要點(diǎn)感知1相等

預(yù)習(xí)練習(xí)1-1平行四邊形

要點(diǎn)感知2平行

預(yù)習(xí)練習(xí)2-1110°

l.D2.B3.答案不唯一，如AB=CD或BCIIAD

4.證明:-.zBAC=zDCA,

..ABIICD.

又.AB=CD,

二?四邊形ABCD是平行四邊形.

5.證明:-.ABllCD,

.,.zABO=zCDO,zBAO=zDCO.

X.BO=DO,

??.△AOB當(dāng)COD(AAS).

：.AB=CD.

二?四邊形ABCD是平行四邊形.

6.130°7.65°

8.證明：?：(AB-CD)2+(AD-BC)2=0,

.-.AB-CD=0,AD-BC=0.

.,.AB=CD,AD=BC.

.?四邊形ABCD是平行四邊形.

.'.ABllCD.

9.B10.1

11.證明:/BEIIDF,

.,.zAFD=zCEB.

又?：NADF=NCBE,AF=CE,

」.△ADF當(dāng)CBE(AAS).

.-.DF=BE.

又1BEIIDF,

二四邊形DEBF是平行四邊形.

12.證明：,.?四邊形ABCD是平行四邊形,

/.CD=AB,AD=CB,zDAB=zBCD.

又［FADE和ACBF都是等邊三角形，

.-.DE=BF,AE=CF,zDAE=zBCF=60°.

.-.zBCD-zBCF=zDAB-zDAE,即NDCF=NBAE.

...△DCF?BAE(SAS).

.-.DF=BE.

二四邊形BEDF是平行四邊形.

13.證明：(1)；ABCD是平行四邊形，

.,.AD=BC,ADIIBC.

???M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，

.?.MD=NC,MDIINC.

.?.MNCD是平行四邊形；

(2)連接ND,

?「MNCD是平行四邊形，

.-.MN=DC.

.N是BC的中點(diǎn)，

.-.BN=CN.

?.BC=2CD,zC=60°,

「.△NCD是等邊三角形.

.-.ND=NC,ZDNC=6O°.

.NDNC是ABND的夕卜角,

.-.zNBD+zNDB=zDNC.

-,DN=NC=NB,

.-.zDBN=zBDN=-zDNC=30°.

2

.-.zBDC=90°.

.-.BC=2DC,BD=^BC2-CDr=^(ZCD^-CD2=￡DC.

又DC=MN，,BD=V^MN.

14.由題意可知，AP=t,CQ=2t,CE=；BC=8.

■.ADllBC,

.?.當(dāng)PD=EQ時(shí)，以點(diǎn)P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

當(dāng)2t<8即t<4時(shí)，點(diǎn)Q在C、E之間，如圖甲.

圖甲

止匕時(shí)，PD=AD-AP=6-t,EQ=CE-CQ=8-2t，由6-t=8-2t得t=2.

當(dāng)8<2t<16即4<t<8時(shí)，點(diǎn)Q在B、E之間,如圖乙.

圖乙

14

止匕時(shí)，PD=AD-AP=6-t,EQ=CQ-CE=2t-8，由6-t=2t-8得t=§

14

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2或§時(shí)，以點(diǎn)P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

第2課時(shí)平行四邊形的判定定理3

要點(diǎn)感知1對(duì)角線的四邊形是平行四邊形.

預(yù)習(xí)練習(xí)1-1在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，若要證明ABCD是平行四邊形則要證明

0A=,0B=.

要點(diǎn)感知2兩組對(duì)角的四邊形是平行四邊形.

預(yù)習(xí)練習(xí)2-1在四邊形ABCD中，已知NA=20°,zB=160°,zC=20°,則四邊形ABCD是一四邊

形.

知識(shí)點(diǎn)1對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

L在四邊形ABCD中，AC,BD交于點(diǎn)0,且OA=OC,OB=OD,則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.ABllCDB.BCllADC.AB=ADD.BC=AD

2.將兩根木條AC,BD的中點(diǎn)重疊，并用釘子固定，則四邊形ABCD為平行四邊形，理由是

3.四邊形ABCD中，AC,BD交于點(diǎn)0,且OA=OC,OB=OD,zABC=80°,貝［UADC=.

4.如圖，nABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F在AC上，點(diǎn)G,H在BD上，AF=CE,BH=DG.

求證：GFllHE.

知識(shí)點(diǎn)2兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

5.下列條件中，能說明四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A.zA=30°,zB=150°,zC=30°,zD=150°

B.zA=60°,NB=60°,zC=120°,zD=120°

C.zA=60°,zB=90°,zC=60°,zD=150°

D.zA=60°,zB=70°,zC=110°,zD=120°

6.下列條件中不能判斷四邊形是平行四邊形的是（）

A.兩組對(duì)邊分別相等B.一組對(duì)邊平行且相等

C.對(duì)角線相等D.兩組對(duì)角分別相等

7.在下列條件中，不能確定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）

A.zA=zC,zB=zD

B.zA=zB=zC=90°

C.zA+zB=180°,zB+zC=180°

D.zA=zB,zC=zD

8.在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，zA=zC,添加下列一個(gè)條件后,能判定四邊形ABCD是

平行四邊形的是（）

A.zA=zBB.zC=zDC.zB=zDD.AB=CD

9.下面給出了四邊形ABCD中NA、NB、NC、ND的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是

（）

A.1:2:2:1B.2:2:1:1C.1:2:1:2D.1:1:2:2

10.在四邊形ABCD中,已知NA=75°,zB=105°,zC=75°,則四邊形ABCD是________四邊形.

1L在四邊形ABCD中,已知NA=45°,zB+2zC=225°,zB-zC=90°,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

12.下列說法正確的是（）

A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形

B,對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是平行四邊形

13.在四邊形ABCD中，ADIIBC,若要使四邊形ABCD是平行四邊形,則應(yīng)添加條件（）

A.zA+zC=180°B,zB+zD=180°C.zA+zB=180°D,zA+zD=180°

14.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形

的是（）

A.ABIICD,ADIIBCB.0A=0C,0B=0D

C.AD=BC,ABIICDD.AB=CD,AD=BC

D

15.在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)。，要使四邊形ABCD是平行四邊形應(yīng)符合下列條件中的（）

A.ABIICD,BC=ADB.AB=CD,OA=OC

C.ABllCD,OA=OCD.AB=CD,AC=BD

16.在四邊形ABCD中，已知NA=NC=60。，則當(dāng)NB的度數(shù)為.時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形.

17.如圖，直線c,d與直線a,b相交于點(diǎn)A,B,C,D,zl=z3,z2=z4,求證：AB=CD.

18.已知：如圖，在〃ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE=CF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.

19.如圖，在MBC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F,E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，CFlIBE.

A

⑴求證：「BDE%CDF.

⑵請(qǐng)連接BF,CE,試證明四邊形BECF是平行四邊形.

20.如圖，已知點(diǎn)0是〃ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線EF分別交AB,CD于E,F兩點(diǎn)

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形;

(2)不添加輔助線，請(qǐng)寫出圖中所有全等的三角形(不需要證明).

參考答案

要點(diǎn)感知1互相平分

預(yù)習(xí)練習(xí)1-1OC0D

要點(diǎn)感知2分別相等

預(yù)習(xí)練習(xí)2-1平行

1.C2.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形3.80°

4.證明：在6KBCD中，OA=OC,

又..AF=CE,

.-.OA-AF=OC-CE,即OF=OE.

同理OG=OH.

二?四邊形EGFH是平行四邊形.

.-.GFIIHE.

5.A6,C7.D8.C9.C10.平行

:LL證明:'.zB+2zC=225°,NB-NC=90°,

.?.zB=135°,zC=45°.

.?.zD=360°-zA-zB-zC=360o-45o-135o-45o=135°.

.?.zA=zC,zB=zD.

二?四邊形ABCD是平行四邊形.

12.B13.D14.C15.C16.120°

17.證明:如圖，